Retas paralelas aos Planos e
Eixos Coordenados

Seja a reta r dada pelas equações
paramétricas
 x  x1  at

r :  y  y1  bt , t  R
 z  z  ct
1

Retas paralelas aos planos
coordenados
Considere nula a 1ª componente do vetor diretor
da reta, assim:
a  0, v   0, b, c   Ox  r yOz
Então as equações simétricas da
reta r ficam:
x  x1


r :  y  y1 z  z1


c
 b
x1
A
r
  90
v
Retas paralelas aos planos
coordenados
Considere nula a 2ª componente do vetor diretor
da reta, assim:
b  0, v   a,0, c   Oy  r xOz
Então as equações simétricas da
reta r ficam:
y  y1


r :  x  x1 z  z1


c
 a
v
  90
r
A
y1
Retas paralelas aos planos
coordenados
Considere nula a 3ª componente do vetor diretor
da reta, assim:
c  0, v   a, b,0   Oz  r xOy
Então as equações simétricas da
reta r ficam:
z  z1


r :  x  x1 y  y1


b
 a
z1
A
r
  90
v
Retas paralelas aos eixos
coordenados
Considere nulas duas componente do vetor diretor
da reta, assim:
v   0,0, c  k  r Oz
Então as equações simétricas da
reta r ficam:
x  x
r
1
r :
 y  y1
Ficando subentendido que
z é a variável.
A
y1
k
x1
v
Exercícios

Dar as equações das retas paralelas aos eixos Ox e
Oy. Faça a representação geométrica delas.

Determinar as equações da reta que passa pelo
ponto A(-2,3,-2) e tem a direção do vetor v  3i
 2k

Estabelecer equações para a reta que passa pelos
pontos A(1,0,9) e B(4,8,9).

Determinar as equações da reta que passa pelo
ponto A(0,3,-2) e tem a direção do vetor v  2i
Ângulos de duas Retas
O ângulo entre as retas r e s que
passam respectivamente nos pontos
A  x1 , y1 , z1  , B  x2 , y2 , z2  e possuem
os seguintes vetores diretores:
v1   a1 , b1 , c1  e v2   a2 , b2 , c2  é dado
pelo menor ângulo entre os respectivos
vetores diretores. Assim sendo  este
ângulo, temos:
v1.v2

cos( ) 
, 0  
v1 v2
2
Ângulos de duas Retas em
Coordenadas Cartesianas
cos( ) 
a1.a2  b1.b2  c1.c2
a12  b12  c12 . a22  b22  c22
Exercício: Calcular o ângulo entre as
retas:  x  3  t
x  2

 y 3 z
r1 :  y  t , t  R e r2 :
 z  1  2t

2