a
o
8 SÉRIE 9 ANO
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
Caderno do Professor
Volume 1
MATEMÁTICA
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
8a SÉRIE/9o ANO
VOLUME 1
Nova edição
2014 - 2017
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colaboradores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abordagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orientações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avaliação constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
5
10
Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos e números
10
Situação de Aprendizagem 2 – Números racionais e sua escrita decimal
29
Situação de Aprendizagem 3 – Aritmética, Álgebra e Geometria com a reta real
38
Situação de Aprendizagem 4 – Potências, notação científica e ordem de grandeza
50
Situação de Aprendizagem 5 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau
58
Situação de Aprendizagem 6 – Equações de 2o grau na resolução de problemas
87
Situação de Aprendizagem 7 – Grandezas proporcionais: estudo funcional, significados
e contextos 92
Situação de Aprendizagem 8 – Representação gráfica de grandezas proporcionais e de
algumas não proporcionais 99
Orientações para recuperação
107
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema
Considerações finais
111
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais
113
109
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteúdo disciplinar de cada volume não se afastam, de maneira geral, do que é usualmente
ensinado nas escolas, ou do que é apresentado
pelos livros didáticos. As inovações pretendidas referem-se à abordagem de tais conteúdos,
sugerida ao longo de cada Caderno. Em tal
abordagem, busca-se evidenciar os princípios
norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as
competências pessoais envolvidas, especialmente as relacionadas com a leitura e a escrita
matemática, bem como os elementos culturais
internos e externos à Matemática.
Em todos os Volumes, os conteúdos estão organizados em 16 unidades de extensões aproximadamente iguais. De acordo
com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada assunto
com maior ou menor aprofundamento, ou
seja, escolherá uma escala adequada para
o tratamento dos temas. A critério do professor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode
ser estendido para mais de uma semana, enquanto o de outra unidade pode ser tratado
de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar
todas as 16 unidades, uma vez que, juntas, compõem um panorama do conteúdo do volume e,
muitas vezes, uma das unidades contribui para a
compreensão das outras. Vale insistir que somente
o professor, em sua circunstância particular e levando em consideração seu interesse e o dos alunos pelos temas apresentados, pode determinar
adequadamente quanto tempo dedicar a cada
uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica de seu conteúdo, oito Situações de Aprendizagem, que pretendem ilustrar a abordagem sugerida, orientando a ação do professor em sala de aula.
As atividades são independentes e podem ser
exploradas pelo professor com maior ou menor intensidade, segundo seu interesse e o de
sua turma. Naturalmente, em razão das limitações de espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Volume, sempre que possível, textos, softwares,
sites e vídeos, entre outros materiais, em sintonia com a abordagem proposta, que podem
ser utilizados pelo professor para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Volume ainda algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada, bem
como o conteúdo considerado indispensável
ao desenvolvimento das competências enunciadas no presente volume, em cada Situação
de Aprendizagem apresentada.
5
Conteúdos básicos do volume
O tema central deste Volume são os conjuntos numéricos e suas características e propriedades. Os números constituem um eixo
importante da Matemática e, neste momento,
apresentaremos propostas para que se possa
estudá-los em articulação com outros eixos,
como o da Geometria e da Álgebra. Na 8a série/
9o ano, os alunos devem sistematizar o conhecimento adquirido ao longo do Ensino Fundamental, retomando as principais ideias associadas aos conjuntos numéricos.
Além disso, este Volume também abordará
as equações de 2o grau e a noção de função.
Em relação ao primeiro tema, pretende-se que
os alunos resolvam situações, inclusive geométricas, que possam ser traduzidas por meio
de equações de 2o grau, obtendo as raízes por
diferentes métodos, e discutam o significado
dessas raízes em confronto com a situação
proposta.
Com relação ao assunto funções, o aluno poderá apropriar-se dessa noção ao analisar a natureza da interdependência de duas
grandezas na resolução de problemas em que
elas sejam diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais
– iniciando, assim, o estudo das funções afins
e quadrática, que serão posteriormente desenvolvidas no Ensino Médio. As situações propostas são oportunas para que se expresse a
variação das grandezas envolvidas por meio
de diferentes representações: tabelas, gráficos
e expressões algébricas.
6
Quanto à resolução da equação quadrática, sugere-se que sejam enfatizados os procedimentos que envolvam conhecimentos
sobre fatoração, exponenciação e radiciação,
para resolução tanto de equações quadráticas
como de equações exponenciais, fatoração e
pesquisa das raízes por soma e produto. Nesse sentido, também são exploradas equações
exponenciais, quadráticas e de 3o grau. A chamada fórmula de Bhaskara, para as equações
de 2o grau, também deverá ser desenvolvida,
porém é fundamental que os alunos tenham
uma visão mais abrangente dos processos de
resolução, tendo em vista que, no Ensino Médio, eles precisarão resolver equações de grau
superior a dois.
O foco da Situação de Aprendizagem 1 é a
sistematização dos conjuntos numéricos, dos
naturais aos irracionais. Optamos por tratar desse assunto por meio da exploração da
ideia de conjunto, a qual desempenha papel
importante no campo matemático. Propomos a exploração de alguns problemas envolvendo conjuntos que podem ser resolvidos
por meio de diagramas. A noção de inclusão, união, interseção, entre outras, aparece
com naturalidade nas atividades propostas.
Em seguida, apresentamos a ampliação dos
conjuntos numéricos, partindo dos naturais
e chegando aos irracionais, enfatizando não
apenas as características de cada conjunto,
mas a possibilidade de realização das quatro
operações sem restrições. Problematizamos,
também, a existência dos segmentos incomensuráveis, que deram origem ao conjunto
dos números irracionais.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Na Situação de Aprendizagem 2, é retomada a ideia da representação dos racionais e
dos irracionais para dar um passo além com a
apresentação de uma nova forma de escrita dos
números reais: as frações contínuas. A representação dos números reais como frações contínuas
permite trabalhar com a ideia de aproximação
de uma forma mais natural e precisa do que as
representações decimais dos números.
Na Situação de Aprendizagem 3, ampliamos a ideia dos conjuntos numéricos trabalhados na Situação de Aprendizagem 1, agora
do ponto de vista do “preenchimento” da reta
real. Essa situação constitui um momento importante de articulação entre os eixos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria, porque
discutiremos números, suas representações
e sua localização na reta real com o uso dos
instrumentos clássicos de desenho, que são a
régua e o compasso.
Na Situação de Aprendizagem 4, são abordadas a notação científica e o conceito de ordem de grandeza. Retomando as propriedades
das operações com potências, que foram contempladas anteriormente na 7a série/8o ano,
introduzimos formalmente a notação científica e apresentamos algumas atividades envolvendo a representação e as operações com
números nesse formato. Em seguida, apresentamos uma das ideias mais importantes para o
trabalho com números grandes ou pequenos e
na comparação entre grandezas físicas: a ideia
de ordem de grandeza. A Situação de Aprendizagem 5 mostra um possível roteiro para o
desenvolvimento desse trabalho.
A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau em diferentes contextos faz parte
da Situação de Aprendizagem 6. Além da proposição de problemas, essa unidade tem como
objetivo a apresentação de uma síntese dos diversos procedimentos utilizados para a obtenção das raízes de uma equação quadrática.
Sugere-se também a apresentação de situações envolvendo a variação de duas grandezas
em que seja necessária a identificação dessa
variação em relação à proporcionalidade, ou
seja, pretende-se explorar o significado das
expressões “x e y são diretamente proporcionais”, “x e y são inversamente proporcionais”
e “x e y não são proporcionais”, incluindo,
quando for o caso, a tradução desses significados em linguagem algébrica: y = kx, sendo k
constante (y é diretamente proporcional a x);
e xy = k, sendo k constante (y é inversamente
proporcional a x).
Às vezes, duas grandezas x e y variam
de tal modo que a proporcionalidade direta não ocorre entre y e x, mas quando y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos y – h = k ou y – h = kx, ou seja,
x
y = kx + h (k e h constantes). Portanto y – h é
diretamente proporcional a x. A Situação de
Aprendizagem 7 contempla esses aspectos.
A continuidade desse trabalho ocorre
por meio da exploração de situações-problema envolvendo a variação de grandezas
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais, sobretudo por meio de suas
representações gráficas.
7
Com relação às funções de 2o grau
y = ax2 + bx + c, as situações apresentadas
pretendem explorar a proporcionalidade entre
uma grandeza e o quadrado da outra. Essas
noções serão exploradas e aprofundadas no
Ensino Médio.
Em seguida, sugere-se a leitura e construção de gráfico cartesiano que representa a variação de duas grandezas, de modo que uma
seja, por exemplo, diretamente proporcional
ao quadrado da outra. São apresentados também problemas em contextos significativos,
que envolvem grandezas cuja variação é expressa por mais de uma sentença. A Situação
de Aprendizagem 8 contempla aspectos citados nas Unidades 15 e 16.
Cabe ressaltar que as sugestões de atividades, distribuídas nas oito Situações de Aprendizagem, contemplam os principais aspectos dos conteúdos abordados neste volume
e são adequadas para os alunos da 8a série/
9o ano do Ensino Fundamental. Todavia, o
papel do professor é, evidentemente, fundamental para a realização desse trabalho nos
seguintes aspectos: ordenação, redução ou
8
ampliação das atividades sugeridas, seleção
ou elaboração de novos problemas ou exercícios, adequação das propostas ao ritmo de
cada turma.
Convém destacar ainda que as atividades
deste Caderno devem ser consideradas não
como mera lista de exercícios ou problemas cujo
objetivo é o simples uso de técnicas que devem
ser transformadas em rotinas automatizadas;
pelo contrário, as situações propostas têm por finalidade apresentar contextos para que as noções
estudadas tenham significado para o aluno. Muitas dessas situações podem ser encaradas como
pontos de partida para o estudo de determinada
noção ou propriedade, o que não significa que o
professor não deva propor atividades de síntese
com a finalidade de organizar as conclusões e os
resultados encontrados.
Compõem o Caderno ainda algumas considerações sobre a avaliação, bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências enunciadas neste volume.
Sinteticamente, as 16 unidades que devem
ser desenvolvidas são apresentadas a seguir.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Quadro geral de conteúdos do Volume 1 da 8a série/9o ano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Conjuntos e diagramas.
Unidade 2 – Resolução de problemas por meio de diagramas.
Unidade 3 – Classificação dos conjuntos numéricos.
Unidade 4 – Racionais: frações e representação decimal.
Unidade 5 – Irracionais e suas aproximações.
Unidade 6 – Representações na reta real.
Unidade 7 – Construções na reta real.
Unidade 8 – Notação científica e ordem de grandeza.
Unidade 9 – Alguns métodos para resolver equações de 2o grau.
Unidade 10 – Completando trinômios quadrados perfeitos: a busca de uma fórmula para
encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 11 – Fórmula para encontrar as raízes de uma equação de 2o grau.
Unidade 12 – Equação de 2o grau: relação entre coeficientes e raízes.
Unidade 13 – Equação de 2o grau: demonstração e aplicação da fórmula de Bhaskara – equações de 2o grau na resolução de problemas.
Unidade 14 – Grandezas proporcionais: significados, contextos e aplicações.
Unidade 15 – Grandezas proporcionais: representações gráficas.
Unidade 16 – Gráficos que representam variação de grandezas não proporcionais.
9
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
CONJUNTOS E NÚMEROS
Conteúdos e temas: diagramas de Venn (Euler); operações e relações entre conjuntos; classificação dos conjuntos numéricos.
Competências e habilidades: representar situações-problema por meio de diagramas; resolver
problemas envolvendo relações entre conjuntos; conhecer as principais relações entre os conjuntos: interseção, união, inclusão, complemento; reconhecer as características dos conjuntos
numéricos: naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Sugestão de estratégias: uso de diagramas para representar conjuntos e argumentos lógicos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com diferentes conjuntos
de números: naturais, frações, decimais, negativos etc. A 8a série/9o ano é o momento ideal para
se fazer uma síntese desses números, retomando
seus significados e organizando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos,
sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto
e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada
à resolução de problemas e à representação por
diagramas, e menos à linguagem simbólica, que
será desenvolvida ao longo do Ensino Médio.
A ideia de conjunto é uma das mais
importantes na Matemática. A chamada
10
“Matemática Moderna” pretendeu desenvolver o ensino da Matemática por meio da teoria
dos conjuntos, o que acabou gerando exagerada valorização da linguagem simbólica em
detrimento da constituição do pensamento
matemático. Essa iniciativa tornou o ensino da
Matemática extremamente abstrato e distante
da realidade do aluno, fazendo que essa metodologia viesse a ser gradativamente substituída
por outra, mais contextualizada e voltada para
a construção do significado.
Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na linguagem formal e mais voltado para o desenvolvimento do
pensamento lógico e a resolução de problemas.
Essa é a perspectiva que queremos desenvolver nesta Situação de Aprendizagem.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Problemas envolvendo conjuntos
1. Considere a seguinte situação:
uma atividade com duas questões foi aplicada em uma turma
de 40 alunos. Os resultados indicaram que 20
alunos haviam acertado as duas questões, 35
acertaram a 1a questão e 25, a 2a questão.
a) Os dados do enunciado sugerem que
a soma das partes é maior que o todo:
20 + 35 + 25 = 80 > 40. Como podemos
explicar esse fato?
Isso ocorre porque as informações não são excludentes, ou
seja, os 20 alunos que acertaram as duas questões estão incluídos no resultado dos que acertaram a primeira questão.
Esse é um típico problema que envolve a
ideia de interseção de conjuntos. Apresente
o problema aos alunos e deixe que eles tentem resolvê-lo. Ao ler o enunciado, os alunos
podem questionar a plausibilidade das informações numéricas, uma vez que a soma das
partes (20 + 35 + 25 = 80) parece ser maior
que o todo (40). Como isso é possível?
A ideia é fazer que os alunos percebam que
as informações sobre os resultados obtidos não
são excludentes, isto é, possuem elementos em
comum. Assim, dos 35 alunos que acertaram a
primeira questão estão contemplados, também,
aqueles que acertaram a segunda questão. O mesmo raciocínio pode ser aplicado com relação ao
número de alunos que acertaram a segunda questão, ou seja, o problema adquire novo significado.
Vale chamar a atenção dos alunos para a
importância da interpretação do enunciado.
Dependendo de como forem escritas, algumas
informações podem ter certo grau de ambiguidade no seu significado. Afirmar que 35 alunos
acertaram a primeira questão é diferente de
afirmar que 35 alunos acertaram “somente” a
primeira questão, o que faz toda a diferença, e
não é raro que alguns alunos optem por essa
última interpretação, acarretando a inconsistência das partes serem maiores que o todo.
No caso dessa atividade, o fato de um aluno
poder acertar ambas as questões implica a existência de interseção dos dois conjuntos, isto é, eles
não são mutuamente exclusivos. Contudo, em
outras situações, a exclusividade dos conjuntos
é subentendida pelo próprio contexto. Por exemplo, em uma turma de 40 alunos com 25 homens
e 15 mulheres, não há necessidade de afirmar que
25 dos alunos são exclusivamente homens, pois
não há interseção entre os conjuntos.
b) Se 35 alunos acertaram a 1a questão e 20
acertaram as duas, quantos alunos acertaram apenas a 1a questão?
Acertaram apenas
a 1a questão = 15
Acertaram a
1a questão = 35
Acertaram a 1a e
a 2a questões = 20
35 – 20 = 15 alunos
Dessa forma, o contexto do problema desempenha um papel central na interpretação
do enunciado, pois nem sempre essa distinção
é feita explicitamente. Sugerimos que o professor apresente aos alunos diferentes situações
para que eles identifiquem se os conjuntos são
mutuamente exclusivos ou não.
11
Voltando à atividade inicial, os alunos podem concluir que, entre os 35 que acertaram
a primeira questão, existem aqueles que acertaram somente a primeira questão e aqueles
que acertaram as duas. Como essa informação foi fornecida pelo problema, conclui-se
que 15 alunos acertaram somente a primeira
questão.
c) E apenas a 2a questão?
Do mesmo modo, pode-se obter o número de alunos que
acertaram somente a segunda questão fazendo a diferença
entre 25 e 20, ou seja, 5.
Acertaram apenas a
2a questão = 5
Acertaram a
a
2 questão = 25
Acertaram a 1a e a 2a
questões = 20
d) Qual é o percentual de alunos que
acertaram apenas uma questão nesta
atividade?
Calculando-se as porcentagens para cada resultado, obtemos:
percentual de alunos que acertaram apenas a primeira
questão: 15 = 0,375 ou 37,5%.
40
t
t
percentual de alunos que acertaram apenas a segunda
5
= 0,125 ou 12,5%.
40
questão:
zação e organização dos dados que podem
ajudar a resolver problemas mais complexos. Assim, sugerimos que o professor apresente esse tipo de representação aos alunos
e seu significado.
Conjuntos e diagramas
Os diagramas podem ser usados para
representar os conjuntos e suas relações. Atribui-se ao famoso matemático
suíço Leonhard Euler a ideia de usar
diagramas para representar relações lógicas. O diagrama de Euler nada mais é
do que uma região delimitada do plano, simbolizada por uma figura curva
fechada, que representa um conjunto.
Um conjunto é formado por elementos
que possuem determinada propriedade.
Vejamos um exemplo:
O conjunto das aves inclui animais
que possuem determinadas características. Uma delas é o fato de possuir asas. O
beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou
seja, são animais que possuem asas. O cavalo, por sua vez, não pertence ao conjunto das aves, pois não possui asas. O diagrama a seguir representa essa situação:
Assim, a porcentagem de alunos que acertaram apenas uma
questão foi de 50%.
Problemas que envolvem relações entre
conjuntos podem ser resolvidos por meio
de diagramas. Para os alunos da 8a série/
9o ano, os diagramas permitem uma visuali-
12
Ave
Beija-flor
Tucano
Águia
Cavalo
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2. Com base no texto apresentado na seção Leitura e análise
de texto, represente, por meio
de diagramas, as seguintes situações:
a) Conjunto: Paulistanos
Elementos: André, Luiz e Renata nasceram na cidade de São Paulo. Júlio nasceu em Ribeirão Preto.
Paulistanos
André
Luiz
Júlio
Renata
Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo
e Antônio estudam na 2a série do Ensino Médio.
Patrícia
Alunos do Ensino
Fundamental
Marta
Reinaldo
Antônio
Renato
Lucas
Rafael
c) Conjuntos: corintianos e são-paulinos
Elementos: João, Helena Marcus e Alberto
são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem
pelo São Paulo. André e Tomás não torcem para nenhum time.
corintianos
b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental
Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estudam na 7a série/8o ano do Ensino Fundamental; Rafael estuda na 5a série/6o ano do
Relações entre conjuntos
Todos os conjuntos exemplificados até este
momento são representados em uma região
delimitada por meio de uma curva fechada,
representando determinado conjunto.
A figura a seguir mostra de forma genérica um conjunto A, constituído de todos os
elementos que possuem determinada propriedade a.
João
são-paulino
Alice
Helena
Alberto
Marcus
Tomás
Diego
André
Laís
A
x
y
Nesse caso, o elemento x possui a propriedade a e, portanto, pertence ao conjunto A. Já
o elemento y, que está fora do diagrama, não
possui a propriedade a e, portanto, não pertence a A.
13
A relação espacial entre as figuras (sobreposição, separação, inclusão) indica
também o tipo de relação existente entre os
conjuntos (interseção, inclusão, exclusão).
Consideremos o conjunto A formado pelos
elementos que têm a propriedade a e o conjunto B formado pelos elementos que têm a
propriedade b. Vejamos os principais casos
e os símbolos associados:
1. Inclusão: todo a é b. Se todo elemento
de A pertence a B, então A é um subconjunto de B. Dizemos que A está
contido em B, ou seja, A „ B.
Exemplo: todo múltiplo de 10 é um número
par. O conjunto dos múltiplos de 10 forma um
subconjunto do conjunto dos números pares.
Pares
Múltiplos
de 10
2. Interseção: algum a é b. Se alguns elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então existe
interseção entre esses dois conjuntos.
Os elementos da interseção possuem as
propriedades de A e de B simultaneamente, ou seja, A E B.
Exemplo: os diagramas mostram que
alguns elementos do conjunto dos números
ímpares são primos, por exemplo, 3, 5, 7 etc.
O 9 é ímpar, mas não é primo.
Ímpares
3. União: a ou b. O conjunto da reunião
entre A e B contém todos os elementos
de A e de B, ou seja, A F B.
Exemplo: a união dos múltiplos de 2 e
dos múltiplos de 3. A interseção são os elementos do conjunto dos múltiplos de 6.
M(2)
M(3)
M(2) E M(3) = M(6)
Na união de M(2) e M(3), temos elementos comuns, que são os múltiplos de
6 – M(6) – e, consequentemente, contemplam a indicação apresentada no diagrama.
4. Diferença: algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a
A e não pertencem a B, ou seja, A – B.
Exemplo: a figura representa os números
pares que não são primos. Trata-se da diferença entre os conjuntos. Pares – Primos =
= {0, 4, 6, 8, 10, ...}.
Pares
Primos
Primos
Aqui na intersecção há apenas um número par e primo: 2.
14
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
5. Complementar: caso particular da
diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro.
Contém os elementos de A que não
pertencem ao subconjunto B.
exclusivos, pois não possuem elemento
em comum.
Pares
Ímpares
C AB = A – B
Exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos
de 5 e B o conjunto dos múltiplos de 10, o conjunto complementar dos múltiplos de 10 em relação aos múltiplos de 5 são 5, 15, 25, 35, 45, ...
Para representarmos as relações entre dois
ou mais conjuntos, podemos utilizar um número maior de diagramas. Por exemplo:
Animais
M(5)
Minerais
Mamíferos
M(10)
6. Conjuntos mutuamente exclusivos ou
disjuntos: nenhum a é b. Se nenhum
elemento de um conjunto A pertence
a outro conjunto B, então esses conjuntos são mutuamente exclusivos. A
interseção entre os dois conjuntos é vazia, ou seja, A E B = A.
Exemplo: os conjuntos dos números pares e dos números ímpares são mutuamente
Os diagramas anteriores mostram que o
conjunto dos mamíferos são um subconjunto
do conjunto dos animais e que nenhum elemento do conjunto dos minerais pertence ao
conjunto dos animais. Observando os diagramas, podemos chegar às seguintes conclusões:
f todo mamífero pertence ao reino dos
animais.
f nem todo animal é mamífero.
f nenhum mineral é animal.
3. Assinale o item que melhor representa os diagramas a seguir:
M(2)
a) Conjuntos: múltiplos de 2 e múltiplos de 3.
I. M(3) – M(2)
II. M(3) E M(2)
III. M(2) – M(3)
4
2
8
0
10
12
14
M(3)
3
6
9
15
15
b) Conjuntos: retângulos e losangos.
e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.
Regulares
I. C Polígonos
Polígonos
II. Polígonos E Polígonos Regulares
III. Polígonos F Polígonos Regulares
I. Retângulos E Losangos
II. Losangos „ Retângulos
III. Losangos F Retângulos
Retângulos
Polígonos
Losangos
Polígonos
Regulares
c) Conjuntos: números pares e números
primos.
I. Pares – Primos
II. Pares E Primos
III. Pares F Primos
Pares
f) Conjuntos: números pares e ímpares.
4
0
I. Pares – Ímpares
II. Pares E Ímpares ’
III. Pares „ Ímpares
Primos
3
6
8
Dizemos que um polígono é regular se todos
os lados e ângulos deste, sejam eles internos ou
externos, forem iguais. Além disso, ele também
deve poder ser inscrito em uma circunferência
5
2
12
7
11
20
Pares
6
4
1
7
10
11
9
a) A – B
2
8
0 M(10)
10
4
12
16
0
Ímpares
5
4. Pinte os diagramas que representam as seguintes operações com
conjuntos:
I. Pares – M(10)
II. Pares F M(10)
III. M(10) „ Pares
Pares
2
12
d) Conjuntos: números pares e múltiplos
de 10.
3
8
20
A
B
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
b) A E B
e) A – (B F C)
B
A
A
B
C
c) A
f) A – (B E C)
B
A
A
B
B
C
g) C UA
d) C BA
B
B
U
A
Diagramas e lógica
Os diagramas de Euler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos em virtude de sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos
como “Diagramas de Venn”, por causa da semelhança com o tipo de diagrama criado pelo
filósofo britânico John Venn. Os diagramas
também podem ser usados para representar
argumentações lógicas. Por exemplo:
A
B
f todos os mineiros são brasileiros.
f Pedro é mineiro.
f logo, Pedro é brasileiro.
Brasileiros
Mineiros
Pedro
17
Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo e é composta
Professor, para que os alunos utilizem
diagramas na representação das argumentações lógicas, propomos a seguinte atividade.
por três proposições: duas premissas e
uma conclusão.
Apenas o diagrama III pode representar os argumentos
dados. O diagrama I contradiz a premissa de que todos
os curitibanos são paranaenses. E o diagrama II representa o contrário da premissa I, pois indica que todos os
5. Nas figuras seguintes, assinale
o diagrama que melhor representa os argumentos dados.
a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba
(C) são paranaenses (P).
João nasceu em Curitiba.
Logo, João é paranaense.
paranaenses são curitibanos.
b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.
Um quadrado é um quadrilátero.
Logo, nenhum quadrado possui cinco
lados.
I.
Quadriláteros
I.
C
P
Cinco lados
João
Quadrado
II.
II.
Quadrilátero
C
Cinco
lados
Quadrado
P
João
III.
III.
Quadrilátero
Cinco lados
P
Quadrado
C
João
Apenas o diagrama II corresponde à argumentação dada. Tanto o diagrama I como o III contradizem a primeira premissa.
18
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
c) Alguns tetraedros são poliedros regulares.
Todos os tetraedros são pirâmides.
Logo, algumas pirâmides são poliedros
regulares.
I.
Poliedros regulares
Tetraedros
Pirâmides
Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma turma com 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam
acertado as duas questões, 35 acertaram a
1a questão (Conjunto A) e 25, a 2 a questão
(Conjunto B).
a) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram as duas
questões.
AEB
II.
Do total da turma de 40 alunos, uma parte acertou as duas
questões. Assim, há interseção entre os conjuntos dos alu-
Tetraedros
Poliedros
regulares
nos que acertaram a primeira questão (Conjunto A) e a
segunda (Conjunto B). Para completar o diagrama com as
informações numéricas do problema, podemos iniciar re-
Pirâmides
gistrando a interseção entre os dois conjuntos, ou seja, o
número de alunos que acertaram as duas questões.
III.
Pirâmides
A
Tetraedros
Poliedros
regulares
B
20
O diagrama que representa a argumentação dada é o II. O
em desacordo com as premissas, pois nem todos os poliedros
b) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a
1a questão.
regulares são pirâmides.
Em seguida, preenchemos as regiões que representam o
diagrama I está errado, pois não é verdade que todas as pirâmides são poliedros regulares. O diagrama III também está
número de alunos que acertaram exclusivamente uma das
Problemas, conjuntos e diagramas
questões. O número de alunos que acertou apenas a primeira questão é a diferença entre o número total de alunos (35)
6. Vamos retomar o problema inicial desta
Situação de Aprendizagem para resolvê-lo por meio de diagramas.
que acertou a primeira questão e os que acertaram as duas
questões (20), ou seja, 15.
19
A–B
A
B
15
20
c) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a
2a questão.
Utilizando o mesmo raciocínio, o resultado corresponde
à diferença entre o total de alunos que acertou a segunda
questão (25) e os que acertaram as duas questões (20),
isto é, 5.
Sugerimos que o professor proponha mais
alguns problemas para os alunos, para que
eles se familiarizem com esse tipo de representação. A seguir, apresentamos um problema
envolvendo mais de dois subconjuntos.
7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para
verificar a audiência de três programas de televisão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevistadas e obtiveram-se os seguintes resultados:
370 famílias assistem ao programa A; 300,
ao programa B e 360, ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas
A e B; 60, aos programas B e C; 30, aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Com base nesses dados, responda:
B–A
a) Famílias que assistem a três programas.
Representando as informações dadas no diagrama, obtemos
A
B
15
20
5
o seguinte:
Representação da interseção entre os três conjuntos: A E B E C.
A
É importante discutir com os alunos que,
nesse caso, a soma dos elementos representados no diagrama (15 + 20 + 5) é igual ao total de alunos, 40, o que significa que nenhum
aluno errou as duas questões.
B
20
C
Representação da interseção dos conjuntos, dois a dois:
Com a leitura do diagrama preenchido, podemos obter as respostas do problema, bastando calcular as porcentagens solicitadas,
como já havia sido feito no início desta Situação de Aprendizagem.
20
A E B, A E C e B E C.
b) Famílias que assistem a dois programas.
O problema informa que 100 famílias assistem aos programas
A e B. Desse total, sabemos que 20 famílias assistem aos três
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
programas; portanto, o número de famílias que só assistem
Com base nos diagramas preenchidos, devemos verificar se a
aos programas A e B é a diferença entre 100 e 20, ou seja, 80.
soma das partes corresponde ao total de entrevistados.
O mesmo vale para as outras interseções.
Soma das partes: 260 + 160 + 290 + 80 + 40 + 10 + 20 = 860.
Neste problema, a soma das partes (860) é menor que o total de
entrevistados (1 200). A diferença (340) corresponde ao número
A
B
80
de entrevistados que não assiste a nenhum dos três programas, o
que pode ser representado como o conjunto complementar em
20
10
relação ao total de entrevistados, como ilustra o diagrama a seguir:
40
A
C
B
80
260
160
20
c) Famílias que assistem exclusivamente a
um programa.
10
T
40
340
290
Representação do número de pessoas que assistem exclusi-
C
vamente a cada um dos programas. No caso do programa A,
esse número será a diferença entre o total de pessoas que
assiste ao programa A (370) e a soma das interseções A E B,
A E C e A E B E C.
A – (B + C) = 370 – (80 + 10 + 20) = 260
O mesmo deve ser feito para os programas B e C, como mostra
8. Com base no diagrama apresentado na
atividade anterior, responda às seguintes
perguntas:
a figura a seguir:
a) Quantas famílias assistem ao programa
A e não assistem ao programa C?
A
B
80
260
160
340 pessoas assistem ao programa A e não assistem ao programa C: 260 + 80 = 340.
20
10
40
290
A
C
260
B
80
160
20
10
d) Famílias que não assistem a nenhum
dos três programas.
40
T
340
290
C
21
b) Quantas famílias assistem aos programas
B e C e não assistem ao programa A?
490 famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao
programa A.
A
B
80
260
160
Uma prova com três questões foi aplicada
em uma turma com 60 alunos. Os resultados
obtidos foram os seguintes: 36 alunos acertaram a 1a questão, 31 acertaram a 2a e 25
acertaram a 3a. Além disso, verificou-se que
18 alunos acertaram a 1a e a 2a questões, 16
acertaram a 1a e a 3a questões e 13 acertaram
a 2a e a 3a questões. Apenas 10 alunos acertaram as três questões.
20
10
40
Represente na forma de diagrama os conjuntos descritos anteriormente e responta às
questões seguintes:
T
290
340
C
U = 60
c) Qual é o programa de maior fidelidade,
ou seja, aquele cujos espectadores somente assistem a ele?
2a
1a
5
8
12
10
10
6
O programa com maior fidelidade é o C, com 290 espectadores,
3
contra 260 do A e 160 do B.
6
3a
A
B
80
260
a) Quantos alunos erraram as três questões?
160
Apenas 5 alunos erraram as três questões.
20
10
40
T
340
290
C
b) Quantos alunos acertaram a 1 a ou a
2a questão?
12 + 6 + 10 + 8 + 3 + 10 = 49. 49 alunos acertaram ou a 1ª ou
a 2ª questão.
9. Resolva o problema a seguir
usando diagramas.
22
c) Quantos alunos erraram a 3ª questão?
12 + 8 + 10 + 5 = 35. 35 alunos erraram a 3ª questão.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Desafio!
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?
(Coordenadoria de Admissão aos Cursos Regulares – FGV/DO-SP) – Uma
pesquisa de mercado sobre o consumo
de três marcas (A, B e C) de um determinado produto apresentou os seguintes
resultados: A (48%); B (45%); C (50%);
A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%);
nenhuma das três, 5%.
(Dica: represente a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas por x e construa o diagrama com as
informações dadas.)
Sabendo que todos os subconjuntos totalizam 100%, bas-
U = 100%
ta resolver a seguinte equação:
15 + x + 2 + x + 10 + x + 18 – x + 15 – x + 25 – x + x + 5 = 100.
Obtém-se x = 10%. Portanto, 10% dos entrevistados consomem as três marcas.
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem apenas uma das
três marcas?
U = 100%
B
A
5%
12%
8%
25%
B
A
5%
2+x
18 – x
15 + x
15%
20%
x
15 – x
10%
5%
25 – x
C
10 + x
Os entrevistados que consomem apenas uma das três
C
Os conjuntos numéricos
Os números constituem um dos eixos
centrais da Matemática. Aparentemente, a
ideia de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de contagem
de objetos, os números chamados naturais
são suficientes para expressar resultados e
efetuar determinadas operações.
Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade
marcas são 25% + 12% + 20% = 57%.
criaram diferentes necessidades de representação, implicando a criação de outras
formas de representação numérica: frações,
decimais, números negativos, irracionais e
imaginários. Cada tipo de número criado
pelo homem ampliou não só a capacidade
de representação, mas também as possibilidades de solução para diferentes problemas.
Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas de
representação numérica. Com os números
23
naturais, puderam representar quantidades
inteiras, registrar contagens, ordenar objetos
e conjuntos, realizar operações etc. Os números racionais aparecem em seguida, primeiro
na forma de fração e, depois, como número
decimal. As frações surgem para representar
quantidades não inteiras, o resultado de medidas, a relação entre a parte e o todo de determinado objeto ou conjunto.
Os números negativos são estudados na
6 série/7o ano, contradizendo a ideia de que os
números só podem representar quantidades ou
medidas. Finalmente, na 8a série/9o ano surgem
os números irracionais, que representam as medidas de segmentos incomensuráveis, uma vez
que elas não podem ser representadas na forma
de uma fração entre dois inteiros.
a
Todo esse universo numérico pode ser organizado e sistematizado por meio de diagramas que representem as relações de inclusão
e interseção entre os diferentes conjuntos.
Apresentaremos, a seguir, a classificação mais
usual dos conjuntos numéricos sob o ponto de
vista das características de cada número e das
operações que podem ser realizadas dentro de
cada conjunto.
24
e de a u b será também um natural. Dizemos,
então, que o conjunto dos naturais é fechado
para a adição e a multiplicação.
Contudo, o mesmo não ocorre em relação
às operações inversas. No domínio dos naturais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois números. Por
exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 8 2 não é um
número natural. A subtração a – b só pode ser
realizada no conjunto dos números naturais se
a for maior ou igual a b.
A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico para
incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, além
da adição e multiplicação, qualquer subtração
realizada resulta em um número inteiro. Contudo, no domínio dos inteiros, a divisão b 8 a
só pode resultar em um inteiro se a for um
fator de b.
Conjuntos numéricos e operações: dos
naturais aos racionais
Assim, de forma semelhante ao que aconteceu com a subtração, a criação dos números
b
(a e b inteiros, com
fracionários, na forma
a
a ≠ 0), removeu os obstáculos para a operação
de divisão, com exceção da divisão por zero.
Esse domínio ampliado gerou o conjunto dos
números racionais, que é fechado para a adição, multiplicação, subtração e divisão.
No conjunto dos números naturais, sempre
podemos realizar as duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação, ou seja,
quaisquer que sejam a e b pertencentes ao
conjunto dos naturais, o resultado de a + b
Assim, a ampliação do campo numérico
dos naturais para os racionais possibilitou a
criação de um conjunto cujos resultados das
quatro operações aritméticas básicas podem
ser obtidos sem restrições.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Dos racionais aos irracionais
Neste caso, teríamos que b = m u a.
n
Quando for possível expressar a medida de
um segmento com base em outro por meio de
uma fração ou um número inteiro, dizemos que
os segmentos são comensuráveis. Em termos práticos, os números racionais podem expressar a
medida de quaisquer segmentos comensuráveis.
Em termos teóricos, contudo, a questão
deve ser ampliada. Nem toda medida pode
ser expressa na forma de uma razão entre números inteiros. A descoberta da existência dos
segmentos incomensuráveis foi um dos fatos
mais surpreendentes da história da Matemática. Um dos exemplos mais conhecidos de
incomensurabilidade é a medida da diagonal
do quadrado em relação ao lado, que foi atribuída aos pitagóricos, na Grécia Antiga.
Considerando um quadrado de lado unitário, podemos obter a medida da diagonal
aplicando o Teorema de Pitágorasa:
a
d 2 = 12 + 12
d
d2 = 2
1
1
Ora, se d for comensurável em relação ao
lado 1, então devem existir dois inteiros a e b,
2
a
a
a2
= 2, ou seja, 2 = 2.
tais que = d. Logo,
b
b
b
Como vimos, os números racionais permitem expressar o resultado de um processo de medida. Se compararmos a magnitude
de dois segmentos a e b, podemos obter
como resultado um número inteiro, se a for
um fator de b, ou seja, b = r u a. Caso contrário, então poderemos dividir a unidade
a em n segmentos iguais, cada um de coma
, de forma que ele caiba um
primento
n
número inteiro m de vezes no segmento b.
Sendo assim, a2 = 2 . b2.
Decompondo o número a em fatores primos, tais fatores obviamente aparecerão aos
pares já que a2 = a u a. O mesmo acontece
com o número b. Se a igualdade anterior
fosse verdadeira, teríamos a u a = 2 u b u b,
ou seja, teríamos uma quantidade ímpar
de fatores do lado direito, já que temos
2 u b u b, e uma quantidade par de fatores do
lado esquerdo da igualdade, a u a. Sabemos
que isso não é possível, pois todo número inteiro diferente de 0 e de 1 possui uma única
decomposição em fatores primos.
Consequentemente, não existe nenhuma
a
fração , com a e b inteiros que, elevada ao
b
quadrado, resulte em 2. Esse resultado, que
nada mais é do que 2 , não é um número
racional. Assim, retomando a perspectiva
da preservação das operações, o conjunto
dos números racionais não é fechado para
a radiciação.
Professor, caso não tenha ainda apresentado o Teorema de Pitágoras aos seus alunos, este será um bom momento.
Aproveite e chame a atenção deles para o fato de que a discussão detalhada do Teorema será feita adiante, em
outra Situação de Aprendizagem.
25
A existência de segmentos incomensuráveis
implicou a criação de um conjunto complementar aos números racionais e que foi denominado irracionais. Entre os números irracionais,
encontram-se as raízes não exatas, como 3 ,
5 , 12 , 5 5 etc., e números como Pi (/) ou
Fi (q), chamados transcendentais ou transcendentes (esse conceito será tratado na Situação
de Aprendizagem 3). De modo geral, todos os
irracionais possuem uma representação decimal
infinita e não periódica.
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais deu
origem ao conjunto dos números reais. Os
números reais possuem uma propriedade importante, que será amplamente utilizada daqui para a frente. Para cada número real, é
possível associar um único ponto de uma reta
numérica. Assim, a reta real constitui um modelo para a representação de todos os números reais, sejam eles racionais ou irracionais.
A representação de alguns irracionais será
apresentada nas Situações de Aprendizagem
a seguir.
É importante discutir com os alunos que,
diferentemente do conjunto dos racionais,
os irracionais não são fechados em relação
às operações de adição e multiplicação. Por
exemplo, embora 3 5 seja irracional,
o resultado de 3 + – 3 é zero, que é racional. Do mesmo modo, 3 u 3 9 3 ,
que também é racional. O conjunto dos irracionais também não é fechado para subtração e para divisão.
(
26
)
Representação dos conjuntos por meio
de diagramas
Podemos representar os conjuntos numéricos por meio de diagramas. Como vimos anteriormente, os conjuntos numéricos
foram ampliados dos naturais aos racionais,
introduzindo novos tipos de números (frações, negativos) de modo a permitir a realização das quatro operações básicas sem
restrições. Essa ampliação pode ser representada pelos seguintes diagramas:
Conjunto dos Naturais (IN)
f Fechado para as operações de adição
e multiplicação.
0, 1, 2, 3, ...
IN
, u
Ampliação dos Naturais para os Inteiros ( )
f Introdução dos negativos.
f Fechado para adição, multiplicação
e subtração.
–1, –2, –3, ...
IN
, u , –
Ampliação dos Inteiros para os Racionais (Q)
f Introdução das frações e dos não inteiros.
f Fechado para adição, multiplicação,
subtração e divisão.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
a)
IR
1, – 3,
2 4
IN
r
IN
Q
Q
, u, – , b)
A introdução dos números irracionais (Ir)
permitiu a ampliação do campo dos racionais
para os números reais (IR), representado pelo
diagrama a seguir. Note que, nesse caso, os
irracionais são o conjunto complementar aos
racionais em relação aos reais.
IR
r
Q
IN
c)
IR
IR
Q
2
3
5
IN
IN
π
r
Q
Com base neste diagrama, podemos escrever as seguintes relações entre os conjuntos
numéricos:
IN „
„ Q „ IR
IR = Q F r
A seguir, propomos uma atividade para
aprofundar o conhecimento sobre as relações
entre os conjuntos numéricos:
10. Qual diagrama representa
melhor os subconjuntos dos números reais? IN – Naturais /
– Inteiros / Q– Racionais / r – Irracionais.
11. Na atividade anterior, destaque com lápis
de cor o conjunto dos números irracionais.
IR
IN
12. Classifique em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir. Reescreva as
expressões falsas, tornando-as verdadeiras.
27
a) IN „
Verdadeira. Os Naturais são um subconjunto dos Inteiros, pois
todo número natural também é inteiro.
b) IN F
=Q
Falsa. A reunião dos Naturais com os Inteiros é o próprio conjunto dos inteiros. PT F
=
c) IR – r = Q
Verdadeira. Os Racionais são o complementar dos Irracionais
em relação aos reais.
d)
EQ=Q
Falsa. A interseção entre Inteiros e Racionais é o próprio conjunto
dos inteiros.
Além das atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem, o professor poderá sugerir problemas e exercícios complementares que
estão presentes na maioria dos livros didáticos.
Em relação aos problemas envolvendo conjuntos, é importante orientar os alunos em relação
a alguns aspectos, tais como:
EQ=
e) Q E r = Q
Falsa. Não há interseção entre Racionais e Irracionais, pois são
conjuntos mutuamente exclusivos. Q E r = ’
28
rença. Embora o foco na 8a série/9o ano não
seja a formalização da linguagem simbólica
matemática, o que será feito no Ensino Médio, o aluno deve conhecer o significado dos
principais símbolos ligados às operações entre
conjuntos: E, F, „.
f
f
f
f
ambiguidade no enunciado;
organização das informações;
registro das operações;
representação por meio de diagramas.
Considerações sobre a avaliação
Tais aspectos devem ser considerados pelo
professor nas atividades de avaliação.
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
espera-se que os alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos
numéricos, desde os números naturais até os
reais e que saibam usar diagramas para representar situações-problema envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto.
Além disso, o aluno deve conhecer o significado das principais relações entre conjuntos:
união, interseção, pertinência, inclusão e dife-
Em relação aos conjuntos numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é
a ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais aos racionais com base nas quatro operações
básicas. E o segundo é a passagem dos racionais
para os irracionais, compondo o conjunto dos
números reais. Esses dois aspectos devem ser bem
trabalhados, pois constituirão uma base para o
prosseguimento dos estudos no Ensino Médio,
principalmente no que se refere às funções.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
NÚMEROS RACIONAIS E SUA ESCRITA DECIMAL
Conteúdos e temas: operações com frações; dízimas periódicas e decimais finitos; números
racionais e irracionais.
Competências e habilidades: observar regularidades numéricas e fazer generalizações; relacionar a reformulação de enunciados relativos à caracterização dos números racionais com a
busca do rigor lógico e conceitual em sua definição; confrontar ideias de precisão, exatidão e
aproximação na representação de números racionais.
Sugestão de estratégias: retomar ideias do conhecimento numérico do aluno, tanto do ponto
de vista conceitual quanto do ponto de vista das operações com números; reformular e analisar a validade de afirmações dadas a partir de novas ideias sobre dízimas periódicas.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,79999…?
4
5
Números racionais e sua escrita decimal
Conforme vimos na Situação de Aprendizagem 1 da 7a série/8o ano, a representação decimal
b) Qual é o decimal obtido quando dividimos o numerador pelo denominador na
fração encontrada no item a?
de um número racional ou é finita, como no caso
0,8
4
= 0,8, ou infinita e periódica, como no
5
7
caso de
= 1,1666... A seguir apresentare6
mos novos aspectos dessa questão com a retomada da discussão da fração geratriz de uma
dízima periódica.
de
De acordo com o processo descrito na
7 série/8o ano, escrevemos x = 0,7999... e iniciamos a busca de duas igualdades equivalentes a essa, e que tenham exatamente o mesmo
período, como veremos a seguir:
a
x = 0,7999...
u 10
Recuperando o processo de determinação da geratriz de uma dízima, sugerimos
que a discussão seja iniciada com o seguinte
problema:
1. Responda:
(I)
u 10
10x = 7,999...
u 10
100x = 79,999...
(II)
u 10
(III)
Observe que são necessárias duas multiplicações por 10 para que se descubram duas igualdades
29
com o mesmo período, que são as igualdades indicadas por (II) e (III). Dependendo do período da
dízima investigada, o processo pode exigir mais do
que duas multiplicações por 10; porém o processo
descrito é geral, uma vez que, por ele, sempre será
possível encontrar duas igualdades com números
de mesmo período.
O passo seguinte consiste em subtrairmos,
membro a membro, as igualdades de mesmo
período que, no caso do exemplo, são (II) e
(III). Tal subtração tem por objetivo encontrar uma igualdade equivalente em que apareça um número inteiro no segundo membro.
Com base nela, basta agora encontrar o valor
de x, que será a fração geratriz de 0,7999... .
(III) – (II):
100x – 10x = 79,999... –7,999...
90x = 72
x=
72
4
, ou seja, x =
90
5
Trabalhando com outros exemplos, o professor poderá elaborar atividades em que os
alunos percebam que, pelo processo descrito,
todo decimal finito poderá ser convertido em
uma dízima periódica cujo período será ou
0,999..., ou 0,0999..., ou 0,00999... etc. Como
veremos a seguir, podemos representar qualquer número racional como soma de infinitas
frações decimais.
A conclusão importante que decorre da atividade 1 é que tanto a dízima periódica
4
0,7999… quanto o decimal finito 0,8 são representações decimais da mesma fração: .
5
Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, podemos afirmar que:
Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.
Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal,
pois tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre
frações ordinárias.
Professor, é importante deixar claro que,
se todo número racional pode ser escrito
como uma dízima periódica, sempre será
30
possível representar um racional como a soma
de infinitas frações. No caso dos racionais
4
7
e , essas somas seriam as seguintes:
5
6
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
ቐ
ቐ
4
= 0,8 = 0,7999... =
5
7
9
9
9
=
+
+
+
+ ...
10 100 1 000 10 000
7
= 1,1666... =
6
=1+
1
6
6
6
+
+
+
+ ...
10 100 1 000 10 000
Você deve ter em mente que a discussão feita
até o momento tem como objetivos:
x = 031999… (1)
10x = 3,1999… (2)
100x = 31,999… (3)
1 000x = 319,999… (4)
Fazendo (4) – (3): x = 288 = 8
900
25
3. Analise atentamente os resultados obtidos na
atividade anterior e justifique a seguinte afirmação: “Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”.
Na outra direção, sempre que temos um decimal finito, é
possível escrevê-lo como uma dízima periódica com perío-
f retomar a discussão de fração geratriz
iniciada na 7a série/8o ano;
f reformular definições à luz de maior rigor e generalidade;
f recuperar ideias relacionadas com
a estrutura do sistema decimal de
numeração.
2. Encontre frações que mostrem a equivalência entre os seguintes números:
a) 2,5 e 2,4999…
2,5 = 25 = 5
10
2
x = 2,4999… (1)
tos transformados em dízimas:
35,499… = 35,5
-726,999 = -727
0,0070999… = 0,0071
4. Se todo número racional pode ser escrito
como uma dízima periódica, será sempre possível representar um racional como uma soma
de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos
racionais 4 e 7 , essas somas seriam:
5 6
4 = 0,8 = 0,7999... = 7 + 9 + 9 + 9 + ...
10 100 1 000 10 000
5
7 = 1,1666... = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + ...
6
10 100 1 000 10 000
Com base nessa mesma ideia, escreva as frações a seguir como a soma de infinitas frações:
10x = 24,999… (2)
100x = 249,999… (3)
Fazendo (3) – (2): x =
do formado por infinitos “noves”. Exemplos de decimais fini-
225
=
90
5
2
b) 1 e 0,999…
x = 0,999…(1)
a) 3
8
3 = 0,375 = 0,374999... = 3 + 7 + 4 + 9 + 9 + ...
8
10 100 1 000 10 000 100 000
10x = 9,999…(2)
Fazendo (2) – (1): x = 9 = 1
9
c) 0,32 e 0,31999…
0,32= 32 = 8
100 25
b) 7
3
7 = 2,333... = 2 + 3 + 3 + 3 + ...
100 1 000
10
3
31
5. Encontre a fração geratriz de
2,3939… e mostre que ela é diferente da fração geratriz de 2,4. (Sugestão: encontre as frações geratrizes dos dois
decimais e, em seguida, transforme essas
frações em frações de mesmo denominador
para poder compará-las.)
x = 2,3939 (1)
como conceder novos contornos à discussão
feita sem grande aprofundamento sobre números racionais e irracionais na 7a série/8o ano.
As avaliações sobre o tema tratado nesta
Situação de Aprendizagem podem ser feitas
por meio de listas de exercícios em que se peça
para o aluno determinar frações geratrizes.
10x = 23,939 (2)
100x = 239,39 (3)
Fazendo (3) – (1): x = 237 = 79
99
33
Por outro lado, 2,4 = 24 = 12
10
5
mmc (5,33) = 165, então:
79 = 395 e 12 = 396 .
33 165
5
165
Logo, 2,3939 ≠ 2,4.
Identificado um interesse sobre o assunto por
parte dos alunos, outra possibilidade de avaliação
pode ser um trabalho de pesquisa em que os alunos possam se aprofundar no assunto estudado.
Frações contínuas
Professor, caso considere adequado trabalhar
as frações contínuas com seus alunos, sugerimos
a abordagem e atividades apresentadas a seguir.
Considerações sobre a avaliação
A fração
Uma vez que o professor se decida por trabalhar com as frações contínuas no seu curso sobre números reais, recomendamos que aproveite
também a oportunidade para explorar o uso da
calculadora em sala de aula. Utilizar a calculadora para calcular a representação decimal de
números racionais e para encontrar aproximações de raízes pode ser uma interessante porta
de entrada para a expansão do conhecimento
numérico de um aluno de 8a série/9o ano.
Deve-se observar que nas séries/anos anteriores já haviam aparecido representantes
numéricos de todos os conjuntos; porém, entendemos que a 8a série/9o ano seja o ambiente
para organizar as informações numéricas, bem
32
4
situa-se entre os inteiros 0 e 1.
5
4
1
como 0 + ,
5
x
4
1
5
sendo que x > 1. Se = 0 + , então x = , o
5
x
4
4
1
que nos permite escrever, portanto, = 0 + ,
5
5
4
que chamaremos de igualdade (I). Pode-se
Dessa forma, podemos escrever
repetir o mesmo raciocínio para a fração
5
.
4
5
é um número entre 1 e 2 e que,
4
1
portanto, pode ser escrito como 1 + , com
y
5
1
y > 1. Se = 1 + , então y = 4. Segue, por4
y
Sabemos que
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
tanto, que
5
1
=1+
, que chamaremos de
4
4
igualdade (II). Substituindo (II) em (I) tere4
1
, que será a igualdade (III).
mos = 0 +
1
5
1+
4
Repetindo mais uma vez o mesmo processo
1
1
1
, teremos:
=0+
, com
4
4
w
w > 1, o que implica dizer que w = 4, por1
1
tanto, = 0 + . Note que esta última etapa
4
4
dos cálculos não implicou uma representação
1
diferente para a fração , o que, em última
4
análise, quer dizer que o processo está encerpara a fração
rado. Na prática isso sempre ocorrerá quando
x, y, w, ... for um número inteiro.
5
No caso do exemplo analisado, x = , o que
4
nos fez calcular y, que por sua vez é igual a
4 D Z, encerrando assim o processo em
y. Decorre do processo realizado a seguinte igualdade, que chamamos “dese4
em fração contínua”:
volvimento do
5
4
1
=0+
1
5
1+
4
Pode-se demonstrar que todo número racional pode ser escrito como fração contínua
por meio de um desenvolvimento finito, como
ocorreu no exemplo anterior.
7
Observe que o racional , cuja representa6
ção decimal era explicitamente uma dízima periódica, também pode ser escrito como fração
contínua por meio de um número finito de pas4
sos. O raciocínio será o mesmo utilizado para :
5
(I)
7
7
1
está entre 1 e 2, portanto, = 1 + ,
6
6
x
com x > 1
(II) De
7
1
= 1 + decorre que x = 6, ou
6
x
seja,
7
1
=1+
6
6
(III) Como x = 6 D Z, o processo está
cerrado e a fração contínua do
7
7
é
= 1 +
senvolvimento de
6
6
ende1
.
6
Atividade 1
16
Com relação ao número racional
,
7
pergunta-se:
a) Utilizando o algoritmo da divisão para
16 ÷ 7, encontraremos um decimal finito ou uma dízima periódica?
Se o aluno utilizar uma calculadora de oito dígitos para fazer a conta 16 ÷ 7, irá encontrar como resultado 2,2857142.
Como não identificamos facilmente nessa divisão um período que se repete, é possível que o aluno responda que o
resultado é um decimal finito. Nesse caso, é desejável que
se retome a discussão feita na Situação de Aprendizagem 2
“As dízimas periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da
7a série/8o ano. Naquele momento, foi discutido que, ao
realizarmos a divisão entre numerador e denominador de
uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódica se ao menos um dos fatores do denominador da fração
for diferente de 2 e diferente de 5. Como o denominador
16
da fração
apresenta fator primo 7, sabemos que a re7
33
presentação decimal decorrente da divisão será uma dízima
periódica. Uma vez que os oito dígitos da calculadora não
foram suficientes para a identificação do período, reco-
(V) Como y = 4 D Z, o processo está encerrado e a fração
mendamos que o professor solicite que os alunos façam a
contínua procurada é
conta armada até que identifiquem com clareza o período
(16 ÷ 7 = 2,285714285714... = 2,285714).
16
como fração contínua.
7
b) Escreva
(I) 16 está entre 2 e 3, portanto, 16 = 2 + 1 , com x > 1.
7
x
7
(II) De 16 = 2 + 1 decorre que x = 7 , ou
x
7
2
16
1
.
=2 +
seja,
7
7
2
(III) 7 está entre 3 e 4, portanto, 7 = 3 + 1 , com y > 1.
2
y
2
(IV) De 7 = 3 + 1 decorre que y = 2, ou seja, 7 = 3 + 1 .
2
2
2
y
(V) Como y = 2 D Z, o processo está encerrado e a fração
contínua procurada é
16 = 2 +
7
1
3+
1
2
A seguir, mais um exercício para reforçar
a ideia do processo.
Atividade 2
Escreva 30 como fração contínua.
13
(I) 30 está entre 2 e 3, portanto, 30 = 2 + 1 , com x > 1.
13
x
13
(II) De 30 = 2 + 1 decorre que x = 13 , ou
4
x
13
34
(IV) De 13 = 3 + 1 decorre que y = 4, ou seja, 13 = 3 + 1 .
4
y
4
4
seja, 30 = 2 + 1 .
13
13
4
(III) 13 está entre 3 e 4, portanto, 13 = 3 + 1 , com y > 1.
4
4
y
30 = 2 +
13
1
3+
.
1
4
Em resumo, alguns dos objetivos específicos que o professor poderá levar em consideração se decidir por abordar frações contínuas
para representar números racionais são:
f as frações contínuas descrevem um processo
finito (por meio de frações) para a representação de todo e qualquer número racional.
Sem as frações contínuas, e restritas apenas
à representação decimal dos números racionais, uma dízima periódica só poderá ser representada como a soma infinita de frações;
f as frações contínuas são trabalhadas em
um contexto em que se faz necessária a
retomada de operações e representação
de frações, o que é positivo dentro da
ótica de currículo em espiral;
f o estudo das frações contínuas abre
uma interessante perspectiva de interpretação e análise dos números irracionais, como veremos a seguir.
Frações contínuas e os números irracionais
Uma forma muito utilizada de se referir aos números irracionais é a de que são
os números cuja representação decimal é
infinita e não periódica depois da vírgula. Nesse caso, ao observarmos no visor de
uma calculadora de oito dígitos o resultado
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
1,4142135 de 2 , sabemos, de antemão, que
o número indicado é apenas uma aproximação
de 2 , dado que 2 é um número irracional.
Se fosse possível ter uma calculadora que calculasse 2 com infinitas casas, o fato de se
tratar de um número irracional nos dá garantias de que não haverá formação de período
em sua parte decimal.
2 =1+
Temos, portanto,
1
1+ 2
III. 1 2 é um número entre 2 e 3,
portanto, 1 + 2 = 2 +
1
, y > 1.
y
IV. De 1 + 2 = 2 + 1 decorre que
y
y=1+ 2
Se nos referirmos aos números irracionais dessa maneira, após a discussão da representação dos racionais por frações contínuas, surge quase naturalmente a pergunta:
Existe um processo para a representação
dos irracionais com frações contínuas? Veremos a seguir que, além de existir tal processo, surpreendentemente ele nos conduzirá a um tipo de representação periódica e,
portanto, previsível.
A seguir, aplicaremos o mesmo processo
que foi utilizado para a obtenção de frações
contínuas de números racionais para o caso
do número irracional 2 .
I.
1
2 está entre 1 e 2, portanto, 2 = 1 + ,
x
com x > 1.
II. De
2 =1+
2 – 1
1
decorre que:
x
1
x
1
x
2 –1
x
1
u
2 –1
x =1+ 2
2 1
2 1
e, portanto, temos:
1+ 2 = 2 +
V.
1
1+ 2
Substituindo no resultado do passo II
o resultado obtido no passo anterior teremos:
2 =1+
1
2+
1
1+ 2
VI. Note que x = y = 1 2. Se fôssemos
continuar o processo, partiríamos de
y e encontraríamos w = 1 + 2. Na
sequência, partiríamos de w = 1 + 2
e encontraríamos z = 1 + 2, e assim
sucessivamente em um processo infinito. Portanto, a fração contínua que
representa 2 será:
2 =1+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
1
...
O processo descrito nos fornece uma sucessão de aproximações racionais para 2,
35
bastando para isso parar em algum ponto da
sequência infinita indicada na fração contínua.
2≈
4a aproximação:
2 =1+
1
1
2+
2+
1a aproximação: 2 ≈ 1
2 =1+
2+
2+
2+
2+
1
2+
2 ≈ 1+
1
2+
1
...
36
2+
2+
2 =1+
1
2+
1
2+
1
2
2≈
2+
2≈
2+
1
2+
1
1
2+
...
3
2
2 ≈ 1+
1
2+
41
≈ 1, 4138
29
1
1
2+
17
12
1
1
2+
, ou seja , 2 ≈
1
2+
1
...
2+
1
2+
1
...
, ou seja , 2 ≈
1
2+
1
41
29
1
2+
1
2
1
2+
1
2+
1
5a aproximação:
7
3a aproximação: 2 ≈ = 1, 4
5
2 ≈ 1+
1
1
1
1
, ou seja,
2
2 =1+
2+
1
3
2 aproximação: 2 ≈ = 1, 5
2
2 <1 1
1
a
2 =1+
17
≈ 1, 4167
12
1
2
1
2+
1
2+
1
2+
1
2+
, ou seja , 2 ≈
7
5
1
...
Pode-se demonstrar que as sucessivas aproximações racionais obtidas de 2 por meio da
sua fração contínua formam uma sequência
convergente em que seus termos são, alternadamente, aproximações por falta e por excesso
de 2. A tabela a seguir resume esse conjunto
de informações:
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Aproximação
de 2
1a)
2a)
3a)
1
=1
1
5 0,4142
Falta
3
= 1,5
2
5 0,0858
Excesso
7
= 1,4
5
5 0,0142
17
4a)
5 1,4167
12
41
5)
5 1,4138
29
a
Erro em
Tipo de
relação ao
aproximação
valor de 2
de 2, que envolvem infinitas frações não periódicas, ao ser expressa por uma fração contínua a representação da segunda aproximação
será periódica.
A título de curiosidade, apresentamos a seguir a representação com fração contínua de
dois importantes números irracionais, ou seja,
a razão áurea 1 5 e /:
2
5 0,0024
5 0,0004
Falta
Excesso
1+ 5
=
2
1+
1
e
1
1+
1
1+
Falta
1
1+
1
...
1
π=3
1
7
O processo de determinação das frações contínuas dos números racionais e do número irracional 2 sinaliza para as seguintes evidências,
que podem ser matematicamente demonstradas:
1
15 1
1
1
292 1
1
1
1
1
1. Todo número racional pode ser representado por uma fração contínua por
meio de um número finito de passos.
1
2
1
...
Atividade 3
2. Todo número irracional do tipo n (com
n natural não quadrado perfeito) pode
ser representado, por um processo infinito de passos, na forma de uma fração
contínua, cuja configuração é periódica.
3. Todo número real pode ser representado por uma fração contínua.
O segundo resultado enunciado é curioso
porque, contrariamente às outras aproximações
Determine a fração contínua que representa o número 24.
I) 24 está entre 4 e 5, portanto,
24 = 4 + 1 , com x > 1.
x
II) De 24 = 4 + 1 decorre que:
x
24 – 4 = 1
x
x=
1
24 – 4
37
x=
1
24 – 4
u 24 + 4
24 + 4
repetiu o valor de x, a partir de agora o processo começa a
se repetir novamente. Segue, portanto, que a fração contí-
x = 4 + 24
nua que representa 24 será:
8
Temos, portanto, 24 = 4 +
1
4 + 24
8
III) 4 + 24 é um número entre 1 e 2, portanto,
8
4 + 24 = 1 + 1 , y > 1.
y
8
1
24 = 4 +
1
1+
1
8+
1
1+
1
8+
1
1+
8+
IV) De 4 + 24 = 1 + 1 , decorre que y = 4 + 24 e,
y
8
portanto, temos: 4 + 24 = 1 + 1
24 + 4
8
Substituindo o resultado do passo IV no resultado do passo
II, temos:
1
24 = 4 +
1+
1
4 + 24
V) Como y = 4 + 24 é um número entre 8 e 9, temos
4 + 24 = 8 + 1 , com w > 1.
w
VI) De 4 + 24 = 8 + 1 decorre que w = 4 + 24 . Como w
w
8
1
...
Finalizada esta breve apresentação sobre
o assunto, queremos ressaltar, mais uma vez,
que o tratamento dado na ampliação desta
Situação de Aprendizagem aos números racionais e irracionais por meio de frações contínuas consiste em uma alternativa à abordagem tradicional conduzida por boa parte
dos programas curriculares e livros didáticos.
Deve ficar claro que a decisão sobre incorporar ou não essa abordagem (ou parte dela)
caberá ao professor.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA E GEOMETRIA COM A RETA REAL
Conteúdos e temas: construções geométricas com régua e compasso; números reais; reta real;
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras; relações métricas no triângulo retângulo.
Competências e habilidades: estabelecer classificações dos números reais de acordo com critérios preestabelecidos; investigar a localização de números racionais e irracionais na reta real
por meio da utilização de régua sem escala e compasso; argumentar com base em proposições
e raciocinar de forma indutiva e dedutiva para resolver problemas geométricos.
Sugestão de estratégias: retomar conhecimentos de desenho geométrico; estabelecer relação
entre conhecimento aritmético, algébrico e geométrico por meio de problemas de localização
dos números na reta real.
38
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
A reta real
y
4
1
0
B
A
C
1
x
5
Os segmentos AB, AC e BC são formados
por infinitos pontos, contudo, na 6a série/7o ano
não se discutiam especificamente quais são as
coordenadas desses pontos. Se tal discussão fosse conduzida naquela ocasião, certamente preencheríamos os segmentos apenas com pontos
de coordenadas racionais, já que os números irracionais ainda não haviam sido apresentados.
O par ordenado
O estudo da reta real na 8a série/9o ano tem
alguns objetivos muito bem definidos. Inicialmente, ele justifica-se pelo fato de que todo o
conhecimento numérico do aluno, estabelecido ao longo das séries/anos anteriores e organizado na Situação de Aprendizagem 1 deste
Caderno, pode finalmente ser utilizado para
ampliar o significado do plano cartesiano. O
estudo dos gráficos, domínio importante no
contexto da Matemática, já vem sendo realizado desde a 5a série/6o ano do Ensino Fundamental, porém sempre deixando de lado discussões relacionadas ao “preenchimento” do
plano. Por exemplo: na 6a série/7o ano quando
os pontos (1;1), (1;4) e (5;1) são apresentados como vértices de um triângulo retângulo
no plano cartesiano, apenas iniciamos uma
discussão que pode e deve ser retomada na
8a série/9o ano com mais rigor e precisão por
meio de discussão da reta real.
Fazendo a representação do triângulo no
plano, poderemos investigar a questão com
mais clareza:
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
3
; 1 seria um exemplo de
2
Construa no plano cartesiano um triângulo de vértices (1;1), (1;4) e (5;1). Em seguida,
denada x não inteira, e o par
A retomada do tema em questão pode ser
feita com o seguinte problema:
1;
ponto pertencente ao segmento AC, com coor7
3
um
exemplo de ponto pertencente ao segmento
AB, com coordenada y não inteira.
indique alguns pontos ao longo do perímetro
desse triângulo em que ao menos uma de suas
coordenadas não seja inteira.
Se, por opção do professor, o mesmo problema fosse tratado na 7a série/8o ano, após a
apresentação de alguns números irracionais,
39
poderíamos “preencher” os mesmos segmentos com pontos como 2 ; 1 , que pertencem
a AC, e 1; 6 , que pertence a AB. Após o
trabalho feito com o Teorema de Tales na
7a série/8o ano, também poderíamos encontrar pontos pertencentes a BC com ambas as
coordenadas não racionais. Por exemplo, determinaremos a seguir a ordenada do ponto
6 ; y , pertencente ao segmento BC.
)
(
(
)
(
)
y
4
y
1
0
B
D
E
C
A
1
x
5
6
Analisando a figura, sabemos que BE = 4 – y
e ED 6 – 1 . Portanto:
BE ED
6 –1
4–y
A
=
A
3
4
BA AC
Ay 19 – 3 6
 Q.
4
das não racionais:
6;
Assim, o ponto D tem as seguintes coordena19 – 3 6
4
.
Retomando a discussão com os alunos sobre
o número /, iniciada na 6a série/7o ano, é possível
indicar que outro exemplo de ponto pertencen-
40
te ao segmento AC, com abscissa não racional,
corresponderia ao par ordenado (/; 1).
Essa discussão deve servir para que o professor problematize a necessidade de ampliação das ideias relacionadas aos eixos do plano
cartesiano que, a rigor, são eixos de números
reais, apesar de não ter sido definido dessa
maneira até a 7a série/8o ano. Poderíamos dizer que, na 6a série/7o ano, a reta numérica estava preenchida apenas com os racionais, na
7a série/8o ano foram incluídos alguns números
irracionais (caso o professor tenha optado por
iniciar a discussão sobre irracionais nessa série/
ano), e na 8a série/9o ano ela será completamente preenchida com os demais irracionais.
Antes da proposta de trabalho com a reta
real, falaremos brevemente sobre a divisão dos
números reais entre algébricos e transcendentes. Embora esse assunto não seja abordado
no Ensino Fundamental; porém não encontramos grandes obstáculos para que ele seja
abordado, especialmente se houver interesse
do professor em tratar o assunto sob o ponto
de vista da história da Matemática. Observe a
seguinte definição:
Um número real é algébrico quando ele é
solução de uma equação algébrica com coeficientes inteiros.
Vejamos alguns exemplos de equações algébricas com coeficientes inteiros, bem como
o respectivo grau da equação:
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Grau da
Equação algébrica
equação
2x + 8 = 0
Solução da
equação
1
–4
– 6x + 4 = 0
1
2
3
x2 = 3
2
( 3
x2 + x – 2 = 0
2
1 ou –2
x3 + x2 – 2x – 2 = 0
3
– 2, 2
ou –1
Usando a definição de números algébricos
e a tabela, podemos dizer que os números – 4,
2
,– 3,
3
3 , 1, –2, – 2 ,
2 e –1 são classifi-
cados como algébricos (veja a definição na página 40).
Observações:
f uma equação do tipo
2 x – 1 0 não
2
serviria para classificar o número
2
como algébrico porque, apesar de a equação ser algébrica, ela não possui todos os
coeficientes inteiros (o coeficiente de x é
o número irracional 2 ). Para mostrar
2
que
é um número algébrico, teríamos
2
que apresentar, por exemplo, a equação
2x2 – 1 = 0;
f equações do tipo x +
1
+ 2 = 0 e
x+1
x + 2 x + 2 = 0 não são algébricas. Equa-
ções algébricas são do tipo a0xn + a1xn – 1 +
+ ... + an – 1x + an= 0, com a0 ≠ 0, a0, a1, ...,
an – 1, an, dado seus coeficientes (reais) e n,
o seu grau;
f um mesmo número algébrico pode ser
identificado por mais de uma equação
algébrica com coeficientes inteiros, mas
basta apresentar uma única equação
para que ele seja classificado como algébrico. Alguns exemplos de equações que
permitem classificar o número 2 como
algébrico são: x2 – 2 = 0, 5x2 – 10 = 0,
x3 + x2 – 2x – 2 = 0 etc.
O primeiro motivo de estabelecermos essa
classificação é o de justificar para o aluno a
diferença entre números irracionais como 2
e o /. Enquanto 2 é um número irracional
algébrico, não há uma equação algébrica com
coeficientes inteiros que tenha como solução o
número /, o que o caracteriza como irracional
não algébrico (ou transcendente). Todo número
racional é algébrico, mas nem todo número
irracional é algébrico.
Existem inúmeros exemplos de irracionais
transcendentes, porém, até o final do Ensino
Fundamental, o aluno terá contato com apenas alguns poucos deles. Pode-se demonstrar
matematicamente que são irracionais transcendentes números como / e 2 2 .
A reta real é o conjunto que reúne os números
racionais e irracionais ou, em outras palavras, o
conjunto que reúne os números algébricos e os
números transcendentes. Por fim, afirmaremos
que todo número racional é algébrico, nem todo
número irracional é algébrico e que todo número transcendente é irracional.
41
Localização de números na
reta real com o uso de régua e
compasso
Os gregos antigos interessavam-se por construções geométricas feitas com o uso de dois
dos instrumentos geométricos mais simples
de todos: a régua sem escala e o compasso.
Outros instrumentos de construção também
eram utilizados na Antiguidade clássica,
porém, acredita-se que o problema de encontrar os procedimentos para as construções
geométricas com o uso de apenas esses dois
instrumentos estaria relacionado à busca de
simplicidade e elegância.
Iremos investigar a seguir alguns procedimentos com régua sem escala e compasso
Construção dos números naturais e dos
inteiros negativos
para localizar na reta real a maior quantidade
de números que for possível. Começaremos
nossa discussão apresentando um diagrama
com exemplos de números de cada conjunto
numérico e, em seguida, tentaremos localizar
na reta real (com os instrumentos permitidos)
alguns dos exemplos colocados no diagrama.
IR –
1
2
2
–1
IN
3
3
–2
1
1
3
2
4
0
2
3
–3
2
–6
π
2,3666...
Construção dos racionais não inteiros
© Conexão Editorial
1. Partindo de uma reta ordenada com uma marcação para
o zero, estabeleça uma unidade
de medida arbitrária (1u) e, com a ajuda do
compasso, marque alguns números naturais e os inteiros negativos transferindo a
unidade para a reta real.
Os procedimentos para localização dos
racionais na reta real podem variar muito e
é importante que o professor dê liberdade
para que os alunos pensem sobre suas estratégias de localização antes que seja generalizado algum método-padrão. Sugerimos que
1
se comece com a localização de , passando
2
1
1
para 0,25 = , e depois para . Apresenta4
3
mos a seguir exemplos de procedimentos
que permitem a construção desses números.
1
na reta real.
2
(Sugestão: marque com o compasso o número 1 e, em seguida, trace a mediatriz do
segmento que liga os números 0 e 1.)
2. Faça a construção do
1u
–3
42
– 4
7
0,25
–2
–1
0
1
2
3
IR
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
1. Marcamos com o compasso o número 1.
2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números
0 e 1.
3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é o
número 1 .
2
0
1
IR
0
1
4
1
2
1
IR
Com as duas construções deve ficar claro para o aluno que podemos construir
com régua sem escala e compasso qualquer número da sequência 1 , 1 , 1 , 1 , ... .
2 4 8 16
4. Com base nas atividades anteriores, reflita
sobre como seria possível construir, com
régua sem escala e compasso, o número ra7
. Registre suas conclusões.
cional –
8
De forma geral, é simples a construção de qualquer núme-
3. Construa e localize, na reta real, com régua e compasso, o ponto correspondente
ao número 0,25 = 1 .
4
1. Traçamos 1 (conforme já foi descrito).
2
2. Traçamos a mediatriz do segmento que liga os números
0e 1 .
2
3. O ponto de cruzamento entre a mediatriz e a reta real é
o número 1 .
4
ro racional cujo denominador seja uma potência de 2. Por
exemplo, se quisermos construir o racional –
7
8
, basta traçar
1
, o que
4
1
7
1
. Como –
= (–1) u 7 u
,
estabelecerá o racional
8
8
8
1
sete
com a ajuda do compasso, transferimos a medida
8
a mediatriz do segmento de extremos em 0 e
vezes à esquerda do zero.
5. Siga as orientações seguintes e localize
1 na reta real. (Observação: embora seja
3
43
um pouco trabalhoso, o procedimento de
construção é vantajoso porque constitui
um método geral para a representação de
1
qualquer racional do tipo , com q D *).
q
É interessante notar que muitos alunos
1
tentam localizar
na reta real repetindo o
3
procedimento da mediatriz, o que torna o
problema muito complexo. Recomendamos
que o professor permita que os alunos discutam em pequenos grupos o problema da loca1
lização de na reta real. É provável que apa3
reçam soluções criativas e diferentes entre os
grupos. Apresentamos a seguir uma solução
do problema que tem a vantagem de se constituir num método geral para a representação
1
de qualquer racional do tipo , com q D *.
q
1
f Construção do :
3
I.
Marque D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.
II. Trace uma reta qualquer (diferente da
reta real) passando por D, que chamaremos de reta t.
III. Na reta t, com a ajuda do compasso,
marque três segmentos de mesmo comprimento a partir do ponto D (na figura
são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses segmentos não precisa
ser igual à unidade de medida 1u.
IV. Ligue C com E formando o triângulo
DCE.
44
Até essa etapa, sua construção dever ser
semelhante a:
D
E
0
1
IR
A
B
C
t
Note que, se for possível traçar, com régua e
compasso, retas paralelas à reta que passa por E
e C de forma que elas passem pelos pontos B e A,
segundo o Teorema de Tales, a interseção dessas
1 2
retas com a reta real ocorrerá nos números e .
3 3
Para traçar a paralela s à reta EC, siga estes
passos:
I. A partir de um ponto P de EC, abra o
compasso até B e trace uma semicircunferência de diâmetro XZ .
II. Transfira com o compasso o segmento
XB na semicircunferência para a posição indicada na figura por ZQ (XB e
ZQ são congruentes).
III. Ligue os pontos B e Q para determinar
a reta s, que será paralela à EC.
IV. Observe que a interseção de s com a reta
2
1
real ocorrerá em . Para traçar , basta
3
3
transferir com o compasso o segmento
2
de extremos em e em 1 para a esquerda
3
2
de (note que o segmento reproduzi3
1
do tem medida igual a u).
3
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Agora, verifique se a sua construção corresponde à figura a seguir:
E
D
0
1
3
A
2
3
IR
1
Z
P
Q
B
X
s
C
t
Caso constate alguma diferença entre a sua
construção e a imagem apresentada, tente rever
as etapas indicadas para identificar possíveis
problemas.
O procedimento descrito anteriormente
permite a generalização da construção com
régua sem escala e compasso de qualquer ra1
cional , com q D * e, consequentemente, de
q
p
qualquer fração , com p D e q D *.
q
6. Construa e localize, na reta real, com
régua e compasso, o ponto correspon5
dente ao número 0,8333... = .
6
0
5
6
Localização de números irracionais na reta
real com o uso de régua e compasso
7. Uma vez que já conhecemos
um procedimento para localizar
todos os racionais na reta real
com régua e compasso, o próximo passo é investigar a localização dos números irracionais, por exemplo, a construção de 2
pode ser feita da seguinte forma:
a) Trace uma perpendicular à reta real
passando pelo zero.
b) Marque 1u na reta traçada (P) e também na reta real (Q).
c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem medida 2u (pelo Teorema de Pitágoras).
d) Transfira com o compasso o segmento
de extremos P e Q para a reta real e determine 2u sobre ela.
Verifique se sua construção corresponde à
figura a seguir:
1
P
2
Q
0
1
2
IR
IR
1
s // t
s
t
Observe que, se utilizarmos um triângulo retângulo de catetos 1u e 2u, sua hipotenusa será
3 u, o que indica que também é possível construir 3 , ou seja, repetindo esse processo, pode-se construir qualquer número irracional do tipo
n , com n natural e não quadrado perfeito.
45
Frequentemente, os livros de Matemática
apresentam a seguinte construção associada
a uma espiral.
1
1
ƅŊ
3
1
1
1
ƅŊ
4
8. Construa 4 2 com base na propriedade do
triângulo retângulo apresentada a seguir:
ƅŊ
5
ƅŊ
2
interesse e motivação por parte dos alunos
p
na representação das raízes do tipo n , com
p ≠ 1, sendo uma potência de 2, o professor
já poderá dar início à discussão sobre semelhança de triângulos.
1
1
ƅŊ
6
A
ƅŊŊ
17
ƅŊ
7
h2 = m u n
1
ƅŊŊ
16
ƅŊ
8
ƅŊŊ
15
ƅŊŊ
13 ƅŊŊ ƅŊŊ ƅŊŊ
10
12 11
b
h
1
ƅŊ
9
ƅŊŊ
14
...
c
1
B
n
m
a
C
1
1
1
a) Analisando a relação anterior, qual será
o valor de h se n = 1 e m = 2?
Utilizando esse resultado para n = 1 e m = 2, teremos h = 2 .
O procedimento descrito generaliza a construção das raízes quadradas, mas nada revela
sobre a questão das raízes com índices diferentes de 2. A seguir descreveremos um procedimento geral para a construção com régua e
p
compasso das raízes do tipo n , sendo n natural não quadrado perfeito, e p uma potência
de 2 diferente de 1, ou seja, o método permitirá construir, por exemplo, 2 , 4 2 , 8 2 , 16 2 , ...
Vale lembrar que o método que apresentaremos será demonstrado por semelhança
de triângulos, que é um dos temas do volume 2 da 8a série/9o ano. Caso o professor
opte por discuti-lo neste momento do curso, deverá ter trabalhado antes as relações
métricas no triângulo retângulo. Havendo
46
b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?
Se aplicarmos o resultado para n = 1 e m = 2 , obteremos
h=4 2.
c) Qual seria o valor de h se n = 1 e
m = 4 2?
Fazendo agora n = 1 e m = 4 2 = , encontraremos h = 8 2 .
d) Repetindo esse procedimento, quais raízes podem ser obtidas?
n
2 , com n potência inteira de 2 (n ≠ 1).
Resta investigar qual deve ser o procedimento, com régua e compasso, para a construção de n. Ilustraremos tal procedimento
para h = 4 2 .
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Acompanhe os procedimentos necessários para a construção de 4 2 ,
com régua sem escala e compasso.
1. Trace com régua e compasso os números reais 1 e 1 2.
4. Trace uma perpendicular à reta real
passando pelo número 1 e, em seguida, marque com o ponto P sua interseção com a semicircunferência.
t
2. Trace a mediatriz t do segmento de
extremos em 0 e 1 2 para determinar M, ponto médio desse segmento.
P
t
1
M
2
0
1
0
1
M
2 1
2
IR
2
1
1
2
M
IR
3. Trace uma semicircunferência de cen1
2
tro M e raio
.
2
5. Observe que o segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 4 2 , porque é a altura de
um triângulo retângulo de projeções
ortogonais dos catetos sobre a base
medindo 1 e 2 .
Este ângulo é reto porque
é um ângulo inscrito de um
ângulo central de 180°.
t
h2 = 1 ⋅ 2
h
2
1
h 42
0
1
M
1
2
IR
1
2
O procedimento descrito permite que se
p
construa qualquer raiz do tipo n , dado
que p é uma potência de 2 diferente de 1, ou
seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.
47
9. Construa e localize, na reta real,
com régua e compasso, o número 5.
(Use o procedimento da espiral.)
1
1
Os números algébricos de grau 1 são os
números racionais, e os demais são as raízes
p
do tipo n , em que p é igual a 2, 4, 8, 16, ...,
e n natural. Segundo essa evidência, que está
matematicamente demonstrada, números irracionais algébricos como 3 2 , e números
transcendentes como /, não são possíveis de
serem construídos com régua sem escala e
compasso. Tal fato não significa que esses números não estejam na reta real.
1
3
2
2
5
1
Os únicos números reais possíveis de ser
construídos com régua sem escala e compasso são os números algébricos de grau 1, 2, 4,
8, 16, ...
1
10. Com base no que foi apresentado na seção
Leitura e análise de texto, construa 4 5 ,
com régua sem escala e compasso. (Use as
relações métricas no triângulo retângulo.)
Tal discussão tem relevância histórica uma vez
que está relacionada a dois antigos problemas clássicos investigados pelos gregos antigos: a da duplicação do cubo e a da quadratura da circunferência.
Acompanhe os problemas a seguir:
4
5
0
1
IR
1+ 5
A duplicação do cubo: construir com régua sem escala e compasso a medida x
do lado de um cubo que tenha o dobro do volume de um cubo de lado 1.
Refletiremos a seguir sobre a construção
com régua e compasso dos demais números
irracionais, como 3 2 e /.
a
Apesar de não ser objetivo do curso da 8 série/
9 ano, o professor pode discutir com os alunos
a seguinte evidência matemática:
x
1
x
1
1
x
o
48
V=1
V' = 2V
V' = x3
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Se V' = 2, então x3 = 2V. Sendo V = 1, então
x3 = 2 e x = 3 2 . Portanto, o problema se resume na busca de um método para a construção
de 3 2 com régua e compasso.
A quadratura da circunferência: construir
com régua sem escala e compasso um quadrado cuja área seja igual à de um círculo
dado ou, de modo equivalente, construir um
círculo de área igual à de um quadrado dado.
r
x
x
A=πur
2
2
x = π u r2
Dado um círculo de raio 1, o valor procurado de x é π .
Tanto o problema da duplicação do cubo
como o da quadratura da circunferência não podem ser resolvidos. No primeiro, 3 2 é um número algébrico de grau 3 e, como tal, não se pode
construí-lo com régua e compasso. O segundo,
por sua vez, não é possível de ser construído porque / é transcendente. Note que avaliar
a construtibilidade de π se resume a avaliar a
construtibilidade de / porque π corresponderia à altura h de um triângulo retângulo de
projeções ortogonais dos catetos n = 1 e m = /.
Encerrada a discussão desta Situação de
Aprendizagem, vale lembrar que o tema tratado
permite que se retome o estudo do desenho geométrico e que se faça uma aproximação entre os
eixos da Aritmética, da Álgebra e da Geometria.
Sabemos que a discussão conduzida não é usualmente feita no Ensino Fundamental, porém não
existem obstáculos reais para que o assunto seja
tratado, a não ser por uma opção do professor. Esperamos, contudo, que esta Situação de
Aprendizagem contribua para que se agregue conhecimento aos tópicos similares que constam do
seu planejamento anual da disciplina.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem
não apresentamos sugestões de exercícios
porque toda a discussão feita pode com facilidade ser transformada em atividades
para o aluno. Por exemplo: uma vez que o
1
professor tenha mostrado a construção de ,
2
1 1 1
a construção de , , , ... pode se transformar
4 8 16
em exercício. Da mesma forma, por meio da
1
construção de , a construção de outros
3
números racionais pode passar a ser um
exercício de sala de aula ou uma atividade
de avaliação. Para os irracionais, se o professor optar por trabalhar apenas com as
raízes quadradas, o exemplo de 2 deve
ser suficiente para que o aluno possa trabalhar com qualquer raiz do tipo n , com
n natural e não quadrado perfeito. No caso
das demais raízes, o exemplo de 4 2 deve
permitir que os alunos resolvam exercícios
com 8 2 , 16 2 , 32 2 , ...
O professor também deve ter clareza de que é
desejável que os alunos possam trabalhar, de preferência em pequenos grupos, na busca de processos geométricos que permitam a construção dos
49
números solicitados. Uma atividade interessante
que o professor pode propor é a de determinar
procedimentos diferentes de construção com régua e compasso de um mesmo número.
No que diz respeito à avaliação, o professor
pode explorar a construção geométrica dos números, bem como ideias relacionadas à classificação de números em conjuntos, uma vez que é
possível fazê-la de acordo com novos critérios:
números construíveis (e não construtíveis) com
régua e compasso; números algébricos; e números transcendentes.
Uma vez que o tema explorado nesta
Situação de Aprendizagem mantém forte
vínculo com importantes tópicos da história antiga da Matemática, o professor pode
solicitar também que os alunos façam uma
pesquisa sobre os problemas clássicos de
construção. Caso se opte por essa forma
de avaliação, sugerimos que a pesquisa não
se restrinja apenas aos aspectos históricos,
mas que se faça também Matemática com
ela, principalmente no que diz respeito às
construções geométricas com régua, compasso e outros instrumentos. Por exemplo: o
professor pode pedir que os alunos investiguem o problema da trisseção de um ângulo
ou o problema da construção do pentágono
regular, que estão diretamente relacionados
com a discussão de números reais.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
POTÊNCIAS, NOTAÇÃO CIENTÍFICA E
ORDEM DE GRANDEZA
Conteúdos e temas: potências de 10; operações com potências; notação científica; ordem de
grandeza.
Competências e habilidades: conhecer as propriedades operatórias das potências; escrever um
número em notação científica; determinar a ordem de grandeza de um número; resolver problemas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos.
Sugestão de estratégias: revisar as propriedades de operações com potências; resolução de
atividades e exercícios.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
O objetivo principal desta Situação de Aprendizagem é o aprofundamento da notação numérica na forma de potências. Na 7a série/8o ano,
50
já havíamos problematizado o uso das potências de 10 para representar números muito
grandes ou muito pequenos. Se o professor
achar necessário, poderá fazer uma revisão sobre as principais propriedades das operações
com potências.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Nesta Situação de Aprendizagem, vamos
formalizar o conceito de notação científica
e apresentar a noção de ordem de grandeza. Esses dois conceitos são fundamentais,
não só para a continuidade dos estudos em
Matemática, mas também para as Ciências:
Física, Biologia e Química.
O micro, o macro e as potências de 10
O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de 10 é que
ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito
pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sempre são inteligíveis. Por
exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 0,000000005 cm; uma célula
é formada por cerca de 2 000 000 000 000 átomos. Dificilmente somos capazes de assimilar tais
informações. Escrevendo os mesmos números como potências de 10, é possível ter uma ideia da
ordem de grandeza deles:
f raio do átomo de hidrogênio: 5 u 10–9 cm;
f número de átomos em uma célula: 2 u 10 12.
Um número pode ser escrito como uma potência de 10 de diferentes formas. Para isso,
basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de 10:
1 500 u 1 = 150 u 10 = 15 u 100 = 1,5 u 1 000 = 0,15 u 10 000 = ...
Em notação de potência de 10, os mesmos números seriam escritos assim:
1 500 u 100 = 150 u 101 = 15 u 102 = 1,5 u 103 = 0,15 u 104 = ...
Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como o produto de uma
potência de 10.
Professor, vale lembrar que as potências
de 10 ajudam na compreensão e na comparação de números muito grandes ou muito
pequenos. Contudo, nossa percepção numérica dificilmente consegue dar sentido a esses
números extremos, uma vez que não estamos
acostumados a lidar com tais valores em nosso cotidiano. Para se ter uma ideia dessas
magnitudes, pergunte aos alunos quanto tempo alguém levaria para contar até um milhão,
na velocidade de um número por segundo.
Muito provavelmente, as estimativas mais ousadas devem se situar perto de algumas horas.
Na realidade, seriam necessários 12 dias para
se contar até um milhão, e cerca de “32 anos”
para um bilhão.
51
Para desenvolver esse conceito, trabalhe com
os alunos a atividade 2 desta Situação de Aprendizagem, na qual eles terão de preencher uma
tabela a partir do exemplo dado.
Outro artifício para a comparação e a compreensão dos números relativos a algumas medidas é a utilização dos prefixos do Sistema Internacional. Professor, esse assunto será trabalhado
posteriormente, na seção Pesquisa individual.
f Para números maiores que dez:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve “deslocar-se” para a esquerda até encontrar a casa da unidade. Esse número será o expoente da potência de 10.
Exemplo:
1 50 000 000 = 1,5 u 108
8 casas
Escrevendo um número em notação
científica
Um número qualquer pode ser escrito em
notação científica se for transformado em um
produto de um número compreendido entre
um e dez (incluindo o 1) por uma potência de
10 de expoente inteiro.
Note que a vírgula “desloca-se” 8 casas
decimais para a esquerda. Portanto, 8 é o
expoente da base 10.
f Para números menores que 1:
Conta-se o número de casas que a vírgula
deve “deslocar-se” para a direita até encontrar
a casa da unidade. Este número será o expoente negativo da potência de 10.
Exemplos:
7 = 7 u 100
100 = 1 u 102
Exemplo:
1 500 = 1,5 u 1 000 = 1,5 u 103
0,00081 = 8,1 u 10–4
4 casas
62 300 = 6,23 u 10 000 = 6,23 u 104
1
0,02 = 2 u
= 2 u 10–2
100
0,00058 = 5,8 u
1
= 5,8 u 10–4
10 000
Uma maneira prática de escrever a notação
científica é a seguinte:
52
A vírgula “deslocar-se” 4 casas decimais
para a direita, e –4 é expoente de 10.
O significado da regra prática
É importante comentar com os alunos que,
na verdade, não é a vírgula que se desloca,
mas o algarismo. Quando multiplicamos um
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
número por um múltiplo de dez, altera-se o
valor posicional de todos os seus algarismos
para um valor superior, ou seja, à esquerda.
Como a vírgula fica em uma posição fixa, separando a unidade dos décimos, tudo se passa
como ela se deslocasse para a direita. Se multiplicarmos 2,5 por 10, as duas unidades viram dezenas, e os cinco décimos viram cinco
unidades, resultando em 25.
Da mesma forma, quando dividimos um número por um múltiplo de 10, os algarismos se deslocam para um valor posicional menor, à direita.
Se dividirmos 25 por 100, as duas dezenas
viram dois décimos, e as cinco unidades, cinco
centésimos, resultando em 0,25. Novamente,
tudo se passa como se a vírgula se deslocasse
para a esquerda.
A seguir, propomos algumas atividades
para a consolidação dos procedimentos de escrita na forma de potências de 10 e em notação
científica.
1. Escreva de quatro modos diferentes os números a seguir
como potências de 10.
a) 250 = 25 · 10 = 2,5 · 100 = 0,25 · 1 000 = 2 500 . 0,1
b) 0,004 = 4 · 0,001 = 0,4 · 0,01 = 0,04 · 0,1 = 0,0004 · 10
c) 4,73 = 47,3 · 0,1 = 0,473 · 10 = 473 · 0,01 = 0,0473 · 100
d) 0,125 = 125 · 10–3 = 12,5 · 10–2 = 1,25 · 10–1 = 0,0125 · 101
e) 25 300 = 2 530 · 101 = 253 · 102 = 25,3 · 103 = 253 000 · 10–1
2. Percepção numérica: números muito grandes ou muito pequenos costumam fugir à
nossa intuição. Como intuir a magnitude
de um milhão ou de um trilhão? E a magnitude de um bilionésimo? Nesta atividade,
você vai verificar se sua intuição numérica
é capaz de avaliar a magnitude de alguns
números. Para isso, suponha que você tenha de estimar o tempo necessário para
contar até determinado número, um número por segundo. Por exemplo, para contar
até 100, são necessários 100 segundos, isto
é, 1 minuto e 40 segundos.
Preencha a tabela com base nas instruções
a seguir:
I. observe os números por extenso, apresentados na primeira coluna;
II. seguindo o exemplo da segunda coluna, insira os numerais de acordo com
a primeira coluna;
III. na terceira coluna, indique o numeral
na forma de potência de 10;
IV. na última coluna, efetue os cálculos
necessários para determinar o tempo
de contagem, usando uma unidade
de medida apropriada (minuto, hora,
mês, ano ou século).
53
Nome
Número
Potência de 10
Tempo de contagem
Um
1
100
1 segundo
Mil
1 000
103
17 minutos
Milhão
1 000 000
106
12 dias
Bilhão
1 000 000 000
109
32 anos
Trilhão
1 000 000 000 000
1012
32 mil anos
Quatrilhão
1 000 000 000 000 000
1015
32 milhões de anos
Quintilhão
1 000 000 000 000 000 000
1018
32 bilhões de anos
Prefixos do Sistema
Internacional de Medidas
Os prefixos são usados para facilitar a
medição de algumas grandezas, principalmente nas ciências. Alguns desses prefixos são bem conhecidos, como o quilo
(1 000), que é usado para expressar distâncias (quilômetro = 1 000 metros), massa
(quilograma = 1 000 gramas) ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte =
= 1 000 bytes). Outros prefixos são menos
conhecidos, como os exemplos a seguir:
f um elétron tem 1 femtômetro de extensão.
f a luz amarela tem comprimento de
onda de 0,5 micrômetro.
f uma montanha pode pesar cerca de
100 petagramas.
f as informações digitais criadas, capturadas e replicadas no mundo em
2007 equivaleram a 281 exabytes.
54
Faça uma pesquisa e descubra quais
são os outros prefixos do Sistema Internacional. Preencha a tabela a seguir com o
nome dos prefixos e símbolos correspondentes aos valores em potências de 10.
Prefixo
Símbolo
Potência de 10
atto
a
10–18
femto
f
10–15
pico
p
10–12
nano
n
10–9
micro
μ
10–6
mili
m
10–3
centi
c
10–2
Prefixo
Símbolo
deci
d
10–1
quilo
k
103
mega
M
106
giga
G
109
tera
T
1012
peta
P
1015
exa
E
1018
Potência de 10
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
3. Escreva os números a seguir por
extenso e em notação científica:
d) A espessura da folha de papel é de aproximadamente 0,0001 m.
10 –4 m.
Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos),
3,5 u 10–2
a) 7 300 000 000
9
Sete bilhões e trezentos milhões ou 7,3 u 10 .
b) 2 980 000 000 000 000 000
Dois quintilhões, novecentos e oitenta quatrilhões ou
Operações com potências de 10
Uma das vantagens de expressarmos um número na forma de potências de 10 é que as operações se tornam mais simples. É um bom momento para retomar com os alunos as propriedades
das operações com potências de mesma base:
2,98 u 1018.
c) 0,25
Vinte e cinco centésimos ou 2,5 u 10 –1.
d) 0,0004
Quatro décimos de milésimos ou 4 u 10 –4 .
e) 0,0000125
f na multiplicação basta fazer a soma dos
expoentes. 103 u 108 = 103 + 8 = 1011;
f na divisão, efetua-se a subtração dos expoentes. 108 105 = 108 – 5 = 103;
f potência de uma potência resulta na multiplicação dos expoentes. (103)2 = 103 u 2 = 106;
f potências com expoentes racionais: o
denominador do expoente é o índice da
2
5
Cento e vinte e cinco decimilionésimos: 1,25 u 10 –5.
4. Transforme os dados numéricos em notação científica.
a) A população da China é aproximadamente igual a 1,3 bilhão de habitantes.
1,3 u 109.
b) A Bacia Amazônica é formada pelo
Rio Amazonas e seus afluentes, e ocupa uma área de 7 045 000 km2, dos quais
4 750 000 km2 estão em território brasileiro.
raiz. 3 5 32 .
Seguem alguns exemplos envolvendo tais
propriedades:
f 0,0021 u 30 000 000 =
= (2,1 u 10–3) u (3 u 107) =
= (2,1 u 3) u (10–3 u 107) = 6,3 u 104
f 350 000 0,02 = (3,5 u 105) (2 u 10–2) =
= (3,5 2) u (105 10–2) = 1,75 u 107
7,045 u 106 km2 e 4,75 u 106 km2.
f (0,005)3 = (5 u 10–3)3 = 125 u 10–9 = 1,25 ·
· 102 · 10–9 = 1,25 u 10–7
c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 km/s.
f
3 u 105 km/s.
5
250 000 = 2, 5 ∙ 10 =
4
4
= 25 ∙ 10 = 25 u 10 4 = 5 ∙ 10 2 =5u 102
55
Ainda no caso da adição e subtração, pode-se recorrer à fatoração, transformando as parcelas em potências de 10 com mesmo expoente.
d) 7,54 u 107 – 3,2 u 106 =
75,4 u 106 – 3,2 u 106 = 72,2 u 106 = 7,22 u 107.
7. Escreva as distâncias indicadas
na tabela em notação científica:
a) 6,5 u 103 + 5,4 u 103 = (6,5 + 5,4) . 103 =
= 11,9 u 103 = 1,19 u 104
b) 4,6 u 105 – 2,5 u 103 = 460 u 103 – 2,5 u 103 =
= (460 – 2,5) u 103 = 457,5 u 103 =
= 4,575 u 105
(Observação: Os procedimentos aqui apresentados poderão ser trabalhados de forma
minuciosa de acordo com a preferência do
professor.)
5. Efetue as seguintes operações usando as propriedades
da potenciação. Dê as respostas em notação científica.
a)
b)
c)
d)
1 200 u 500 000 = 1,2 u 103 u 5 u 105 = 6 u 108.
0,00015 u 0,002 = 1,5 u 10–4 u 2 u 10–3 = 3 u 10–7.
450 000 ÷ 0,009 = 4,5 u 105 ÷ 9 u 10–3 = 0,5 u 108 = 5 u 107.
(0,0004)4 = (4 u 10–4)4 = 256 u 10–16 = 2,56 u 10–14
6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta
em notação científica.
Planeta
Distância média
até o Sol (em km)
Notação
científica
Mercúrio
57 900 000
5,79 u 107
Vênus
108 200 000
1,082 u 108
Terra
149 600 000
1,496 u 108
Marte
227 900 000
2,279 u 108
Júpiter
778 300 000
7,783 u 108
Saturno
1 427 000 000
1,427 u 109
Urano
2 870 000 000
2,87 u 109
Netuno
4 497 000 000
4,497 u 109
8. Com base na tabela anterior, considere o seguinte problema: em determinado momento,
Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto na Terra. Qual é
a distância entre Saturno e a Terra? (Faça um
desenho para representar a situação descrita.)
a) 2,5 u 105 + 7 u 103 =
103 u (2,5 u 10 2 + 7) = 10 3 u (257) = 2,57 u 105 ou 250 · 103 + 7 · 103 =
= 103 (250 + 7) = 257 · 103 = 2,57 · 105.
b) 2,5 u 107 – 500 u 104 =
2,5 u 107 – 0,5 u 107 = 2 u 107.
Podemos resolver esse problema por meio do Teorema de
Pitágoras.
56
c) 1,28 u 108 + 4 u 105 =
D2Sol-Sat = D2Sol-Terra + D2Terra-Sat
1 280 u 105 + 4 u 105 = 1 284 u 105 = 1,284 u 108.
(1,4 . 109)2 = (1,4 . 108)2 + D2Terra-Sat
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
D2Terra-Sat = 1,96 . 1018 – 1,96 . 1016
D Terra-Sat = 194,04 . 1016 13,9 . 108 = 1,39 . 109
D2Terra-Sat = 196 . 1016 – 1,96 . 1016
A distância entre a Terra e Saturno é de aproximadamente
2
Terra-Sat
D
16
1 390 000 000 km.
= 194,04 . 10
Ordem de grandeza
Em muitas situações, quando se trabalha com medidas muito grandes ou muito pequenas,
não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que compõem o número.
Nesses casos, basta conhecer a potência de 10 que mais se aproxima de determinado valor. Tal
potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida.
Exemplos:
a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km.
Esse número pode ser escrito como 7,785472 u 108 km. Como 7 está mais próximo
de 10 do que de 1, é possível arredondá-lo para 10, resultando no produto 10 u 108.
Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.
b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10–5, pois escrevendo o número em notação
científica, 3,1 u 10–5, nota-se que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, arredondando o número para baixo, o resultado será 1 u 10–5.
Conhecendo a ordem de grandeza de diversas medidas, pode-se facilmente distinguir qual é
a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de 10. Retomando a tabela
da atividade 7, que informa as distâncias médias dos planetas em relação ao Sol, constata-se que
a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância de Júpiter-Sol é da ordem de
109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproximadamente, dez vezes mais distante
do Sol que a Terra.
9. Dê a ordem de grandeza das
seguintes medidas:
a) População mundial: aproximadamente
6,9 bilhões em 2011.
c) Massa de um elétron: 9,11 u 10–28 g
10–27 g
d) Altitude do Everest: 8 848 m
104 m
1010
24
b) Massa da Terra: 5,9742 u 10 kg
1025 kg
e) Idade estimada do Universo: 13,7 bilhões
de anos.
1010 anos.
57
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é a de que os alunos tenham
consolidado seus conhecimentos sobre potências e suas operações. Além disso, eles devem saber escrever um número qualquer em
notação científica e realizar operações com
ela. O conhecimento sobre as propriedades das operações com potências também é
fundamental. Outro conceito importante que
deve ser considerado nas avaliações é o de ordem de grandeza.
A avaliação do aprendizado dos alunos
deve ser feita continuamente, tanto ao longo
das atividades propostas como ao final de
um ciclo ou bimestre. As atividades propostas nesta Situação de Aprendizagem constituem exemplos de exercícios que podem ser
utilizados para compor a avaliação, a partir
das expectativas listadas no parágrafo anterior. Além disso, os livros didáticos contêm
uma série de outros exercícios e problemas
que podem complementar o trabalho do
professor na elaboração de fichas de exercícios e provas.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
ALGUNS MÉTODOS PARA RESOLVER EQUAÇÕES
DE 2o GRAU
Conteúdos e temas: alguns métodos particulares para resolver equações de 2o grau; solução
geral de uma equação de 2o grau; desenvolvimento da fórmula de Bhaskara; discussão da
solução: número de raízes; relação entre coeficientes e raízes de uma equação.
Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações e problemas geométricos; expressar situações envolvendo equações de 2o grau na forma
algébrica; resolução de equações de 2o grau por diferentes métodos (cálculo mental, fatoração e aplicação da fórmula de Bhaskara); utilizar a linguagem algébrica para exprimir a área
e o perímetro de uma figura plana; capacidade de interpretar enunciados; transpor ideias
relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalização e organização de dados a partir
de certa propriedade.
Sugestão de estratégias: apresentação de uma coleção de exercícios exemplares que exploram
diferentes contextos; enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.
58
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 5
Para a introdução desse tema são sugeridos,
inicialmente, problemas e outros tipos de equações que podem ser “traduzidos” por meio de
equações de 2o grau, a fim de discutir alguns
modos possíveis de resolvê-las. Antes de introduzir qualquer técnica para a resolução de
uma equação de 2o grau, é importante que os
alunos utilizem seus conhecimentos já construídos para encontrar as raízes de equações ou solucionar o problema em questão. Como alguns
problemas poderão ficar em aberto, este é o
momento propício para iniciar o trabalho com
as técnicas de resolução. Todavia, sugere-se
a discussão de diversos procedimentos e métodos para resolver equações de 2o grau, antes
do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara.
Para o começo deste trabalho, é conveniente
a proposição de equações do tipo ax2 + c = 0,
com a ≠ 0, uma vez que, para obter suas raízes,
podem ser aplicados os procedimentos utilizados na resolução de equações de 1o grau e conhecimentos sobre potências de números.
A combinação de elementos algébricos e
geométricos também é explorada dando sequência às interpretações dos produtos notáveis trabalhados na 7a série/8o ano.
Posteriormente, o professor pode discutir
a seguinte evidência: se o produto de dois números reais é zero, necessariamente um desses
números é zero, ou seja: se a u b = 0, então
a = 0, ou b = 0 ™ a, b D IR. Dessa forma,
os alunos poderão resolver equações do tipo
a(x – x1) u(x – x2) = 0 e ax2 + bx = 0, com a ≠ 0 .
As atividades a seguir sugerem uma sequência para o desenvolvimento desse trabalho.
1. Os participantes de um festival de música decidiram que, ao
final do evento, fariam uma festa de encerramento. Nessa festa, cada participante daria uma flor de presente a cada
colega que participou do evento. Quantas
flores serão distribuídas se o total de participantes for igual 5? E se for igual a 6?
E igual a 7?
Se o número de participantes for 5, cada um dará 4 flores
(menos para si mesmo), o que significa um total de 5 u 4 = 20
flores; utilizando o mesmo raciocínio, com 6 participantes,
o total de flores será 6 u 5 = 30 flores; e com 7 participantes,
7 u 6 = 42 flores.
2. Complete a tabela a seguir:
Número de
Número de
flores que cada Total de flores
participantes
um vai receber
3
2
3u2=6
4
3
4 u 3 = 12
5
4
5 u 4 = 20
6
5
6 u 5 = 30
11
10
11 u 10 = 110
x
x–1
x(x –1)
y+1
y
(y + 1)y
3. Se o total de flores distribuídas na festa for
930, qual será o número de participantes?
a) 29
b) 30
c) 31
d) outro
Tendo compreendido o item anterior, o aluno pode experimentar os valores dados nas alternativas, calculando: 29 u 28 =
= 812; 30 u 29 = 870; 31 u 30 = 930. Logo, a alternativa correta é a c.
59
4. Para responder à questão anterior, um aluno de 8a série/9o ano, aplicando seus conhecimentos algébricos, fez a seguinte reflexão:
para x em uma tabela. Embora essa equação possua duas
soluções, uma positiva, 31, e uma negativa, –30, o valor negativo não faz sentido no problema, sendo, portanto, ignorado nos termos da tabela. Mesmo assim, é uma oportuni-
Escreveu a expressão algéx(x – 1) = 930
brica relativa ao problema
Aplicou a propriedade
distributiva
Deixou todos os termos
no primeiro membro da
equação, igualando-a
a zero
x2 – x = 930
x2 – x – 930 = 0
Para resolver essa equação, o aluno substituiu a incógnita x pelos valores das alternativas e, assim, descobriu a resposta correta.
Use o mesmo procedimento e, em seguida,
compare o resultado com a sua resposta para
a atividade 3.
Substituindo os valores das alternativas na última forma da
equação:
x = 29
292 – 29 – 930 = 0
841 – 29 – 930 = –118 ≠ 0
x = 30
dade para que você inicie uma discussão sobre a análise do
conjunto universo da equação.
A combinação entre a linguagem geométrica e algébrica vem sendo explorada em vários
temas ao longo dos Cadernos. Particularmente
nos volumes 1 e 2 da 7a série/8o ano, ela permitiu a construção de significados nos produtos
notáveis e nos processos de fatoração. O uso
dessa abordagem no trabalho com equações de
2o grau, além de resgatar, do ponto de vista histórico, como os matemáticos resolviam equações, permite estabelecer novas relações que
envolvem aspectos geométricos e algébricos.
Nas atividades a seguir, propõe-se essa
combinação para abordar vários contextos
em que aparecem equações de 2o grau, passíveis de ser resolvidas por conhecimentos que
os alunos já tenham construído por meio da
resolução de equações de 1o grau, processos
de fatoração e propriedades de potências.
302 – 30 – 930 = 0
900 – 30 – 930 = – 60 ≠ 0
x = 31
312 – 31 – 930 = 0
961 – 31 – 930 = 0
E se as alternativas não tivessem sido dadas,
como você resolveria esse problema?
60
5. Traduza as seguintes situações por meio de
uma equação. Em seguida, resolva cada equação e encontre a resposta para os problemas.
(Dica: desenhe as figuras e represente os lados desconhecidos por uma letra.)
Nesse caso, os alunos podem levantar uma série de hipó-
a) A área de um quadrado de lado x é
igual a 49 cm2. Qual é a medida do lado
desse quadrado?
teses, por exemplo, a atribuição de vários valores positivos
Indicando a medida do lado do quadrado por x teremos:
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Expressão
Representação geométrica
Representação
algébrica
Expressão algébrica
geométrica
x
2
A = 49 cm
A = 1 u base ualtura
2
x2 = 49
x
a
A = 1 u cateto u cateto
2
A solução dessa equação é bastante simples: basta pensar
A=
a
qual número elevado ao quadrado resulta em 49, isto é, 7. O
professor pode ressaltar o fato de que 72 = 49 como (– 7)2 =
aua
a2
=
= 18
2
2
a2
= 18, podemos concluir que a2 = 36. Desse modo,
2
os valores 6 e –6 satisfazem a equação, mas somente 6 é soComo
= 49, ou seja, embora o valor negativo satisfaça a equação,
tratando-se da medida do lado de um quadrado, ele não deve
lução da equação, pois a medida do lado de um triângulo
constar no conjunto solução. Portanto, a solução será 7 cm.
deve ser positiva.
2
b) Um retângulo tem área igual a 242 cm e
seu lado maior é o dobro do menor. Qual é
a medida do lado maior desse retângulo?
Para encontrar a medida da hipotenusa, podemos aplicar o
Teorema de Pitágoras: h2 = 62 + 62; ou seja, h = 6 2 .
Portanto, a resposta dessa atividade será: catetos de medida 6
cm e hipotenusa de medida 6 2 cm. Mais uma vez, despreza-
Indicando a medida do lado do retângulo por y, teremos:
mos a soluçãonegativa.
Expressão
Representação geométrica
algébrica
2y u y = 242
d) A área do retângulo representado pela
figura a seguir é igual a 65 cm2. Calcule
seu perímetro.
2y2 = 242
x+8
2y
y
x
Se 2y2= 242, então y2 = 121. Da mesma forma que na atividade
anterior, podemos admitir y = 11 ou y = –11, uma vez que
(11)2 = 121 e (–11)2 = 121. Como se trata da medida do lado de
um retângulo, a equação só permite como solução o valor
de y = 11. Portanto, o maior lado mede 2 u 11 = 22 cm.
c) A área de um triângulo retângulo isósceles é 18 cm2. Determine as medidas de
seus catetos e de sua hipotenusa.
Professor, neste momento é importante deixar claro aos alunos a definição de um triângulo retângulo isósceles. Indicando a medida do cateto por a, teremos:
A área do retângulo será dada pela expressão: x(x + 8) = 65
Essa situação não permite aplicar o mesmo processo quando
a sentença é igualada a zero, pois são infinitos pares de números cujo produto é 65. Contudo, podem-se aplicar procedimentos de cálculo mental ou criar uma tabela como esta:
x
1
2
3
4
5
x+8
9
10
11
12
13
x(x+8)
9
20
33
48
65
61
Assim, chega-se à solução x = 5. Portanto, o perímetro do re-
Portanto, é possível escrever a seguinte equação: (x – 4)2 =
tângulo, indicado por P = 4x + 16, é 36 cm.
= 144. A solução dessa equação pode ser encontrada por
O professor pode propor o desenvolvimento dessa expres-
meio de cálculo mental. Perceba que 144 é o quadrado do
são, de modo a igualá-la a zero, devendo, para isso, aplicar
número 12, assim, x – 4 = 12, isto é, x = 16 cm.
a propriedade distributiva e o princípio aditivo: x (x + 8) = 65
Logo, a medida da área original do canteiro era 256 m2.
Ax2 + 8x = 65; logo: x2 + 8x – 65 = 0.
Nesse momento, o professor pode discutir que (–12)2 é igual a
Dessa forma, a equação x(x + 8) = 65 é equivalente à equação
144 e que x – 4 = –12, isto é, x = –8 também satisfaz a equação.
2
x + 8x – 65 = 0, o que significa que elas possuem as mesmas
Contudo, como –8 não pode ser a medida de um lado do qua-
soluções.
drado, a resposta a esse problema será 16 cm.
Vale observar, contudo, que, nesse formato, o recurso do cálculo mental é mais difícil de ser aplicado.
e) Um canteiro na forma de um quadrado
foi reduzido de modo a ser contornado
por uma calçada com 2 m de largura,
conforme a figura a seguir. Com isso, sua
área passou a ser de 144 m2. Qual era a
medida da área original desse canteiro?
2m
144 m2
Se x for considerada a medida do lado do quadrado original, com
Por meio de tais situações, que podem complementar outras atividades que o professor já
tenha selecionado para o tratamento desse assunto, pode-se iniciar um enfoque mais formal
das equações de 2o grau. Para isso, sugerimos
que os alunos comparem as equações construídas e apontem as semelhanças e diferenças
entre elas. Convém que todas estejam na mesma forma, a fim de que o segundo membro da
equação seja igual a zero:
a)
x2 = 49
x2 – 49 = 0
b)
2y2 = 242
2y2 – 242 = 0
c)
a2 = 36
a2 – 36 = 0
d)
x(x+8) = 65
x2 + 8x – 65 = 0
e)
(x – 4)2 = 144
x2 – 8x – 128 = 0
a redução de 2 m o lado do quadrado interno medirá (x – 4)m:
Quanto às semelhanças, pode-se registrar
o seguinte:
x
x–4
2
144 m2
2
f diferentemente das equações de 1o grau,
essas equações possuem um termo cuja
incógnita está elevada ao expoente 2.
Também é possível que algumas das diferenças apontadas sejam:
62
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
f algumas equações não têm o termo de
grau 1 (x, y, a,...) e outras têm;
f apenas os problemas d e e apresentam
uma equação de 2o grau com três termos
no primeiro membro.
o objetivo desta Situação de Aprendizagem é
aplicar técnicas algébricas já aprendidas e desenvolver novas abordagens que permitam a
investigação de fatos que podem ser generalizados a outras equações.
Explore essas observações para introduzir
as seguintes noções: forma reduzida da equação de 2o grau; equação de 2o grau completa;
equação de 2o grau incompleta; coeficientes
e raízes da equação. Ou seja, o momento é
oportuno para apresentar a ideia de equação
de 2o grau de maneira mais formal; por exemplo, chama-se equação de 2o grau na incógnita
x toda equação que pode ser escrita na forma:
ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são números
reais e a ≠ 0. A consideração de que a ≠ 0 deve
ser satisfeita, pois, caso contrário, a equação
será de 1o grau.
Um fato interessante é a possibilidade de
resolver outros tipos de equações, como exponenciais, biquadradas ou de outros graus, que,
embora não se apresentem como equações de
2o grau, podem ser transformadas em equações por procedimentos algébricos. Assim,
2
equações como x + 4 = 9 ou 2x = 16, ou, ainda,
x3 – 9x = 0 podem ser tratadas já nesta Situação de Aprendizagem, possibilitando aplicar
o conhecimento dos alunos em outros tipos de
equações. Cabe lembrar que será muito importante a atenção do professor para verificar esses
conhecimentos e mobilizá-los na resolução de
equações de 2o grau, o que justifica a atividade
a seguir.
Os exercícios exemplares têm a finalidade
de levar o aluno a perceber que é possível recorrer aos seus conhecimentos anteriores para
iniciar uma estratégia de resolução de situações que envolvam equações de 2o grau. Ao
mesmo tempo, a intenção seria provocar uma
“desestabilização”, para que o aluno, em algum momento, perceba a necessidade de um
novo conhecimento que permita encontrar as
respostas procuradas. A fim de estimular as
conjecturas geradas pelos problemas, sugere-se a proposta de situações-problema que possam ser representadas por meio de equações
de 2o grau, cujo desenvolvimento esteja ao alcance dos alunos, pela utilização de técnicas já
trabalhadas em séries/anos anteriores. Assim,
6. Escreva as equações elaboradas
na atividade 5 da seção Você aprendeu? na tabela a seguir. Depois,
faça as operações algébricas necessárias de
tal modo que o segundo membro da equação seja igual a zero.
Quais são as principais semelhanças e diferenças que podem ser observadas entre as
cinco equações obtidas?
Todas as equações possuem um termo no qual a incógnita está elevada à segunda potência. Além disso, apenas os
problemas (d) e (e) apresentam equações de 2o grau com
três termos.
63
Item
Equação
utilizada
Equação
transformada
a)
x2 = 49
x2 – 49 = 0
b)
2y2 = 242
2y2 – 242 = 0
c)
a2 = 36
a2 – 36 = 0
d)
x(x + 8) = 65
x2 + 8x – 65 = 0
e)
(x – 4)2 = 144
x2 – 8x – 128 = 0
7. Resolva as equações a seguir
e depois verifique se os valores
encontrados as satisfazem.
a) x + 4 = 9
2
b) 2x = 16
a) x + 4 = 9
Isolar a raiz
2
b) 2x = 16
Escrever as potências na mesma
base e comparar os expoentes
2x2 = 24
x2 = 4
x =9–4
x =5
( x )2 = (5)2
x = 25
x=± 4
x=±2
25
– 2 ou 2
c) x3 – 9x = 0
64
c) x3 – 9x = 0
d) x4 – 16 = 0
d) x4 – 16 = 0
Colocar o x em
evidência
Produto notável: produto da
soma pela diferença
x(x2 – 9) = 0
x=0
ou
x2 – 9 = 0
x = ± 9 = ±3
(x2)2 –(4)2 = 0
(x + 4) u(x2 – 4) = 0
x2 + 4 = 0 x2 = –4
Não tem solução real ou
x2 – 4 = 0 x2 = 4
x = ± 4 = ±2
0, –3 ou 3
–2 ou 2
Embora tenhamos exposto uma resolução formal para essas atividades, é possível que os alunos apresentem estratégias
diferentes incluindo o cálculo mental ou a
substituição por tentativa de valores. Nesse
momento, é importante valorizar as hipóteses de resolução, pois elas representam envolvimento com o tema. Esse espaço de hipóteses é aquele que garante, muitas vezes,
a atenção do aluno a um procedimento de
cálculo mais formalizado, que será proposto
posteriormente.
Os procedimentos aplicados nesta fase
inicial do trabalho com equações de 2o grau
apontam para aspectos que permitirão a criação de um método geral de resolução de qualquer equação desse tipo.
Entre essas técnicas aprendidas, destacamos os processos de fatoração apresentados
na 7a série/8o ano, particularmente a diferença
entre o quadrado de dois números, que é igual
ao produto da soma pela diferença entre esses
dois números, isto é, a2 – b2 = (a + b) u (a – b),
pois se refere a um tipo simples de equação de
2o grau incompleta.
Dessa forma, equações do tipo x2 = 16 podem ser retomadas e resolvidas por meio dos
seguintes passos:
2
x2 = 16, então, x2 – 16 = 0 logo, x2 – 42 = 0.
x+4 = 0
Assim, (x + 4) u (x – 4) = 0 ൝
x– 4=0
x = – 4
do que se conclui que ൝
x=4
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Esse procedimento, além de confirmar
o cálculo mental (levantando a questão
sobre quais são os números que elevados
ao quadrado resultam em 16), permite que
sintetizemos o processo de resolução observando que o valor de x é igual a mais
ou menos o valor da raiz quadrada de 16:
x 2 = 16 A x = ± 16 A x = ± 4 .
negativo ou o zero para indicar a medida do
lado de uma figura.
É importante, agora, que os alunos apliquem
as conclusões aprendidas, pois elas servirão de
modelos para o tratamento das equações de
2o grau dadas em outras formas.
8. Obtenha as raízes reais das equações a seguir:
Com essa discussão, o sinal ± deve ser entendido como uma síntese de fatos presentes
na combinação da fatoração:
a2 – b2 = (a + b) u (a – b) com a ideia de que se
a u b = 0, então a = 0 ou b = 0.
a) x2 = 9
–3 ou 3
b) 4x2 – 36 = 0
–3 ou +3
Assim, equações incompletas do tipo:
ax2 + c = 0 podem ser resolvidas com base na
análise do que temos discutido:
f o domínio dos princípios multiplicativo
e aditivo da igualdade;
f a noção de radiciação.
c) 3x2 = 27
–3 ou +3
d) x2 – 4 = 12
–4 ou +4
e) 4x2 – 25 = 0
Desse modo, concluímos que equações
incompletas do tipo: ax2 + c = 0 possuem as
c
raízes: x = ± – .
a
Sugerimos que os alunos voltem aos
problemas anteriores para obter as raízes
das equações que traduzem as situações
dos problemas. É importante lembrar aos
alunos que a solução negativa de alguns
dos problemas (b, c, d) deve ser desprezada, pois, nesse caso, o universo deve ser o
conjunto dos números reais positivos, uma
vez que não faz sentido utilizar um número
5
5
ou –
2
2
2
f) 5 x = 2
2
5
2
2
ou –
5
5
g) x2 + 1 = 0
Não há solução real, pois não há número real que, elevado ao
quadrado, seja igual a –1.
h) 4 = x2
–2 ou +2
65
i) –2x2 + 7 = 0
–
7 ou
2
9. Se o produto de dois fatores é zero, necessariamente um deles é igual a zero. Assim, obtenha as raízes reais das seguintes
equações:
7
2
j) x2 = 0
0
k) 3x2 = 0
a) (x + 2) u(x – 6) = 0
0
S = {–2, 6}
l) x2 + 1 = 1
1
b) ( 3x + 2 ) ∙ ൬– x – ൰ = 0
2
0
Explore as estratégias e respostas apresentadas pelos alunos, incentivando-os a utilizar seus
conhecimentos sobre radiciação na formulação
de uma justificativa para o fato de não haver raízes reais para a equação apresentada na atividade anterior, item g. Essa discussão poderá auxiliar os estudantes, posteriormente, na resolução
de equações completas de 2o grau, com discriminante negativo, e, além disso, preparar o aluno
para a construção da ideia de número complexo,
que será desenvolvida no Ensino Médio.
Vamos propor mais algumas atividades
cujas soluções estão fundamentadas em outros
aspectos que já podem ser conhecidos pelos alunos, expondo-os de maneira mais formal, como
é o caso de equações formadas por produtos de
binômios de 1o grau iguais a zero, ou outros casos, representados a seguir: (x – x1) u(x – x2) = 0
x = x1
x – x1 = 0
൝ ou
então
x – x2 = 0
൝ ou
x = x2
f se ax2 + bx = 0 , então x(ax + b) = 0 A
b
;
a
c
f se ax2 + c = 0, então x = ± – ;
a
Ax1 = 0, x2 = –
66
S = ൝ – 2 ԜǡȂ 1 ൡ
3
2
c) – x2 + 4x = 0
S = {0, 4}
-x2 = 4x = 0.
Multiplicando todos os membros da equação por (-1), temos:
x2 - 4x = 0.
Colocando o fator comum em evidência, temos:
x(x - 4) = 0; ou x - 4 = 0 A x = 4.
d) x2 + x = 0
S={–1, 0}
e) (x – 3) u (2x – 10) = 0
S = {3, 5}
O desenvolvimento dessa atividade auxilia o aluno na identificação da fatoração
como ferramenta útil para a resolução de
equações de 2 o grau. Assim, o aluno já inicia a resolução de equações completas do
2 o grau, representadas na forma fatorada,
o que propicia a aplicação de conhecimentos que o aluno começou a construir na
7 a série/8 o ano. Essa ideia pode ser ampliada por meio da proposição de atividades
como estas.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
10. Obtenha as raízes reais das
equações a seguir:
a) x2 – 9 = 27
–6 ou 6
b) (x + 7) u (–x + 11) = 0
–7 ou 11
c) 2x2 + 1 = 0
Caso não haja sugestões, mostre aos alunos que eles poderiam aplicar o método desenvolvido anteriormente. Assim:
( x – 3)2 = 16
x – 3 = ± 16
x – 3 = ±4
x=3+4
ou
x=3–4
x=7
ou
x = –1
logo,
Não há solução real.
Comprovando a resposta:
2
d) 3x – 12x = 0
0 ou 4
e) 5x2 – 125 = 0
(7 – 3)2 = 16
(–1 – 3)2 = 16
42 = 16
(–4)2 = 16
–5 ou 5
Completando trinômios quadrados perfeitos:
a busca de uma fórmula para encontrar as
raízes de uma equação de 2o grau
Para esse trabalho, seria interessante propor aos alunos a resolução da seguinte equação: (x – 3)2 = 16.
Se houver necessidade, ajude-os com perguntas como:
f Quais são os números que, elevados ao
quadrado, resultam em 16?
f Que números podem ser colocados no
lugar de x para que a equação seja uma
sentença verdadeira?
Comente, então, que essa é outra maneira
possível de resolver uma equação de
2o grau. É claro que uma equação nem sempre
é dada na forma fatorada, no entanto, dispomos de vários recursos para transformar
qualquer equação de 2o grau em uma equação equivalente na forma fatorada. Em história da Matemática, esse é um contexto bastante rico para o ensino e a aprendizagem da
equação do 2o grau. Um passo nesse sentido
pode ser dado explorando-se o método desenvolvido pelo matemático árabe Al-Khowarizmi. Seguindo a tradição grega de interpretar geometricamente situações algébricas,
o matemático árabe Al-Khowarizmi, no século IX, desenvolveu um método geométrico
para resolução de equações de 2o grau, cujos
passos transformam uma equação desse tipo
67
em um quadrado perfeito. Nesse método, o
lado do quadrado é considerado o valor da
incógnita, sendo, portanto, desprezadas as
soluções negativas. De certa forma, a falta de
significado dos números negativos, nesse momento, é semelhante ao que os matemáticos
viveram quando enfrentaram situações com
raízes quadradas de números negativos. Na
atividade seguinte, são iniciadas ideias que
vão constituir as bases da demonstração da
fórmula geral para a resolução de qualquer
equação de 2o grau: a fórmula de Bhaskara.
Vamos propor aos alunos a seguinte atividade, que pode ser resolvida seguindo passo a
passo a solução figurativa apresentada por
Al-Khowarizmi:
Considere o seguinte problema:
“A área de um quadrado acrescida de 8
vezes o seu lado é igual a 65. Qual é a medida do lado desse quadrado?”
do problema é, então, a medida do
lado do quadrado:
x
mais
x
Na Álgebra moderna, esse problema
pode ser traduzido pela seguinte expressão
algébrica: x2 + 8x = 65. Resolvendo a equação, podemos obter a solução do problema.
Antigamente, contudo, os matemáticos
não dispunham das mesmas ferramentas
da Álgebra moderna. Usavam, então, outras estratégias para resolver problemas
desse tipo. Uma delas foi desenvolvida pelo
matemático árabe Al-Khowarizmi, que viveu em Bagdá no século IX.
8
x
2
x
igual
a 65
8x
x2 + 8x = 65
II. O retângulo é dividido em dois retângulos de mesma área. Logo, a equação
seria interpretada da seguinte maneira:
x
mais
x
x
2
x
4x
4x
4
4
igual
a 65
2
x + 2 u 4x = 65
O método desenvolvido por ele compreendia os seguintes passos:
I. As expressões x2 e 8x são interpretadas como as áreas de um quadrado e de um retângulo. A solução
68
III. Cada retângulo é arranjado de
modo que fiquem justapostos aos
dois lados do quadrado. Com essa
composição, a área da figura continua sendo 65.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
x
4
x
x2
4x
4
4x
x
4
x
x2
4x
4
4x
16
4
4
IV. Para completar o quadrado, acrescentava-se um quadrado no canto da figura anterior. A medida do lado desse
quadrado é a mesma do lado conhecido do retângulo, ou seja, 4. Assim,
a área do novo quadrado é 4 u 4 = 16.
Com esse método, “completava-se um
quadrado perfeito” de lado x + 4 e com
área igual a 65 + 16 = 81.
Na linguagem algébrica moderna, transformamos a equação x2 + 8x = 65 em uma equivalente
(x + 4)2 = 81, o que é possível pela aplicação do método de “completamento do quadrado”. Acompanhando o desenvolvimento algébrico, observamos que, embora apoiados no processo figurativo,
são encontradas todas as raízes da equação:
x2 + 8x + 16 = 65 + 16
(x + 4)2 = 81
x + 4 = ± 81
x = +9 – 4
x=5
Ž‘‰‘ǡ൝
x=–9–4
x = –13
x + 4 = ±9 ൝
Verificando: em (x + 4)2 = 81
(5 + 4)2 = 81
(–13 + 4)2 = 81
92 = 81
(–9)2 = 81
Ou em x2 + 8x = 65
x2 + 2 u 4x + 16 = 65 + 16 ou (x + 4)2 = 81
V. Se a nova área é 81, então a medida do
lado do novo quadrado é 81 = 9.
Assim, o lado do quadrado corresponde
a x + 4 = 9, portanto, a solução é x = 5.
52 + 8 u 5 = 65
(–13)2 + 8 u (–13) = 65
25 + 40 = 65
169 + (–104) = 65
É possível que alguns alunos sugiram que a
equação x2 + 4x = 65 possa ser resolvida colocando-se o fator comum x em evidência, formando,
assim, a seguinte expressão: x(x + 8) = 65.
Então, a aplicação de cálculo mental ou a
construção de tabela é um recurso à solução da
equação. Contudo, vale ressaltar que o método
de “completamento do quadrado” se apresenta
como um método de resolução mais geral.
11. Resolva o problema a seguir
usando o método desenvolvido
por Al-Khowarizmi, apresentado na seção Leitura e análise de texto. Desenhe as figuras e escreva as equações equivalentes a cada etapa no espaço a seguir.
69
“A área de um quadrado acrescida de 12
vezes o seu lado é igual a 13. Qual é a medida do lado desse quadrado?”
x
12
f o procedimento algébrico aplicado ao
novo formato permite a determinação
de todas as soluções da equação, sejam
elas negativas, positivas ou nulas.
mais
x
x
x2
igual
a 13
12x
x2 + 12x = 13
x
mais
x
x
6x
6x
6
6
igual
a 13
2
x + 2 u 6x = 13
x
6
x
x2
6x
6
6x
x
6
x
x2
6x
6
6x
36
6
6
x2 + 2 u 6x + 36 = 13 + 36 ou (x + 6)2 = 49
Sendo a nova área 49, a medida do lado do novo quadrado
será x + 6. Assim, x + 6 = 7; portanto, x = 1 é a solução.
Com esse método, podemos constatar que:
f a interpretação geométrica permite traduzir a equação em um formato conhecido. No entanto, somente as soluções
positivas são consideradas, e isso faz
sentido. Na época em que foi desenvolvido esse método, as quantidades negativas ainda não faziam muito sentido;
70
Com base nessas constatações, é possível
questionar se na construção de um método de
resolução de uma equação de 2o grau devemos
incorporar o que a abordagem geométrica e
algébrica têm de melhor a oferecer e levar os
alunos a concluir que os limites de uma são
compensados pelos avanços da outra.
A atividade a seguir tem por finalidade a
aplicação desse método algébrico-geométrico.
Um interesse particular nesse método é que ele
servirá de base para a demonstração da fórmula
de Baskhara. Seria interessante se, no desenvolvimento das resoluções, o professor chamasse a
atenção dos alunos para o fato de que o valor
acrescido a ambos os termos da equação se refere ao quadrado da metade do coeficiente do
termo em x. Nessa atividade, essa propriedade
é inspirada nos produtos notáveis e, caso os alunos os desconheçam, esses exercícios permitem
a apresentação desse conteúdo no contexto de
resolução de equações de 2o grau, também chamadas de equações quadráticas em referência à
regra de “completamento do quadrado”.
12. Encontre as raízes das equações
de 2o grau aplicando o método de
“completamento do quadrado” desenvolvido por Al-Khowarizmi:
(Observação: desenhe a figura do quadrado
que representa a solução de cada equação.)
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
a) x2 + 20x = 300
c) x2 + 2x + 1 = 0
x+1
x
x + 10
x
x
x
x2
x2
x
10x
quadrado da metade
do coeficiente de x
10x
100
x
1
1
quadrado da metade
do coeficiente de x
10
1
10
x2 + 2x = – 1
x2 + 20x + 100 = 300 + 100
Neste caso, a expressão x2 + 2x + 1 já é um quadrado perfeito:
(x + 10)2 = 400
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2. Logo, a equação dada é equivalente a
x + 10 = ± 400
(x + 1)2 = 0, ou x + 1 = 0; assim, x = –1. Logo, não há solução,
x = ± 20 – 10
pois o lado não pode ser negativo.
x = – 30 ou x = 10
2
b) x + 5x = 6
x+
5
2
x
x
5x
x2
2
quadrado da metade
do coeficiente de x
5x
25
5
2
4
2
5
2
x2 + 5x + 25 = 6 + 25
4
4
2
൭x +
5 = 49 Ax + 5 = ± 49
൱
2
4
4
2
Observe que, nos itens desta atividade,
embora as soluções negativas não tenham
sentido geométrico, satisfazem as equações
algébricas. Mais uma vez, pode-se destacar o
fato de que, enquanto o método geométrico
permite a escrita da equação na forma fatorada conhecida, o método algébrico permite
a determinação de todas as soluções reais da
equação, quando existirem.
As discussões já feitas convergem para a ideia
de que as equações de 2o grau, quando fatoradas
podem ser resolvidas usando os métodos aprendidos anteriormente. Ou seja, o desenvolvimento
do quadrado da soma e do quadrado da diferença de dois números e seus respectivos processos
de fatoração ganham nova importância.
x = ±Ԝ 7 – 5
2
2
(x + a)2 = x2 + 2 u ax + a2
x = 1 ou x = –6
(x – a)2 = x2 – 2 u ax + a2
71
A seguir são sugeridas duas atividades cujo
objetivo é aprimorar a identificação de trinômios quadrados perfeitos.
d) 4x2 –
2 u 2 u 7 = 28
e)
13. Quais dos seguintes trinômios referem-se a quadrados
perfeitos? Escreva-os na forma fatorada.
a) x2 + 4x + 4
(x + 2)2
b) x2 – 6x + 9
2
(x – 3)
c) 4x2 + 12x + 9
(2x + 3)2
x + 49
x2 – 30x + 25
9
Retomando as situações que envolvem a
resolução de equações de 2o grau, observamos
que, algumas vezes, a equação já apresenta
um trinômio quadrado perfeito, como a equação: x2 + 10x + 25 = 0.
Basta observar, nesse caso, que o termo independente é igual à metade do coeficiente de x
elevado ao quadrado. Portanto, ele já representa
um quadrado perfeito de lado (x + 5). Então, a
equação x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 = 0 tem como
resposta x = –5.
d) 25x2 + 100x + 100
(5x + 10)2
e) x2 – x + 1
Não é um trinômio quadrado perfeito, pois o termo central
não corresponde ao dobro do produto das raízes quadradas
do 1º e do 3º termos.
I. Resolva a equação 4x2 – 12x + 5 = 0
14. Encontre o termo que falta para que o trinômio seja um quadrado perfeito:
2
a) x + 18x +
92 = 81
b) 9x2 +
2 u 3 u 2 = 12
c) x2 – 20x +
102 = 100
72
Outras vezes, é preciso lançar mão de artifícios para que o primeiro membro da equação
se torne um trinômio quadrado perfeito, mantendo, assim, a igualdade verdadeira. Neste momento, cabe analisar alguns exemplos.
x+4
Podemos escrever a equação na forma:
4x – 12x = –5
2
Dividindo toda a expressão por 4, temos:
x2 – 3x = – 5 .
4
Em seguida, deve-se procurar um número
que, acrescentado a ambos os membros da equação, produza no 1o membro um trinômio quadrado perfeito. Esse número deve ser o quadrado da
2
3
metade do termo em x, portanto, ൭ ൱ .
2
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2
2
x2 – 3x + ൭ 3 ൱ = – 5 + ൭ 3 ൱
2
4
2
2
൭š–
Elevando um terço ao quadrado:
3
5 + 9
൱ = –
2
4
4
2
3
4 isto é; x – 3 = ± 1
൭š– ൱ =
2
2
4
3
x – =±1
2
Logo:
x= 3 +1= 5
2
2
ou
2
൭
1
1
൱ =
3
9
Assim, acrescentando um nono aos dois
membros da equação, teremos:
x2 + 2 x + 1 = 1 + 1
3
9
3
9
Assim, podemos fatorar o primeiro
membro, pois ele é um trinômio quadrado
perfeito:
2
൭š+
1
4 .
൱ =
3
9
Encontrando o valor de x:
x= 3 –1= 1
2
2
II. Resolva a equação 3x2 + 2x – 1 = 0.
Essa equação pode ser escrita assim:
x + 2 x – 1 = 0 ou, ainda, x2 + 2 x = 1
3
3
3
3
2
Em seguida, deve-se procurar um número
que, quando acrescentado a ambos os membros da equação, produza no 1o membro um
trinômio quadrado perfeito:
x2 + 2 x + ... = 1 + ...
3
3
Para encontrar esse número, vamos dividir
dois terços por 2:
2 ÷2= 1
3
3
x + 1 = ± 2 , logo x1 = – 2 – 1 = – 3 = –1
3
3
3
3
3
ou x2 = 2 – 1 = 1
3
3
3
Proponha aos alunos que discutam com os
colegas os procedimentos utilizados anteriormente e aplique-os na resolução da equação:
x2 – 5x + 6 = 0.
x2 – 5x + 6 = 0 A x2 – 5x = –6
2
2
x2 – 5x + ൭ 5 ൱ = –6 + ൭ 5 ൱ = 1
2
2
4
x – 5 = ± 1 Ax = 2 ou x = 3 A S = {2, 3}
2
2
Um produto notável importante a ser
aplicado na resolução de equações de
2o grau é o produto de dois binômios com
um termo em comum, expressos na forma
73
(x + a) u(x + b) = x2 + (a + b)x + a u b. A importância de resgatá-lo, neste momento, se dá
pelo fato de ele permitir a fatoração da equação quadrática com base na soma e no produto dos termos não comuns, isto é, de a e b. Esse
fato será explorado posteriormente no estudo
das relações entre as raízes da equação e seus
coeficientes, isto é, se x1 e x2 são raízes de uma
equação de 2o grau na forma ax2 + bx + c = 0,
b
c
com a ≠ 0, então x1 + x 2 = – e x1 ⋅ x 2 = .
a
a
Geralmente, essas relações são trabalhadas
após a apresentação da fórmula de Bhaskara.
Contudo, se já forem apresentadas, permitirão uma compreensão prática do produto
notável, o desenvolvimento de competências
relativas ao cálculo mental e a possibilidade
de resolução da equação sem necessidade da
fórmula. Além disso, indicam um movimento de relacionar raízes aos coeficientes, que é
generalizado na fórmula de Bhaskara quando
as raízes se relacionam aos coeficientes da se2
– b ± b – 4ac
. Vale res2a
saltar, ainda, que esse procedimento se refere
guinte maneira: x às relações de Girard para equações polinomiais de 2o grau que, posteriormente, serão
ampliadas, na 3a série do Ensino Médio, para
outras equações polinomiais.
15. Resolva as seguintes equações de 2º grau.
(Dica: use a forma fatorada do trinômio
quadrado perfeito.)
a) x2 – 6x + 9 = 0
(x – 3)2 = 0
Logo, x = 3.
74
b) x2 + 12x + 36 = 0
(x + 6)2 = 0
Logo, x = –6.
c) x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)2 = 0
Logo, x = 2.
d) x2 + x + 1 = 0
4
2
൭x +
1
൱ =0
2
Logo, x = –
1 .
2
Após esse trabalho, pode-se propor aos alunos
o desenvolvimento algébrico de (x + a) u(x + b).
Aplicando-se a propriedade distributiva e,
em seguida, colocando-se o fator comum x em
evidência, temos:
(x + a) u (x + b) = x2 + bx + ax + ab
(x + a) u (x + b) = x2 +(a + b)x + a u b
Do mesmo modo, chegamos à seguinte expressão: (x – a) u(x – b) = x2 – (a + b)x + ab.
Por meio desse resultado geral, será possível:
f calcular produtos similares sem o recurso da propriedade distributiva:
(x + 3) u (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 u 5 =
= x2 + 8x + 15
(x – 1) u (x – 7) = x2 – (1 + 7)x + 1 u 7 =
= x2 – 8x + 7
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
f fatorar trinômios em dois binômios
com um termo em comum. Vejamos os
seguintes exemplos:
I) x2 + 7x +12
Para fatorar esse trinômio, podemos fazer
a seguinte pergunta:
Quais são os dois números cujo produto é
12 e a soma é 7?
Observando que o termo independente,
12, é positivo, os dois números possuirão
o mesmo sinal, ou ambos são positivos, ou
ambos são negativos e nenhum deles será
zero, senão o produto seria zero. Estudando os possíveis números positivos, podemos
decompor o 12 da seguinte maneira: 12 u 1;
2 u 6 e 3 u 4. Apresentando tais valores em
uma uma tabela:
Valores
Valores
Soma
12
1
13
2
6
8
3
4
7
Observa-se que os números serão 3 e 4,
pois sua adição resulta em 7, valor do coeficiente de x.
Estudando os possíveis números, podemos decompor o –3 como: (– 3) u1 ou (– 1) u3. Representando tais valores em uma tabela, temos:
Valores
Valores
Soma
–3
+1
–2
–1
+3
+2
Assim, observamos que os números serão
–3 e 1, pois sua adição resulta em –2, valor
do coeficiente de x.
Portanto, x2 – 2x – 3 = (x + 1) u(x – 3)
O professor pode criar outras situações, inclusive propondo trinômios quadrados perfeitos como x2 + 8x + 16. Ao se pensar em quais seriam os números que, somados, resultam em 8, e
cujo produto é 16, parece fácil observar que esses
números são iguais a 4. Portanto, x2 + 8x + 16 =
= (x + 4) u(x + 4) = (x + 4)2.
16. Descubra dois números cuja soma e produto sejam, respectivamente, iguais a:
a) 7 e 12
3 e 4, pois 3 + 4 = 7 e 3 u 4 = 12.
b) 11 e 24
3 e 8, pois 3 + 8 = 11 e 3 u 8 = 24.
c) 11 e –12
–1 e 12, pois –1 + 12 = 11 e –1 u 12 = –12.
2
Portanto, x + 7x + 12 = (x + 3) u(x + 4)
II) x2 – 2x – 3
d) 10 e –24
–2 e 12, pois –2 + 12 = 10 e –2 u 12 = –24.
e) –13 e 40
Nesse caso, como o termo independente,
–3, é negativo, os dois números possuirão sinais
diferentes, um positivo e o outro negativo.
–5 e –8, pois (–5) + (–8) = –13 e (–5) u (–8) = 40.
f) – 6 e – 40
4 e –10, pois 4 + (–10) = –6 e 4 u (–10) = –40.
75
17. Use a ideia da soma e do produto e fatore
os trinômios de 2o grau, conforme o exemplo a seguir:
d) x2 + 5x – 36 = 0
(x + 9) u (x – 4) = 0, logo, x = –9 ou x = 4.
e) x2 – 13x + 36 = 0
a) x2 + 17x + 30
I. Descobrir dois números cuja soma seja
17 e cujo produto seja 30: 2 e 15.
II. Fatorar o trinômio x2 + 17x + 30:
(x + 2)u(x + 15).
III. Verificar se o produto obtido corresponde ao trinômio original: x2 + 15x +
+ 2x + 30 = x2 + 17x + 30.
b) x2 – 12x + 32
(x – 4) u(x – 8)
(x – 4) u (x – 9) = 0, logo, x = 4 ou x = 9.
Em casos particulares, como x2 – 9 ou x2 – 4x,
também é possível aplicar o mesmo procedimento.
Na primeira situação, a soma dos números é zero,
o que significa que são números opostos. Como o
produto é –9, os números procurados são –3 e +3.
Trata-se, portanto, da fatoração em (x + 3) u(x – 3).
No segundo caso, o produto é zero, ou seja, um
dos fatores é zero. Como a soma é – 4, uma das
parcelas deve ser – 4. Trata-se da fatoração em
(x – 0) u(x – 4) = x( x – 4).
c) x2 – 7x – 60
(x + 5) u(x – 12)
d) x2 – 4x – 60
(x – 10) u(x + 6)
18. Resolva as equações a seguir usando a fatoração de 2o grau (método da soma e do
produto):
a) x2 – 2x – 15 = 0
Fatorando o trinômio, obtemos
(x – 5) u (x + 3) = 0
Logo, x = 5 ou x = –3.
b) x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3) u (x + 4) = 0, logo, x = –3 ou x = –4.
c) x2 – 12x + 36 = 0
(x – 6) u (x – 6) = 0, logo, x = 6.
76
Observamos, portanto, que no desenvolvimento desse tema, o processo de fatoração que
envolve o produto de dois binômios com um
termo em comum, que é a variável da expressão, engloba os processos de fatoração tratados anteriormente. Para fixar essas ideias, o
professor pode propor aos alunos uma série de
atividades como as que apresentamos a seguir.
Mais adiante, esse processo de fatoração será
aplicado à resolução de equações de 2o grau
que, como dissemos, será o momento de abordar as relações entre a soma e o produto das
raízes e os coeficientes da equação.
19. Ao preparar uma atividade
para seus alunos, um professor
queria escrever uma equação
o
de 2 grau cujas raízes fossem os números 8
e 9. Ele procedeu da seguinte maneira:
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
(x – 8) u (x – 9) = 0 é uma equação cujas
raízes são 8 e 9. Aplicando a propriedade
distributiva, obtemos: x2 – 9x – 8x + 72 =
0, ou seja, x2 – 17x + 72 = 0.
Assim, o professor obteve uma equação de
2o grau, na forma ax2 + bx + c = 0, com as
raízes desejadas.
Escreva equações de 2o grau que tenham
como raízes os números a seguir:
a) –5 e 3
(x + 5) u(x – 3) = 0
x2 + 2x – 15 = 0
b) 4 e 12
(x – 4) u(x – 12) = 0
x2 – 16x + 48 = 0
c) –2 e –2,5
(x + 2) u(x + 2,5) = 0
x2 + 4,5x + 5 = 0
d) –
1 2
e
2 3
൭x +
1
2
൱ u ൭x –
൱= 0
2
3
x2 –
1
1
x–
=0
6
3
e) 0 e 12
(x) u (x – 12) = 0
x2 – 12x = 0
f) 5 e –5
(x + 5) u ( x – 5) = 0
x2 – 25 = 0
Professor, você pode complementar a explicação com o seguinte problema.
Um aluno da 8a série/9o ano fatorou a expressão 3x2 – 6x – 24:
I. Colocou o 3 em evidência: 3(x2 – 2x – 8)
II. Fatorou a expressão em x, pensando
em quais são os números cujo produto
é –8 e cuja soma é –2, encontrando que:
x2 – 2x – 8 = (x – 4) u(x + 2).
III. Por fim, escreveu que 3x2 – 6x – 24 =
= 3(x – 4) u(x + 2).
Com relação a esse tipo de procedimento,
o professor poderá propor que seus alunos reflitam sobre as seguintes questões:
f Como podemos verificar se o procedimento aplicado pelo estudante está correto?
Uma das possibilidades é desenvolver o
segundo membro e verificar se a igualdade se
mantém, o que veremos que ocorrerá.
f Seguindo esse procedimento, fatore essas
expressões:
I) 6y2 – 12y – 144
6(y2 – 2y – 24) = 6(y – 6) u (y + 4)
II) 2y2 – 5y + 2
5
1
2൭y2 –
y + 1൱ = 2൭y –
൱ u (y – 2)
2
2
Professor, sugira, neste momento, algumas
equações de 2o grau para que o aluno aplique
os conhecimentos trabalhados. A ideia central é agregar uma série de conhecimentos que
permitam relacionar as raízes da equação com
seus coeficientes, isto é, dada uma equação de
2o grau ax2 + bx+ c = 0, com a ≠ 0 e x1 e x2
b
c
suas raízes, temos x1 + x 2 = – e x1 ⋅ x 2 = .
a
a
77
A seguir, sugerimos duas atividades. A primeira tem o objetivo de exercitar o método aprendido. A segunda permite a comparação de processos diferentes de resolução, explorando a
ideia de que uma expressão pode ter diferentes
expressões equivalentes a ela e pode ser proposta como projeto a ser desenvolvido extrassala.
I) Aplique a fatoração para resolver as
equações a seguir:
x2 –7x + 6 = 0
x2 – 7x + 6 = (x – 6) u(x – 1) = 0
S = {1, 6}
2x2 + 3x – 2 = 0
2x2 + 3x – 2 = 2൭x2 +
3
x – 1൱ =
2
= 2൭x –
1
2
൱. (x + 2) S = ቊ
1,
– 2ቋ
2
II) Muitos dos processos de resolução de
equações foram aprendidos pela leitura e análise de antigos manuscritos egípcios, gregos,
hindus e árabes. Imagine que os alunos de sua
8a série/9o ano se proponham deixar para as
turmas futuras um documento que registre e
explique as formas de resolução de equações
de 2o grau. Sugira que assumam essa tarefa
para a equação x2 – 10x + 24 = 0.
É possível que apareçam argumentos relacionados ao método do completamento do
quadrado e à fatoração como um produto de
dois binômios utilizando, inclusive, a forma
figurativa. A seguir, indicamos duas possíveis
soluções para essa atividade.
1a Solução:
Inicialmente, os alunos fatoraram a equação
como um produto de dois binômios com um
termo x em comum, observando que –6 – 4 =
= –10 e que (–6) · (–4) = 24
78
x2 – 10x + 24 = 0
(x – 6) u (x – 4) = 0
Em seguida, aplicando a ideia de que um dos
produtos deve ser zero, chegaram às seguintes
expressões:
(x – 6) u (x – 4) = 0
x–6=0 x=6
൝
൝
x–4=0 x=4
E concluíram
S = {4, 6}
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
2a Solução:
x2 – 10x + 24 = 0
x2 – 10x = – 24
Aplicaram o método da completude do
quadrado e fatoraram a expressão em um
produto notável. A seguir, aplicaram
propriedades algébricas.
(x – 5)2 = 1
x–5=± 1
x – 5 = ±1
൝
Concluíram que:
E deram a solução
x – 5 = +1
x – 5 = –1
൝
x=6
x=4
S = {4, 6}
Professor, você pode utilizar a tabela a seguir para retomar as formas fatoradas e as
soluções de equações de 2o grau. Algumas
Equação
x2 – 10x + 25 = –24 +25
das equações listadas já foram trabalhadas,
permitindo que os alunos realizem com mais
facilidade o preenchimento da tabela.
Forma fatorada
Solução
(x – 4) u(x + 2) = 0
S={4, – 2}
b) x2 – 8x + 16 = 0
(x – 4)2 = 0
S={4}
c) x2 – 10x + 24 = 0
(x – 4) u(x – 6) = 0
S={4, 6}
x u(x + 2) = 0
S={0, – 2}
6(x – 6) u(x + 4)
S={6, – 4}
2
a) x – 2x – 8 = 0
d) x2 + 2x = 0
e) 6x2 – 12x – 144 = 0
f) 2x2 – 5x + 2=0
2 u൭š–
Professor, sugira a construção de uma
nova tabela, como a apresentada a seguir e,
com base nela, proponha aos alunos o levantamento de hipóteses que permitam estabelecer relações entre os valores dos termos não comuns e as raízes, entre a soma
dos termos e a soma das raízes, entre o
produto dos termos e o produto das raízes
1
൱u(x – 2)
2
S = ൝ 1 , 2ൡ
2
e a relação entre estes e os coeficientes da
equação. Essa análise dos valores da tabela
pode ser considerada uma forma indutiva
de encontrar um método geral de resolução
de equações quadráticas.
Algumas perguntas que podem ser formuladas aos alunos:
79
f Que relação existe entre os termos não
comuns da forma fatorada e as raízes?
Justifique.
f Que relação existe entre a soma dos termos
não comuns e a soma das raízes? Justifique.
f Que relação existe entre o produto dos
termos não comuns e o produto das raízes? Justifique.
Equação
Forma
fatorada
Soma
Produto
ProTermos
dos Soma
dos
Raízes da
duto
não
termos das
termos
equação
das
comuns
não raízes
não
raízes
comuns
comuns
a
b
c
–8
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4) u (x+2) = 0 – 4 + 2 +4 – 2
–2
+2
–8
–8
1
–2
x2 – 8x + 16 = 0
(x – 4) 2 = 0
–8
+8
+ 16
+ 16
1
– 8 + 16
x2 – 10x + 24 = 0
(x – 4) u (x – 6) = 0 – 4 – 6 + 4 + 6 – 10
10
+ 24
+ 24
1 – 10 + 24
x2 + 2x = 0
x (x+2) = 0
6x2 – 12x –144 = 0 6 (x – 6) u (x+4)
2x2 – 5x + 2 = 0
2൭x –
–4 –4 +4 +4
0 +2 0
–6
4
6
–2
+2
–2
0
0
–4
–2
+2
– 24
– 24
6 – 12 – 144
5
2
+1
+1
2
1
5
1
1
൱ u (x – 2) –
–2 + +2 –
2
2
2
2
Deve-se tomar cuidado quando a equação
possuir uma só raiz, como (x – 4)2 = 0. Nesse caso, podemos considerar que a raiz dessa
equação é dupla.
É importante, mais uma vez, que os alunos façam os registros de suas conclusões.
80
f Que relação existe entre a soma das raízes e os coeficientes de a e b? Justifique.
f Que relação existe entre o produto dos
termos não comuns e os coeficientes de
a e c? Justifique.
f Que relação existe entre o produto
das raízes e os coeficientes de a e c?
Justifique.
1
+2
0
–5 +2
Em tais atividades, é de se esperar que eles
exponham dúvidas e opiniões. Geralmente, o encontro de relações vem acompanhado de reflexões, de troca de ideias com o
outro, em duplas ou em grupos maiores. O
que precisa a ser observado é o grau de interesse dos alunos, ainda que acarrete uma
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
aparente desorganização da sala. É no momento de exposição das conclusões individuais à turma que o professor deve garantir
um nível maior de organização, o que permitirá a compreensão e participação de todos.
Nesta atividade, o professor pode comentar com os alunos que as soluções zeram os
fatores da forma fatorada. Assim, a raiz 4
da equação x2 – 2x – 8 = (x – 4) u(x+ 2) = 0
zera o fator (x – 4) e a raiz –2 zera o fator
(x + 2). Ou seja, o sinal das raízes é sempre
oposto ao sinal do termo não comum na forma fatorada. Portanto, o sinal do produto das
raízes é o mesmo do produto dos termos não
comuns, pois, como o sinal de ambos os termos se opõem (–4 fica +4, +2 fica –2), o sinal
do produto se manterá. Contudo, na adição,
a situação não é a mesma. A soma de – 4 + 2
tem sinal oposto à soma +4 –2. Podemos, assim, concluir que a soma das raízes (x1 + x2)
terá sinal oposto à soma dos termos não comuns da forma fatorada (a + b).
ax2 + bx + c = 0
ax 2 b
c 0
+ x+ =
a
a
a a
x2 +
b
c
x+ = 0
a
a
Processo de fatoração
Dada a equação x2 + 3x – 40 = 0, temos:
f
f
f
f
O produto dos termos não comuns: – 40
A soma dos termos não comuns: 3
Os termos não comuns: 8 e –5
Forma fatorada: (x + 8) u(x – 5) = 0
Portanto, as raízes serão: –8 e 5. Repare que
o produto entre os termos não comuns coincide
com o produto das raízes (+8) u (–5) = (–8) u (+5) =
= – 40 e a soma dos termos não comuns tem o sinal
oposto ao da soma das raízes [8+(–5)] = – [5+(–8)].
Professor, caso sinta necessidade de demonstrar a generalidade dessa evidência,
pode aplicar em sala de aula o procedimento a seguir. Dada a equação quadrática
ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, se a forma fatorada
for a(x – x1)u(x – x2), então os termos não comuns
serão –x1 e –x2 e as raízes serão: x1 e x2.
Fatorando como produto de dois binômios
a(x – x1) u(x – x2) = 0
Aplicação da distributiva
a(x2 – x ux2 – x ux1 + x1 ux2) = 0
Colocando o fator x em evidência
a[x2 – (x1 + x2)x + x1 ux2] = 0
Dividindo ambos os membros da
equação por a, lembrando que a ≠ 0
x2 – (x1 + x2) x + x1 ux2 = 0
Vamos observar os coeficientes dos
termos de mesmo grau
x2 – (x1 + x2)x + x1 ux2 = 0
81
Portanto,
– ( x1 + x 2 ) =
Uma possível resposta seria:
b
isto é:
a
e que
x1 + x 2 = –
x1 · x2 =
b
a
c
a
Com base nessas conclusões, o professor
pode sugerir algumas equações de 2o grau
para serem resolvidas pelo método da soma e
do produto das raízes. Muitos livros didáticos
trazem uma lista de exercícios que abordam
esse tema.
f Construa uma equação de 2o grau, que
1 2
tenha raízes –
e .
2 3
6x2 – x – 2 = 0 ou ൭x +
1
2
൱ u ൭x –
൱ = 0.
2
3
Do mesmo modo, serão várias equações que
dependem do coeficiente a.
f Observe a tabela a seguir e complete as
colunas vazias:
Resolvendo sem fatorar
Professor, proponha agora os seguintes problemas.
III) Peça aos alunos que, com base em suas
conclusões, descubram quais são as raízes das
equações sem fatorá-la:
f x2 – 2x – 15 = 0
5 ou –3.
f x2 + 7x + 12 = 0
–3 ou –4.
f x2 – 12x + 36 = 0
6 (raiz dupla).
o
2
IV) Dada uma equação de 2 grau ax + bx +
+ c = 0, com raízes x 1 e x 2, sua fatoração será
a(x – x1) u (x – x2).
f Determine uma equação de 2o grau com
raízes iguais a –5 e 3.
82
1(x + 5) u(x – 3) = 0 ou x2 + 2x –15 = 0.
O aluno poderá encontrar outras equações dependendo do valor atribuído ao coeficiente a.
b
a
c
a
x1
x2
x2 – 5x + 4 = 0
5
4
1
4
x2 + 3x – 28 = 0
–3
–28
–7
4
x2 + 5x + 6 = 0
–5
6
–2
–3
3x2 – 3 = 0
0
–1
–1
1
x2 – 4x = 0
4
0
0
4
3x2 – 6x +3 = 0
2
1
1
1
Equação
–
Até o momento, privilegiamos a resolução
de equações de 2o grau pelo método da fatoração, que, por sua vez, teve grande apoio na
representação geométrica. O importante, aqui,
é que o aluno pôde construir uma série de habilidades algébricas e geométricas em vários
assuntos da Matemática.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Relate para a turma que, em meados do
século XII, viveu na Índia um dos maiores matemáticos da época, conhecido como
Bhaskara. Em seu tratado mais conhecido,
chamado Lilavati, encontra-se uma série de
estudos sobre equações lineares, quadráticas,
progressões aritméticas e geométricas, entre
outros assuntos matemáticos.
A fórmula que permite a resolução de
uma equação de 2o grau foi batizada com o
nome desse estudioso. Vale ressaltar que sua
demonstração apoia-se em conhecimentos
matemáticos anteriores, como dos babilônios e árabes. Caso seja do interesse do professor, há livros de história da Matemática,
como o clássico de Carl Boyer, que apresentam citações sobre Bhaskara e sua obra,
Lilavati. A seguir, trazemos uma demonstração algébrico-geométrica da fórmula resolutiva, quadrática, ou ainda de Bhaskara, que
permite a obtenção das raízes de uma equação
de 2o grau.
Aqui, aplicaremos o método de Al-Khowarizmi, isto é, o método de completar
quadrados a uma equação geral de 2o grau.
Assim, obteremos uma fórmula que servirá
para calcular as raízes de qualquer equação de
2o grau. Considere, inicialmente, a possibilidade
de resolução da equação geral: ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0, a, b e c reais).
A equação geral pode ser escrita da forma:
ax + bx = – c.
2
I. Dada a expressão ax2 + bx = – c, dividindo-se todos os termos por a, teremos:
b
c
x2 + x = –
a
a
Portanto, vamos interpretar x2 como a
b
área de um quadrado de lado x e x como
a
b
a área de um retângulo de lados x e .
a
b
a
x
x
bx
a
x
x2
II. Dividimos o retângulo em dois retângulos
de áreas iguais e, assim, podemos escrever
a equação na seguinte forma geométrica
x
mais
x
x
bx
bx
2a
2a
b
2a
III. Vamos colocar os dois retângulos ao
longo dos lados dos quadrados e completar o quadrado com um quadradinho de lados b :
2a
b
x
x
b
2a
2a
x2
൭
b
2a
2
൱
83
IV. A área desse novo
– 4ac + b2
c
b2
=
– +
4a 2
4a 2
a
b
.
mede x +
2a
quadrado
é
e seu lado
x = 1 ou x = –3
b) 3x2 + 5x + 2 = 0
x = –1 ou x = –
Portanto, podemos escrever a seguinte
2
a) x2 + 2x – 3 = 0
2
– 4ac + b
b⎞
:
equação ⎛⎜ x +
=
⎟
⎝
2a ⎠
4a 2
2
3
c) 7x – x2 – 6 = 0
x = 1 ou x = 6
Aplicando as propriedades algébricas, temos:
d) 2x2 + x = 1
– 4ac + b2
b⎞
⎛
=
±
x
+
⎟
⎜⎝
2a ⎠
4a 2
x = –1 ou x = +
e) 3x2 – 2x + 1 = 0
2
Então, x +
b – 4ac
b
, logo,
± 2a
2a
b
– 4ac +b2
, do que se conclui que
± 2a
2a
os valores de x que satisfazem a equação são
x = –
dados pela expressão: x – b ± b2 – 4ac
.
2a
Indicando-se as raízes da equação por
x1 e x2 teremos, portanto: x1 e x2 – b – b2 – 4ac
.
2a
1
2
– b + b2 – 4ac
2a
Nesse momento, o professor pode propor algumas equações para os alunos resolverem, atento ao fato de que o reconhecimento dos coeficientes é parte essencial da aplicação da fórmula.
Não tem solução real.
f) 4x2 + 12x + 9 = 0
x=–
3
2
Discussão das raízes
21. Discuta com seus colegas a afirmação a
seguir e registre suas conclusões:
“Dependendo do valor da expressão b2 – 4ac,
uma equação de 2o grau pode admitir duas
raízes reais distintas, duas raízes reais idênticas
(uma raiz dupla), ou não admitir raízes reais.”
O valor da expressão b² – 4ac é tão importante para a fórmula
que foi denominado discriminante. De fato, seu valor distingue se uma equação de 2o grau pode admitir duas raízes reais
distintas, ou duas raízes reais idênticas (uma raiz dupla), ou então não admitir raízes reais. Ele foi representado por uma letra
20. Resolva as equações a seguir usando a fórmula de Bhaskara: x – b ± b2 – 4ac .
2a
Lembre-se de que, para aplicá-la, a equação deve estar na forma ax2 + bx + c = 0.
84
grega 6 (delta). Assim, 6 = b2 – 4ac. Como ele é o radicando de
uma raiz quadrada, podemos estabelecer as seguintes relações:
Δ=0
Δ>0
Δ<0
Duas raízes reais
idênticas (uma
raiz dupla).
Duas raízes reais
distintas.
Não admite
raízes reais.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Na sequência, antes de voltarmos à aplicação da fórmula de Bhaskara, o professor pode apresentar aos alunos o seguinte
conjunto de atividades, a fim de estimular a
discussão sobre a importância do discriminante (6).
Após essa discussão, o aluno pode ser convidado a resolver outras questões envolvendo
equações de 2o grau, que propiciem a aplicação, ampliação e aprofundamento das noções
desenvolvidas até aqui.
Resolvendo equações de 2o grau
Diante de uma lista de equações de 2o grau
para resolver, um aluno começou calculando o
valor da expressão: b2 – 4ac, para cada equação, e encontrou os seguintes valores:
1) – 4
2) 36
3) 0
25
4)
9
5)
6)
7)
8)
9)
–4
81
– 64
200
100
22. Resolva as equações a seguir por
meio de método que julgar mais apropriado. Lembre-se de que uma equao
ção de 2 grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.
a) x2 – 4x + 4 = 0
x1 = x2 = 2
b) y2 + y + 1 = 0
Não existem raízes reais.
c) x2 = 8x – 15
x1 = 3; x2 = 5
d) y + 2y2 = 4
y1 = –1 – 33 ; y2= –1 + 33
4
4
Responda e justifique suas respostas.
f Quais das equações dadas admitem duas
raízes reais distintas?
2, 4, 6, 8 e 9.
f Quais das equações dadas admitem duas
raízes reais idênticas?
Apenas a 3.
f Quais das equações dadas não admitem
raízes reais?
1, 5 e 7.
As justificativas passam pelos valores e pelos sinais de 6.
23. Justifique o fato de as quatro equações a
seguir terem as mesmas raízes:
–x2 + 2x + 3 = 0; x2 – 2x – 3 = 0; –10x2 +
+ 20x + 30 = 0; – 0,5x2 + x + 1,5 = 0;
Qualquer uma dessas equações é resultado da multiplicação
de dois membros por um mesmo número real diferente de
zero. Assim, pelo princípio multiplicativo da igualdade, todas
são equações equivalentes e, por isso, têm as mesmas raízes.
24. Desenvolvendo-se algebricamente as equações a seguir, é
possível obter a equações de
o
2 grau. Utilize essa estratégia para resolvê-las.
85
a)
x+5 2
=
3
x
x1 = –6; x2 = 1
b)
10
2
9
= +
x +1 x x + 2
x1 = 1; x2 = 4
c)
2
24
+
= 10
x –1 x –1
2
x1 = – 9 ; x2 = 2
5
Nesses exemplos não há caso em que uma
raiz determinada pela aplicação da fórmula
de Bhaskara anule o denominador de fração
inicial. Todavia, será importante o professor
discutir esse aspecto com seus alunos e, se
possível, apresentar a eles uma equação que
admita raiz estranha. Nesse caso, sugerimos a
2
x–2
2 = 2x2 + 2 .
seguinte equação:
x+1
x–1
x –1
Com a fórmula em mãos, o professor pode demonstrar, a partir das raízes
– b – b2 – 4ac
– b + b2 – 4ac
,a
e x2 =
2a
2a
validade da ideia da soma e do produto das
raízes. Esse fato está disponível na maioria
dos livros didáticos destinados a esse assunto.
x1 =
Considerações sobre a avaliação
Os objetivos traçados para esta Situação
de Aprendizagem incluem conhecimento de situações que exigem resolução de equações de
2o grau, a aplicação de conhecimentos matemáticos referentes a outros contextos, como propriedades de potências, métodos de resolução de
86
equações lineares, construção de tabelas, cálculo
mental e aplicação de processos de fatoração. A
grande ênfase dada às resoluções apoiadas em processo de fatoração tornou os produtos notáveis um
conhecimento a ser aprendido e aplicado em novos contextos. Mais uma vez, combinando a abordagem algébrica com a geométrica, resgatamos, de
forma lógica, o processo histórico que envolveu o
tratamento de equações quadráticas. Desse modo,
ao final desta Situação de Aprendizagem é desejável que os alunos tenham compreendido, além dos
processos de resolução, o movimento conceitual
de resolução desses tipos de equação.
Quando a fórmula de Bhaskara for apresentada, os alunos devem ficar totalmente à vontade para escolher o processo de resolução
que preferirem. Contudo, vale a pena o professor diversificar os tipos de exercício entre
aqueles que exigem a resolução ou o uso da
fórmula e aqueles em que o cálculo mental e
os processos de fatoração sejam suficientes.
O tema desta Situação de Aprendizagem
pode ser avaliado de forma contínua, acompanhando o desenvolvimento pessoal e coletivo da turma na resolução das atividades
propostas, individualmente e em grupo. Em
vários momentos, as atividades privilegiaram
a participação e o envolvimento do aluno na
proposta e isso pode ser avaliado pelo professor
por meio de suas observações. Nas avaliações,
o professor pode explorar as ideias fundamentais abordadas nos exercícios exemplares,
propondo-lhes alteração nos enunciados ou
em sua forma de apresentação. Vale ressaltar
a importância de que o professor, ao ler atentamente as atividades propostas neste material,
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
possa combiná-las com as listas e metodologias
construídas ao longo de sua prática docente.
A próxima Situação de Aprendizagem
tem como foco a aplicação da resolução de
equações em diferentes contextos. Desse
modo, caso fiquem pendentes algumas considerações, o professor poderá desenvolvê-las
posteriormente. Da mesma forma, as atividades seguintes constituirão uma possibilidade
para o professor ampliar sua avaliação sobre
os conhecimentos adquiridos pelos alunos.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
EQUAÇÕES DE 2o GRAU NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Conteúdos e temas: problemas envolvendo equações de 2o grau.
Competências e habilidades: compreender a linguagem algébrica na representação de situações
que envolvem equações de 2o grau; resolver equações de 2o grau em problemas contextualizados.
Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que exploram
diferentes contextos de aplicações sobre o tema.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 6
Os problemas propostos a seguir têm o objetivo de pôr em prática a resolução de equações
de 2o grau em problemas contextualizados. É
importante lembrar aos alunos que nem sempre é necessário o uso de fórmula para resolver
uma equação desse tipo, mas, quando julgarem
necessário, poderão usá-la livremente.
A Índia foi palco de grande desenvolvimento matemático entre os séculos VII e
XII. Embora não haja evidências históricas que associem a fórmula para a resolução de uma equação de 2o grau à figura do matemático hindu Bhaskara, o
povo hindu em geral deu valiosas contribuições no campo das ideias matemáticas.
Relevantes contribuições no campo das equações também foram dadas pelos árabes e babilônios. As atividades apresentadas a seguir resgatam modelos de problemas que esses povos
criaram para aplicar e registrar seus conhecimentos sobre equações quadráticas. Alguns desses
modelos são adaptações do livro Lilavati, escrito por Bhaskara.
1. Responda às seguintes
questões:
a) O quadrado da oitava parte de um bando de macacos saltitava em um bosque
87
divertindo-se com a brincadeira, enquanto os 12 restantes tagarelavam no
alto de uma colina. Quantos macacos
constituem o bando?
c) Adicionei sete vezes o lado de um quadrado a onze vezes a sua área e o resultado foi 6,25. Qual é a medida do lado
do quadrado?
Se considerarmos x o total do bando, temos que ൭ x ൱ + 12 = x.
8
A equação será 11x2 + 7x = 6,25. As raízes da equação serão
11 e – 25 . No entanto, somente a solução positiva tem
22
22
significado nesta situação: o lado do quadrado deve ser 0,5.
2
Resolvendo a equação, encontramos duas possibilidades: 16 e 48.
b) Em ambas as margens de um rio existem
duas palmeiras, uma em frente à outra.
A altura de uma é 30 côvados; a da outra, 20. A distância entre seus troncos
é de 50 côvados. Na copa de cada palmeira está um pássaro. Subitamente os
dois pássaros descobrem um peixe que
aparece na superfície da água. Os pássaros lançam-se sobre ele e o alcançam no
mesmo instante. Qual é distância entre
o tronco da palmeira maior e o peixe?
A situação está ilustrada na figura a seguir:
2. Perguntaram a um professor de Matemática
sobre o número de pessoas que o acompanharam na visita a uma exposição. Como
resposta, o professor criou um problema,
explicando que todas as pessoas que o
acompanharam, ao se encontrarem, cumprimentaram-se apertando as mãos e, assim,
ele observou 66 cumprimentos. Quantas
pessoas acompanharam o professor?
Geralmente, no início do problema devemos decidir se o
professor será ou não considerado no total de pessoas. No
caso, podemos supor que ele observou os cumprimentos
© Conexão Editorial
entre as pessoas, logo, desconsideramos os referentes a ele.
Para resolver este problema, o aluno deve considerar inicialmente que o número de cumprimentos que cada pessoa dá
é uma unidade a menos que o número total de pessoas. Afinal, uma pessoa não se cumprimenta a si mesma. Indicando
30
por x o número de pessoas, o número total de cumprimen-
20
x
tos será x(x – 1). Em seguida, como o cumprimento do aluno
A ao aluno B é o mesmo cumprimento de B ao aluno A, esse
50 – x
meira maior e o peixe. Como os pássaros chegam ao mesmo
total de cumprimentos poderá ser expresso pela equação
x(x – 1)
= 66, isto é, x2 – x – 132 = 0, que terá como raízes os
2
números 12 e –11. Como a raiz negativa não tem significado,
tempo, devemos considerar que a distância por eles percorrida é
podemos concluir que 12 pessoas acompanharam o profes-
a mesma. Portanto, os dois triângulos retângulos possuem a mes-
sor. Observe a tabela a seguir:
Consideremos inicialmente x a distância entre o tronco da pal-
ma medida de hipotenusa. Dessa forma, aplicando o Teorema
de Pitágoras, podemos escrever que 302 + x2 = 202 + (50 – x)2.
o
2
Embora pareça uma equação de 2 grau, os termos em x se cancelarão, resultando em uma equação de 1o grau de raiz 20. Logo,
o peixe apareceu a 20 côvados da palmeira maior.
88
Número
de pessoas
1
2
3
4
5
x
...
Número de
cumprimentos
0
1
3
6
10
x(x – 1)
2
...
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
B
3. Mostre que não existem dois números
reais tais que sua soma seja igual a 5 e seu
produto igual a 10.
C
A
D
Na resolução desta questão, o aluno obterá a equação
H
x² – 5x + 10 = 0, cujo discriminante é negativo, indicando,
E
assim, que não existem dois números reais que satisfazem
as condições do problema.
4. Considere a equação de 2o grau x2 + bx +
+ 9 = 0, sendo b um número real.
a) Substitua b por 10 e calcule as raízes
da equação.
G
F
Com base nessa definição:
a) Quantas diagonais tem um retângulo?
E um pentágono?
Retângulo: 2 diagonais;
–9 ou –1
pentágono: 5 diagonais.
b) Determine um valor de b para o qual
a equação possua duas raízes reais e
iguais (pode-se dizer também uma raiz
real dupla).
b) Complete a tabela apresentada a seguir
Número de lados de
um polígono
Número de
diagonais de um
polígono
3
0
4
2
5
5
Uma possível resposta: b = 5, uma vez que essa questão não
6
9
tem uma única resposta e sua discussão permite antecipar a
7
14
compreensão de noções importantes relacionadas à função
...
...
n
n(n – 3)
2
–6 ou 6
c) Determine um valor de b para o qual a
equação não possua raízes reais.
modular, que poderão ser desenvolvidas mais adiante, durante o Ensino Médio.
A seguir, vamos explorar algumas relações,
fatos e propriedades geométricas em que se
aplicam equações de 2o grau.
c) Qual é o número de diagonais de um
polígono com 15 vértices?
90
5. A diagonal de um polígono convexo é o segmento que une dois vértices não consecutivos.
Por exemplo: na figura a seguir, os vértices C,
D, E, F e G não são consecutivos ao vértice A.
d) Sabendo que um polígono tem 44 diagonais, quantos lados tem esse polígono?
11 lados
89
e) Utilizando seus conhecimentos sobre
equações de 2o grau, mostre que não
existe um polígono com exatamente 42
diagonais.
o número de fios de linha azul em 5, sendo
que o total de pontos de cruzamento entre
as linhas azuis e vermelhas é igual a 6 800.
Calcule o número de fios de linhas azul e
vermelha usados na confecção desse tecido.
Basta mostrar que a equação n2 – 3n – 84 = 0 não possui raízes
inteiras positivas.
fios de linha vermelha
x
fios de linha azul
6. O projeto de um jardim retangular prevê que se coloquem pedras
ornamentais, formando com o jardim uma área maior, também retangular. Na
figura a seguir, a região cinza representa o
lugar onde as pedras deverão ser colocadas.
15 m
Se o número de fios azuis for igual a x, o de fios vermelhos será
x + 5. O total de cruzamentos entre os fios, nesse caso, poderá
ser representado pela expressão xu(x + 5). Temos a equação: x(x +
6m
+ 5) = 6 800 que apresenta solução x = 80 ou x = –85. Assim, o
número de fios azuis é 80 e o de fios vermelhos é 85.
x
Sabendo que a área ocupada pelas pedras é
de 46 m2, calcule a medida x em metros.
A figura pode ser dividida conforme indicado a seguir:
x
15
6
x+6
8. Um vitral retangular colorido de dimensões
2 m por 4 m será emoldurado conforme indica a figura a seguir. Sabendo que a área
total da moldura é 7 m2, calcule a medida x
do lado dos quadrados nos cantos da moldura, tendo em vista que os quatro cantos
da moldura são quadrados idênticos.
x
x
4m
x
x
x
x
Nessa condição, o valor de área dada pode ser aplicado na
2m
seguinte equação: x(x + 6) + 15x = 46
Essa equação apresenta solução x = –23 ou x = 2. A resposta
positiva é a que interessa à situação. Portanto, x = 2.
7. Em uma peça retangular de tecido, parcialmente representada na figura a seguir,
o número de fios de linha vermelha excede
90
x
x
x
x
As raízes serão –3,5 e 0,5 m. Portanto, o valor de x será 0,5 m.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Desafio!
b) x = x – 1+ 3
9. Com os procedimentos já estudados
para solucionar equações de 2o grau,
você pode resolver também equações
de outros graus. Assim, resolva as seguintes expressões algébricas:
Inicialmente, vamos isolar a raiz e depois elevar ambos
os membros da equação ao quadrado:
(x – 3)2 = x – 1
x2 – 6x + 9 = x – 1
x2 – 7x + 10 = 0
As soluções serão x = 2 ou x = 5. Contudo, temos que ve-
3
a) x – 6x = 0
3
rificar a validade das soluções.
2
x – 6x = 0, logo x(x – 6) = 0
Portanto, ou x = 0 ou x2 – 6 = 0 Ax = ± 6 .
Assim, a equação tem como soluções S = { 0, 6 , – 6 }.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, foi proposta aos alunos uma série de atividades que
envolvem equações de 2o grau e sua solução. Muitas delas já apontam para a relação entre duas
grandezas, preparando noções sobre funções,
tema das próximas Situações de Aprendizagem.
É fundamental que o professor observe tanto a
compreensão dos enunciados como os processos
de resolução das equações. Em cada problema,
podem-se recuperar as estratégias aprendidas e
sugerir as formas mais adequadas de resolução.
x=2
x=5
2= 2–1+3
5= 5–1+3
2= 1 +3
5= 4 +3
2 = 4 falso
5 = 5 (verdadeiro) S = {5}
Uma ideia que o professor pode desenvolver, neste momento, é propor aos alunos a
criação de problemas que envolvam a expressão e resolução de uma equação de 2o grau.
Para isso, os alunos podem fazer pesquisas
sobre fenômenos que são modelados por funções quadráticas. Ao recolher os trabalhos, o
professor pode observar a criatividade com
que foram elaborados os problemas e o rigor
das resoluções. Valorizando a produção dos
alunos, o professor pode discutir uma ou outra
forma mais adequada de apresentar o problema e a resolução.
91
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
GRANDEZAS PROPORCIONAIS: ESTUDO FUNCIONAL,
SIGNIFICADOS E CONTEXTOS
Conteúdos e temas: grandezas diretamente proporcionais; expressão algébrica da relação de
proporcionalidade direta e inversa; noções de funções.
Competências e habilidades: compreender a ideia de proporcionalidade; expressar situações
e problemas em linguagem algébrica; aplicar as noções de proporcionalidade em diferentes
contextos.
Sugestão de estratégias: proposição de situações-problema envolvendo proporcionalidade.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 7
Para as atividades aqui apresentadas, considera-se a importância do desenvolvimento
do raciocínio proporcional, por meio da exploração de situações que levem o aluno a observar a variação entre grandezas, estabelecer
relação entre elas e construir estratégias de solução para resolver problemas que envolvam a
proporcionalidade. Explorada em outros contextos, como na ampliação de figuras e na semelhança de triângulos, a proporcionalidade
agora está no foco das noções básicas sobre
função, ou seja, pretende-se propor situações
cuja finalidade é o desenvolvimento de ideias
relativas às funções, por meio de situações envolvendo a proporcionalidade. Vale lembrar
que o raciocínio proporcional ocupa lugar de
destaque na aprendizagem matemática e, por
essa razão, está presente em várias Situações
de Aprendizagem destes Cadernos.
92
Para resolver os problemas propostos, os alunos deverão identificar a natureza da variação
entre duas grandezas, reconhecendo que duas
grandezas, x e y, são diretamente proporcionais,
quando a razão entre seus valores correspony
dentes é constante: = constante = k e escrever,
x
portanto, que y = kx (k é uma constante). Para
a resolução de algumas das situações seguintes,
deve-se identificar a existência ou não de proporcionalidade, traduzindo-a por meio de uma
relação algébrica – relação funcional – quando
existir. Na caracterização dessa interdependência entre as duas grandezas, devemos identificar a que pode variar livremente, que será a
variável independente, daquela que tem seu valor
determinado pelo valor da outra, que será a
variável dependente. Dessa forma, sendo x a variável independente, se a cada valor de x corresponder um único valor da variável dependente y,
diremos então que y varia em função de x.
Também são propostos problemas que
tratam de duas grandezas, x e y, que variam
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
de tal modo que a proporcionalidade direta ocorre não entre y e x, mas entre quanto
y varia a partir de certo valor h e x. Nesses
casos, temos y – h = kx, ou seja, y = kx + h
(k e h constantes), ou seja, y – h é diretamente proporcional a x, uma vez que podemos
y−h
escrever
= k . Ou seja, estes problemas
x
têm por finalidade explorar a variação linear
entre duas grandezas e suas aplicações.
o
2. A tabela a seguir indica como varia a grandeza y em função da grandeza x. Analise-a
e, levando em conta os valores apresentados,
diga se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, ou se
não são nem direta nem inversamente proporcionais. Em cada caso, escreva a expressão algébrica que relaciona x e y.
a)
x
1
2
3
4
5
6
7
y
10
20
30
40
50
60
70
2
Quanto às funções de 2 grau y = ax + bx + c,
apresentaremos algumas situações que estabelecem a proporcionalidade entre uma grandeza e o
quadrado de outra.
© Conexão Editorial
1. Discuta com seus colegas a
seguinte situação: Paulo foi à
feira e encontrou ofertas de
maçãs:
São grandezas proporcionais, pois, quando o valor de uma
grandeza dobra, o valor correspondente à outra também
dobra; quando triplica, o outro também triplica etc. Isto é,
a razão x é constante e a sentença que expressa a relação
y
entre x e y é x ou y = 10x.
y
b)
x
1
2
3
4
5
6
10
y
48
24
16
12
9,6
8
4,8
São grandezas inversamente proporcionais, pois, quando o valor de uma grandeza dobra, o valor correspondente à outra se
reduz à metade; quando triplica, o outro se reduz a um terço
etc. A razão x u y é constante, e a sentença que expressa a relação
entre x e y é x u y = 48 ou y = 48 .
x
c)
Em sua opinião, a oferta das 10 maçãs
é vantajosa para Paulo? Justifique sua
resposta.
x
1
2
3
4
5
6
7
y
3
5
7
9
11
13
15
Não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se observa um mesmo valor nem
Podemos dizer que o preço de 10 maçãs está relativamente
x
y
barato em comparação com o preço de 5. Se o preço fos-
para nem para x u y. A expressão que relaciona x e y pode ser
se diretamente proporcional ao número de maçãs, 10 delas
y = 2x+1 (analisando a tabela, pode-se perceber que os valo-
custariam R$ 2,00 e não R$ 1,80. Por isso, a oferta do feirante
res de y são iguais ao dobro dos correspondentes valores de x
era realmente boa para a compra de 10 maçãs.
acrescidos de 1 unidade).
93
d)
x
1
2
3
4
5
6
7
y
2
8
18
32
50
72
98
Também não são grandezas nem direta nem inversamente proporcionais, pois não se observa um valor constante nem para
x nem para x u y. A sentença que relaciona x e y é y = 2x2
y
(analisando a tabela, pode-se perceber que os valores de y são
iguais ao dobro do quadrado dos correspondentes valores de x).
cionalidade direta entre as medidas das
grandezas correspondentes. Se houver,
expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade, quando possível.
a) A massa m de uma pessoa é diretamente
proporcional a sua idade t?
Não. De fato, quando a idade de uma pessoa dobra, digamos,
3. Refaça a tabela apresentada na
atividade 2, item c da seção Você
aprendeu?, e verifique se há proporcionalidade entre x e y – 1. Justifique
sua resposta.
passa de 2 a 4 anos, não é verdade que sua massa também
dobra. Se houvesse proporcionalidade direta, imagine a massa de uma pessoa aos quarenta anos...
x
y
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
6
13
7
15
b) Quando compramos x metros de determinado fio, o preço p a pagar é diretamente proporcional a x?
y–1
2
4
6
8
10
12
14
Sim. O preço a pagar p é o produto do preço de 1 m do fio
pela quantidade x de metros: p = kx, onde k é o preço de 1 m
Sim, há proporcionalidade direta entre x e y – 1. Percebemos
que a razão y – 1 é constante. Como y – 1 = 2, o valor 2
x
x
representa a constante de proporcionalidade.
de fio. Mas, às vezes, o vendedor pode fazer algum desconto,
4. Faça a mesma análise com o item d da atividade 2 apresentado na seção Você aprendeu?,
verificando se há proporcionalidade entre os
valores de y e os de x2. Justifique sua resposta.
c) O preço a ser pago por uma fotocópia é
diretamente proporcional ao número de
cópias?
x
x2
y
se a pessoa comprar uma grande quantidade, e aí a proporcionalidade deixa de existir.
Sim. De fato, quando o número de cópias dobra, digamos,
1
2
3
4
5
6
7
passa de 5 a 10, é verdade que o preço a ser pago também
1
4
9
16
25
36
49
dobra.
2
8
18
32
50
72
98
Construindo uma nova tabela, observamos que os valores
de y são diretamente proporcionais ao quadrado de x, isto
é, y é constante e, como y = 2, a constante de proporx2
x2
cionalidade é 2.
d) O perímetro p de um triângulo equilátero é diretamente proporcional ao seu
lado de medida a?
O perímetro p é igual à soma das medidas dos três lados, ou
seja, p é o produto da medida a do lado por 3, ou seja, p = 3a.
5. Em cada um dos casos apresentados a
seguir, verifique se há ou não propor-
94
Portanto, o perímetro é proporcional à medida do lado do
triângulo equilátero.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
e) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao lado a do
quadrado?
a
Velocidade:
0 10 20 30 40 50 100 120
v (km/h)
Distância de
segurança: 0 1
d (metros)
4
9 16 25 100 144
d
Observando a tabela, concluímos que d = k u v2.
a
Sim, pois a diagonal d é igual ao produto de a por 2 , ou
seja, d = 2 u a. Isso é possível de perceber aplicando-se o
Teorema de Pitágoras.
f) O comprimento C de uma circunferência
é diretamente proporcional a seu raio r?
Sim, pois o quociente entre C e r é igual a uma constante: 2/.
Ou seja, C = 2/e C = 2/u r.
r
g) A área de um círculo é diretamente proporcional à medida do raio? E ao quadrado do seu raio?
Como a área de um círculo é dada pela expressão A = /.r2,
A
observamos a seguinte proporcionalidade
= /. Portanto,
r2
a área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu raio.
6. Ao dirigir um automóvel, o
motorista deve estar atento à
distância percorrida pelo automóvel quando o freio é acionado. O código
de segurança nas estradas sugere uma relação entre a distância de segurança, isto é, a
distância percorrida pelo carro após acionado o sistema de freios e a velocidade do
automóvel no instante da frenagem. A tabela a seguir mostra alguns valores encontrados em uma pista de testes:
a) Qual o valor da constante de proporcionalidade k?
k= d = 1 = 4 = 1
v2 102 202 100
b) O automóvel encontra um obstáculo a
uma distância de 83 m. Qual deve ser,
aproximadamente, sua velocidade máxima
de modo que ele não atinja o obstáculo?
Aproximadamente 90 km/h.
d= 1 v2 A83 = 1 v2 Av = 8 300 A v 90km/h
100
100
c) Qual a distância de segurança quando a
velocidade do automóvel for v = 80 km/h?
64 m
d= 1 u 802 A d = 6 400 = 64m
100
100
7. Para produzir x unidades de um produto
A, o custo total C é composto de uma parcela fixa de mil reais e uma parcela variável,
que é diretamente proporcional a x. O custo total da produção de x produtos é, então,
C = 1 000 + kx, sendo C em reais. A constante k representa o aumento no custo total
C quando a quantidade produzida aumenta uma unidade. Dado que, para produzir
100 unidades do produto A, o custo total é igual
a R$ 1 500,00, responda às seguintes questões:
95
a) Qual o valor de k na expressão
C = 1 000 + kx?
Os valores são x = 100 e C = 1 500. Substituindo esses valores
na expressão, chegamos ao valor de k = 5. Isso significa que, a
cada quantidade produzida, o custo total aumenta em 5 reais.
b) Em quanto aumentará o custo total se a
quantidade produzida aumentar de 579
para 580? E de 2 938 para 2 939?
Não, o custo total C não é diretamente proporcional a x, pois
a razão C não é constante. Para x = 1, temos C = 1 005 e,
x
1 010
1 005
≠
, ou seja, C
para x = 2, temos C = 1 010;
2
2
x
não é constante.
e) A diferença entre o custo total C e o
custo fixo é diretamente proporcional
a x?
Sim, a diferença entre o custo total e o custo fixo é direta-
Aumentará, em ambos os casos, 5 reais, pois a variação de
mente proporcional a x, ou seja, o custo variável é diretamen-
uma unidade produzida.
te proporcional a x e a constante de proporcionalidade é 5.
O professor, nesse caso, pode sugerir a construção de uma
c) Para qual valor de x o custo variável
será igual ao custo fixo?
tabela, como a que é apresentada no item a seguir:
x = 200, pois 5 u 200 = 1 000.
f) De acordo com os dados apresentados
no enunciado do problema, quais valores completam a tabela?
d) O custo total C é diretamente proporcional a x?
96
Número de
produtos (x)
Custo total
Diferença entre o custo
total e o custo fixo
(custo variável)
Razão entre a
diferença calculada
ex
1
1 000 + 5 u 1 = 1 005
1 005 – 1 000 = 5
5 =5
1
2
1 000 + 5 u 2 = 1 010
1 010 – 1 000 = 10
10
=5
2
3
1 000 + 5 u 3 = 1 015
1 015 – 1 000 = 15
15
=5
3
4
1 000 + 5 u 4 = 1 020
1 020 – 1 000 = 20
20
=5
4
...
...
...
10
1 000 + 5 u 10 = 1 050
1 050 – 1 000 = 50
50
=5
10
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
8. Uma determinada revista estadunidense apresentou duas leis que representam a relação entre o número do sapato (n) e o comprimento
do pé (c) de uma pessoa em polegadas. Para as
mulheres, a lei é n = 3c – 22 e para os homens,
é n = 3c – 25. Assim, responda:
a) Qual é o número do sapato de uma mulher
cujo comprimento do pé é 13 polegadas? E
o de um homem com 16 polegadas?
tros), a pressão p é uma soma de duas parcelas: a pressão ao nível do mar mais a pressão
resultante do peso da água, que é diretamente proporcional à profundidade x, ou seja,
p = 1 + kx (p em atmosferas, x em metros e k,
a constante de proporcionalidade). Sabendo
que a cada 10 m que descemos verticalmente
no mar, a pressão aumenta em 1 atmosfera,
responda às questões a seguir:
a) Qual é o valor de k na relação p = 1 + kx?
Números 17 e 23.
Quando se passa da superfície (x = 0) para uma profundidade
b) Se um homem e uma mulher possuem o
pé de mesmo comprimento, qual deles
calçará o sapato de número maior?
de 10 m (x = 10), a pressão aumenta de 1 atmosfera. Assim,
A mulher.
poderia ser mais rapidamente calculado dividindo o acrésci-
a 10 m de profundidade, a pressão será 1 + 1 = 2 atmosferas.
Logo, 2 = 1 + k u 10. Calculando k, obtém-se k = 0,1. Esse valor
mo de 1 atmosfera de pressão por 10.
c) Existe alguma medida de comprimento de pé que torne o número do sapato
masculino igual ao feminino?
b) Em quanto aumentará a pressão se des-
Não. Construindo uma tabela, como a apresentada a seguir,
A cada metro que descemos a pressão aumentar de
observamos que a diferença entre os números dos homens e
0,1 atm.
cermos verticalmente mais 1 m na água?
das mulheres permanece em três unidades e que cada uma
c) À qual profundidade x o valor da
delas cresce com a mesma variação: 3 por polegadas.
C
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Número
(homem)
2
5
8
11
14
17
20
23
26
Número
(mulher)
5
8
11
14
17
20
23
26
29
pressão triplica em relação ao valor
na superfície?
x = 20 m.
d) A pressão p é diretamente proporcional
à profundidade?
Não, pois a razão entre p e h não é constante.
9. Quando mergulhamos no mar, a
pressão aumenta com a profundidade. Na superfície do mar, a pressão é
resultante do peso do ar atmosférico e sua
medida é igual a 1 atmosfera. Quando nos
encontramos a uma profundidade x (em me-
e) A diferença entre a pressão p e a pressão
na superfície é diretamente proporcional à profundidade?
Sim, pois a razão entre a diferença das pressões (acréscimo
de pressão) e a profundidade é constante.
97
© Conexão Editorial
10. A área A de uma imagem
projetada é dada em função da
distância d entre projetor e a tela.
u
d=1
d=2
d=3
a) Observe a figura e complete a tabela a
seguir, que relaciona a área A da imagem com a distância d do projetor:
Distância (d)
1
2
3
4
5
6
7
Área(A) (u)
1
4
9
16
25
36
49
11. Em finanças, dois conceitos muito importantes são o da oferta e o da demanda ou procura. A função oferta representa a relação entre o preço (p) necessário
para que um fabricante produza certa
quantidade (n) desses produtos. A função demanda representa a relação entre
o preço (p) que os consumidores pagam
pelo produto e a quantidade (n) de produtos produzidos. Supondo que a função oferta para determinada mercadoria
seja p = 3n2 + 60n, para p dado em reais,
responda:
a) Qual o preço a ser oferecido caso a produção seja de 50 mercadorias?
Atribuindo à variável independente n o valor 50, teremos o
valor de p = 3 u 502 + 60 u 50 = 7 500 + 3 000 = 10 500 reais.
b) Qual das expressões a seguir representa
relação entre A e d?
A = 2d ( )
A=d+4( )
2
A=d+1( )
A=d ( )
b) O que ocorre com o preço à medida que
o número de mercadorias produzidas
aumenta? Podemos dizer que o preço p
é proporcional ao número de mercadorias produzidas? Construa uma tabela
para fundamentar suas conclusões e
justifique.
A expressão será A = d2 .
c) A área A da imagem é diretamente proporcional à distância d do projetor? Se sim,
quanto vale a razão de proporcionalidade?
Para construir a tabela, devemos considerar somente valores
naturais para n:
A não é diretamente proporcional a d.
d) A área A da imagem é diretamente proporcional ao quadrado da distância d
ao projetor? Se sim, quanto vale a razão
de proporcionalidade?
2
98
N
0
P
0 63 132
1
2
3
4
5
6
10
100
207
288
375
468
900
36 000
Com base nessa tabela, observamos que, à medida que n
A área A é diretamente proporcional à distância d e a razão
cresce, p também cresce. Contudo, observamos que p não
de proporcionalidade é 1.
é diretamente proporcional a n.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem, é
fundamental que os alunos reconheçam situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio de uma expressão que relacione
duas grandezas e que analisem se essa relação é
direta, inversamente proporcional ou nem direta
nem inversamente proporcional. A familiarização com o conceito de função está associada,
particularmente, às observações das variações
e das relações de interdependência na expressão
algébrica ou na construção de tabelas.
Nesse início, o professor pode observar que
não foi dada muita evidência à linguagem formal para o tratamento de funções. Vale lembrar que uma abordagem mais sistematizada
sobre funções é foco do conteúdo da 1a série do
Ensino Médio.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE GRANDEZAS
PROPORCIONAIS E DE ALGUMAS NÃO PROPORCIONAIS
Conteúdos e temas: representação gráfica de grandezas direta e inversamente proporcionais
e de grandezas que não são proporcionais; representação gráfica de diversos tipos de relação de interdependência linear e não linear; problemas de máximo e mínimo que envolvem
funções quadráticas.
Competências e habilidades: compreender situações que envolvem proporcionalidade
direta, inversa e não proporcionalidade; expressar graficamente situações de interdependência entre grandezas.
Sugestão de estratégias: exploração de diversos tipos de interdependência entre grandezas; utilização de situações-problema envolvendo construção e análise de gráficos.
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 8
Na Situação de Aprendizagem anterior
foram propostas atividades que envolviam
a variação de duas grandezas, que eram diretamente proporcionais e as inversamente
proporcionais. Tais relações foram descritas
verbalmente, por meio de tabelas e também
algebricamente.
Uma vez que os gráficos são traçados no
plano cartesiano, é importante que o professor
investigue os conhecimentos prévios dos alunos
referentes a coordenadas, par ordenado, quadrantes, eixos e origem do sistema. Caso identifique dificuldades, o professor pode iniciar seu
trabalho retomando a construção dessas noções
fundamentais. Com base nisso, pode sugerir que
os alunos pesquisem e tragam alguns gráficos
usados em jornais e revistas para a discussão em
99
sala de aula. As análises podem ser feitas com
base em grandezas envolvidas, formas de crescimento ou decrescimento e pontos de máximos e
mínimos. Nas primeiras atividades desta Situação de Aprendizagem, sugerimos algumas análises de fenômenos e suas representações gráficas.
O objetivo aqui é explorar a ideia de que um gráfico é uma representação da variação entre duas
grandezas. Essa representação, isto é, o gráfico
da função, permitirá o levantamento de muitas
hipóteses, além suscitar diferentes questões.
A proporcionalidade entre grandezas é uma
das formas mais comuns de ocorrências físicas. Como temos demonstrado, são várias as
situações-problema sobre taxas de variações,
como aquelas que encontramos em leis de movimento e de consumo. A representação geométrica da proporcionalidade direta, isto é, de
expressões na forma algébrica y = mx, constitui uma classe de retas que passam pela origem
do sistema cartesiano. Quando a variação entre as grandezas é dada na forma y = mx + n,
a proporcionalidade agora será entre os valores
de y – n e x. Nesse último caso, o gráfico também será uma reta, de mesma declividade m.
Sendo n ≠ 0, o valor de n será aquele a partir
do qual a variação em y é diretamente proporcional a x. Geralmente, nas situações contextualizadas, somente o traçado das curvas no
primeiro quadrante tem significado. Contudo,
é importante que o aluno construa os critérios
associados ao domínio da função. Deve-se
estar atento também à escala a ser escolhida,
quando se constroem gráficos.
Nesta Situação de Aprendizagem, são
propostos problemas que tratam de represen-
100
tações gráficas de grandezas cuja variação é
diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional.
Tais atividades têm por finalidade discutir:
f os pontos do gráfico cartesiano que representam a variação de duas grandezas
diretamente proporcionais (y = mx) pertencem a uma reta que passa pelo ponto
(0; 0). Quando a função estiver expressa
na forma y = mx + n, com n ≠ 0, a proporcionalidade se dará entre y – n e x;
y
y = mx + n
y = mx
n
x
0
x1 x2 x3 x4 x5
f os pontos do gráfico cartesiano que
representam a variação de duas
grandezas inversamente proporcionais (x u y = k) pertencem a uma curva denominada hipérbole;
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
y
a)
2
distância de casa
1
–4
–3
–2 –1
1
2
3
4
x
–1
–2
f os gráficos de funções quadráticas são
curvas denominadas parábolas e possuem
concavidades para cima ou para baixo e
um ponto de máximo ou de mínimo.
tempo
y
3
b)
2
distância de casa
1
x
–2
–1
1
2
1. Considere as grandezas “distância de casa” e “tempo decorrido”
nas situações a seguir e indique o
gráfico que melhor corresponde a cada uma.
I. Paulo saiu de sua casa de automóvel para
ir ao trabalho, mas o pneu furou. Depois
de trocá-lo, ele continuou o trajeto.
Gráfico c
tempo
c)
distância de casa
II. Ana saiu de casa para ir ao banco, mas
precisou retornar para pegar sua bolsa.
Em seguida, ela foi ao banco.
Gráfico d
III. Pedro saiu de casa devagar, mas aumentou cada vez mais sua velocidade para
chegar mais rápido ao seu destino.
tempo
Gráfico b
101
b) Qual é o volume de uma amostra de ferro de 15 g de massa?
d)
distância de casa
2 cm3
c) Explique por que as grandezas volume e
a massa de amostras de ferro representadas no gráfico são grandezas diretamente proporcionais.
Por meio da análise do gráfico, podemos verificar que a
amostra de 1 cm3 de ferro tem massa 7,5 gramas. A massa de
tempo
2 cm3 é 15 gramas, enquanto a de 4 cm3 é 30 g. Por outro lado,
podemos ler o gráfico a partir do eixo vertical: o volume de
uma amostra de ferro de massa 22,5 gramas é 3 cm3. Esse grá-
2. Mediram-se as massas de pequenas amostras de ferro de diversos volumes. A unidade
de medida de massa foi o grama (g) e a de
volume foi expressa em centímetros cúbicos (cm3). Com os dados encontrados,
construiu-se o gráfico a seguir:
fico mostra como varia a massa m (em gramas) de amostras
de ferro de acordo com a variação do volume V dessas amostras. Observe, então, que ao duplicar o volume (de 1 cm3
para 2 cm3) a massa também duplicou (de 7,5 gramas para 15
gramas); ao triplicar o volume (de 1 cm3 para 3 cm3), a massa também triplicou (de 7,5 gramas para 22,5 gramas). Assim,
concluímos que a massa (ferro) é diretamente proporcional
massa (gramas)
ao volume.
37,5
d) Qual é a constante de proporcionalidade?
30
Observando os valores das massas e dos volumes apresentados, verificamos que:
22,5
7,5 gramas = 7,5g/cm3 15 gramas = 7,5g/cm3
1 cm3
2 cm3
15
22,5 gramas
= 7,5g/cm3. Portanto, ao variar o volume V
3 cm3
do bloco, sua massa também varia, mas o quociente entre a
massa m e o volume V permanece constante (igual a 7,5 g/cm3).
7,5
0
1
2
3
4
5
volume
(centímetros cúbicos)
a) Qual é a massa de uma amostra de ferro
cujo volume é 4 cm3?
30 g
102
e) Escreva a relação entre a massa, m, e o
volume, V, por meio de uma expressão.
m
= 7,5 ou m = 7,5V.
V
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
3. O gráfico a seguir indica a velocidade que
um automóvel precisa alcançar em função
do tempo para percorrer uma distância de
120 km.
deles é dividido por 6, o correspondente à outra é multiplicado por 6, e assim por diante, ou seja, duas grandezas
x e y são inversamente proporcionais quando os produtos dos valores de uma pelos correspondentes valores da
outra forem constantes. Gráficos de grandezas inversa-
v (km/h)
120
mente proporcionais são denominados hipérboles.
c) Escreva a expressão que relaciona v e t.
v u t = 120
4. Analise o gráfico a seguir. Ele
indica o preço em reais de cada camiseta que uma confecção produz
de acordo com o número de camisetas
compradas pelas lojas.
60
40
30
24
20
y
(preço em reais por item)
18
0
1
2
3
4
5
6
t (h)
16
14
a) Com base no gráfico, complete a tabela
a seguir:
12
10
8
t (h)
1 1,5 2
v (km/h) 120
80
60
3
4
5
6
8 12
40
30
24
20
15
6
4
10
2
100 200 300 400 500 600 (quantidade de itens)
b) Explique por que as grandezas “velocidade” e “tempo” representadas no gráfico são inversamente proporcionais.
Podemos dizer que as grandezas envolvidas nesse problema – a velocidade média e o tempo gasto para se
percorrer a distância dada – não são diretamente proporcionais, mas sim inversamente proporcionais, porque
quando o valor de uma delas é multiplicado por 2, o valor
correspondente à outra é dividido por 2. Quando um
O gráfico mostra que, quanto maior for a
quantidade de camisetas compradas, menor
será o preço por unidade. Por exemplo: se
uma loja comprar 100 camisetas, o preço de
cada uma delas será 16 reais; se comprar 200,
o preço por camiseta passará a ser 14 reais, e
assim por diante. Agora responda:
103
a) As grandezas envolvidas, preço unitário
p e quantidade q, são diretamente ou inversamente proporcionais? Explique.
Não, porque a razão p não é constante.
q
b) O que acontece com o preço da camiseta quando a quantidade vendida varia
em100 unidades?
c) Construa um gráfico que represente a
situação indicada na tabela anterior.
n (bombons)
36
18
O preço varia em 2 reais.
12
9
c) Qual seria a diminuição no preço para o
aumento de uma unidade vendida.
6
0
O preço diminui 2 reais para cada aumento de 100 unidades
1
2
3
4
5
6
c (caixas)
vendidas. Portanto, o preço não se modificou para uma uni-
6. Observe os três retângulos
desenhados e responda às questões a seguir:
dade vendida.
d) Com base nessas informações, escreva
uma sentença que relacione o preço p
com a quantidade q.
8 cm
10 cm
1 cm
3 cm
Considerando que, para cada diminuição de 100 unidades,
o preço aumenta 2 reais, então, o preço inicial das camisetas
II
I
5 cm
seria 18 reais. Como a cada unidade vendida o preço diminui
0,02 real, então, podemos escrever que p = 18 – 0,02q.
6 cm
5. Dona Alice faz doces por encomenda. Ela
fez 36 bombons e vai usar apenas um tipo de
caixa para embalá-los, colocando a mesma
quantidade de bombons em cada uma delas.
a) As grandezas “números de bombons” e
“números de caixas” são inversamente
proporcionais? Explique.
III
a) Calcule o perímetro e a área de cada um
deles e, em seguida, preencha a tabela:
Retângulo
I
II
III
Perímetro (cm)
Área (cm2)
22
24
22
10
22
30
Sim, porque o produto das grandezas envolvidas é constante (36).
b) Preencha a tabela a seguir:
No de bombons
o
N de caixas
104
2
3
4
6
9
12
18
12
9
6
4
3
b) Considere um retângulo de mesmo perímetro que os anteriores, cujos lados
medem x e y centímetros. Expresse y em
função de x.
2x + 2y = 22, logo y= –x + 11
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
c) Complete a tabela a seguir para a função
anterior com valores inteiros de x variando de 0 a 11. Com base nesses dados,
construa o gráfico dessa função.
x
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y 11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
A partir da tabela e do gráfico, pode-se observar que os valores de A e x não são nem diretamente nem inversamente
proporcionais.
h) O gráfico a seguir representa a função da
área A de um retângulo em relação a seu
lado de medida x. Com base nele, determine o valor de x que torna a área máxima.
y
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
g) A área de A e é proporcional à medida
de x? Justifique.
y
30
20
x
–2 –1–1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
–2
10
d) Como varia y à medida que o valor de x
aumenta? O gráfico representa uma variação proporcional entre x e y? Justifique.
x
À medida que o valor de x aumenta, é possível observar que
0
o valor de y diminui. Trata-se de uma função decrescente. As
e) Indicando por A a área do retângulo do
item anterior, escreva-a em função de x.
10 11
5,5
variáveis y e x não são diretamente proporcionais nem inversamente proporcionais, pois não observamos uma constante
no quociente y .
x
5 6
Observando o gráfico construído, pode-se concluir que a
maior área será obtida para x entre 5 e 6, isto é, 5,5. Para essa
medida, os lados do retângulo devem ser iguais, ou seja, a
área máxima será a de um quadrado.
A = x u y = x(–x + 11) = –x2 + 11x
f) Preencha a tabela a seguir com os valores da área A para x variando de 0 a 11.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A
0
10 18 24 28 30 30 28 24 18 10
0
7. Um quadrado de lado x (x > 0) tem perímetro p e área A.
a) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de p e de x.
p = 4x
105
b) Expresse algebricamente a relação existente entre os valores de A e de x.
A = x2
L = –x2 + 12x – 20. (Observação: L > 0 significa lucro e L < 0, prejuízo).
y
17
c) Mostre que existe um valor de x para o
qual a área e o perímetro de um quadrado são expressos pelo mesmo número.
16
x2 = 4x, logo, x = 4
13
2
0
7
4
12
5
15
6
16
7
15
8
12
9
7
10
0
14
11
10
9
8
y
3
15
12
d) Esboce no mesmo sistema de coordenadas os gráficos de p e de A em função de x e localize o ponto encontrado
no item anterior.
x
7
6
y
5
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–2
4
3
2
1
–2 –1
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 x
Observe o gráfico e a tabela e, em seguida,
responda:
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a) Qual será o lucro caso eles decidam cobrar 4 reais por ingresso?
12 reais.
a
8. Um grupo de alunos da 8 série/
9o ano formou uma banda e precisa
determinar o preço x, em reais, do
ingresso para o show de apresentação. Eles
imaginaram que, se o valor do ingresso for
muito alto, não conseguirão vendê-lo e, se
for muito baixo, não obterão lucro, que seria investido na banda. Com base nos valores cobrados por outras bandas, os alunos
concluíram que o lucro L de cada espetáculo, em reais, poderia ser dado pela expressão
106
b) Se o preço do ingresso for superior a 6
reais, podemos afirmar que o grupo terá
prejuízo? Justifique.
Não, o grupo ainda terá lucro. Contudo, quanto mais próximo de 10 reais, o lucro diminui até que, nesse valor, ficará
zerado, e a partir dele o projeto apresenta prejuízo.
c) Para que intervalo de valores de x o lucro aumenta? E para qual ele diminui?
Até 6 reais ele aumenta. Entre 6 reais e 10 reais ele diminui.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
d) Qual é o valor do ingresso para o
maior lucro possível? Qual o valor do
lucro máximo?
O valor do ingresso para que o lucro seja máximo é 6 reais,
quando o lucro atingirá 16 reais.
e) O que acontece quando o valor dos ingressos é inferior a 2 reais ou superior a 10 reais?
Nesses intervalos, o projeto tem prejuízo.
f) O que ocorre com o lucro quando os ingressos são vendidos a 3 reais ou a 9 reais?
Com esses valores o lucro é o mesmo, isto é, 7 reais. Observa-se
que os valores encontram um eixo de simetria, paralelo ao eixo
y, que passa pelo ponto máximo da função em x = 6.
Considerações sobre a avaliação
Foram sugeridas algumas atividades que
permitem a construção de noções básicas
sobre funções lineares e quadráticas. Julgando possível, o professor pode aprofundar as
formas gerais de funções cujos gráficos são
retas, como y = mx + n, analisando crescimento, diminuição e coordenadas dos pontos
de intersecção nos eixos. Quanto às funções
quadráticas na forma y = ax2 + bx + c, o professor pode discutir os sentidos das concavidades com relação aos sinais do coeficiente
a e também as coordenadas dos pontos que
interceptam os eixos coordenados.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
Na Situação de Aprendizagem 1, caso alguns alunos demonstrem dificuldade para
compreender o significado dos conjuntos numéricos, recomendamos que se retome um
pouco da história dos números, mostrando
como esse tipo de representação evoluiu ao
longo da história em função das necessidades
do homem: o surgimento dos números naturais como uma forma de representar a contagem de objetos ou de marcar a passagem do
tempo; a necessidade de medida provocando
o surgimento dos números fracionários (racionais); o desenvolvimento do comércio e das
finanças, que demandou a utilização de números negativos para registrar dívidas etc.
Na Situação de Aprendizagem 2, o professor
poderá retomar os temas por meio de lista de
exercícios e, eventualmente, poderá propor que
os alunos façam um trabalho em grupo sobre
frações contínuas e aproximações de irracionais.
A Situação de Aprendizagem 3 permite
que o professor explore a recuperação com
atividades de desenho geométrico, já que parte significativa do trabalho nela apresentado
diz respeito às construções geométricas. Nesse
momento, o professor poderá utilizar uma lista de exercícios e solicitar que o aluno prepare
fichas-resumo com procedimentos elementares de construção, como o traçado da mediatriz de um segmento, o traçado da bissetriz de
um ângulo, construção de polígonos regulares
e, mais diretamente relacionado com a Situação de Aprendizagem, a construção de alguns
números reais.
107
Com relação à Situação de Aprendizagem 4, que trata da notação científica, alguns alunos poderão encontrar dificuldade
com algumas das operações. Caso isso ocorra, recomendamos que o professor retome os
princípios que fundamentam as propriedades
das operações com potências. Mais do que
enunciar a propriedade, é fundamental que o
professor contextualize e justifique essa propriedade, o que pode ser feito por meio de
exemplos simples, nos quais o aluno possa se
apoiar em seus conhecimentos prévios sobre
multiplicação e potências para compreender o
significado da propriedade. Por exemplo: uma
das propriedades afirma que, no produto de
potências de mesma base, mantém-se a base
e somam-se os expoentes. Podemos visualizar
essa propriedade em um exemplo numérico:
23 u 25 = 2 u 2 u 2
u
3 fatores 2
2 u 2 u 2 u 2 u 2 = 28
5 fatores 2
generalizando para os expoentes m e n, temos:
2m u 2n = 2 u 2 u 2
u
m fatores
2u2u2u2u2=
n fatores
2 u 2 u 2 u 2 u 2 ... = 2m + n
m + n fatores
Caso os alunos ainda apresentem duvidas quanto aos temas propostos na Situação
de Aprendizagem 5, sugerimos que o professor identifique se as dificuldades se referem a
108
pouco conhecimento de processos algébricos
ou geométricos e, ainda, se os produtos notáveis foram aplicados corretamente. No último
caso, sugerimos a realização de mais exercícios com o uso do material construído nesta
Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 6, caso o
professor perceba que os alunos enfrentam
dificuldades na compreensão e resolução das
equações trabalhadas, sugerimos a retomada
da fórmula de Bhaskara com atenção à identificação dos coeficientes e ao valor do discriminante. Pode-se também sugerir uma lista de
exercícios para aplicação da fórmula combinada com alguns problemas simples.
Se o professor considerar que os alunos
ainda apresentam um desempenho insatisfatório nos problemas abordados nas Situações
de Aprendizagem 7 e 8, sugerimos que sejam
exploradas outras situações semelhantes às
propostas ali. Muitas vezes, a representação
gráfica tende a ilustrar melhor os conceitos
trabalhados, permitindo ao aluno melhor
compreensão dos conceitos. Cabe ao professor apresentar a análise gráfica concomitantemente ou escolher as estratégias que já vem
adotando, quando tratar do tema.
Há uma série de problemas encontrados
em livros didáticos que permitirão sanar as dificuldades dos alunos em recuperação.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR
E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
AABOE, A. Episódios da história antiga da
Matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2000.
A autora explora uma série de situações
contextualizadas que envolvem tanto as funções lineares como as quadráticas.
ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e às
derivadas. São Paulo: Atual, 1994.
COSTA, R. O que é um número transcendente? Revista do Professor de Matemática, Rio
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, n. 1, 1982.
BESKIN, N. Fracções contínuas. Lisboa: Ulmeiro, 2001.
BOYER, Carl. História da Matemática. São
Paulo: Edgard Blücher, 1996.
Referência na abordagem histórica da
Matemática.
CARACA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. São Paulo: Gradiva,
1998.
A obra aborda a construção da Matemática na perspectiva de um desenvolvimento
lógico-histórico e particularmente rico em
fatos sobre a história e a didática no trato
das funções.
CARNEIRO, J. P. Q. Um processo finito para
a raiz quadrada. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matemática, n. 34, 1997.
CARVALHO, Maria Cecilia Costa e Silva.
Padrões numéricos e funções. São Paulo: Moderna, 1999.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas 5a série.
São Paulo: SE/CENP, 1994.
JAHN, A. P.; BONGIOVANNI, V. Revisitando os três problemas clássicos insolúveis da
Antiguidade. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, n. 66, 2008.
LIMA, Elon Lages. O que significa a igualdade 1/9 = 0,111...? Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira
de Matemática, n. 2, p. 6-9, 1983.
_____. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM,
2001. (Coleção do Professor de Matemática).
Contém uma abordagem bastante interessante sobre o estudo de equações, além de
uma pequena lista de situações-problema.
109
MOREIRA, C. G. Frações contínuas, representações de números e aproximações. Eureka, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, n. 3, 1998.
NIVEN, I. Números: racionais e irracionais.
Rio de janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta curricular para o ensino
de Matemática: 1o grau. 3. ed. São Paulo: SE/
CENP, 1992.
Site
Revista do Professor de Matemática
PERELMANN, J. Aprenda Álgebra brincando. São Paulo: Hemus, 2001.
SAGAN, C. Bilhões e bilhões: reflexões sobre
vida e morte na virada do milênio. São Paulo:
Companhia. das Letras, 2002.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Programa de Educação Continuada
(PEC). Apostila sobre funções. São Paulo: SE/
CENP, 2001.
110
Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática que apresenta artigos muito interessantes sobre o aprofundamento de conceitos
matemáticos propondo diferentes estratégias
de ensino.
Disponível em: <http://www.rpm.org.br>.
Acesso em: 2 set. 2013.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Volume, foram apresentadas diversas
situações com equações de 2o grau e a noção
de função, por meio de problemas envolvendo proporcionalidade. Foram sugeridas atividades que propiciam experiências educativas
bastante ricas e consideradas essenciais para
o desenvolvimento de competências relativas
a esse tema.
Convém ressaltar que as expectativas de
aprendizagem para este volume devem envolver
aspectos essenciais dos temas propostos: desenvolvimento de técnicas para a resolução de equações de 2o grau e estudo da variação de grandezas
proporcionais ou não proporcionais e construção
e análises de tabelas e gráficos, ou seja, foram considerados apenas os pontos fundamentais, isto é,
aqueles que possibilitam ao aluno ter uma base
para o desenvolvimento de outros temas correlatos, que serão desenvolvidos no Ensino Médio, e
para a resolução de problemas.
Mesmo assim, é possível que o professor julgue extenso o que foi previsto para este Volume.
No entanto, consideramos essa extensão “aparente”, pois é necessário compreender que cada
tema é apenas um meio, um instrumento para a
construção das competências básicas de leitura,
escrita, compreensão, argumentação, contextualização e problematização.
A grande preocupação não pode se resumir a “esgotar os conteúdos”, uma vez que tal
esgotamento nunca e possível, na prática, pois
o objetivo principal deve ser oferecer oportunidades para o crescimento pessoal de cada aluno,
por meio de um contato proveitoso com algumas das ideias fundamentais da Matemática.
Na avaliação, sugerimos aos colegas professores focar pontos que consideramos fundamentais.
f empregar uma abordagem qualitativa
(antes de resolver uma equação com
base na relação de coeficientes e raízes
ou procure fatorá-la);
f determinar as raízes das equações de
2o grau por meio de fatorações ou pela
fórmula de Baskhara;
f resolver problemas que podem ser traduzidos por meio de equações de 2o grau;
f identificar grandezas direta ou inversamente proporcionais e não proporcionais por meio de tabelas, gráficos e
expressões.;
f representar no plano cartesiano a interdependência de duas grandezas direta
ou inversamente proporcionais.
Além dessas habilidades específicas, que
estão relacionadas aos conteúdos estudados
neste volume, o professor deverá também observar as matrizes de avaliações externas e os
respectivos descritores relacionados aos temas
do volume. Resultados de avaliações como
111
Saresp e Prova Brasil, entre outras, podem
fornecer dados importantes sobre dificuldades
apresentadas pelos alunos.
A avaliação deve fornecer informações ao aluno sobre seu desenvolvimento a respeito de suas
capacidades em utilizar as noções aprendidas em
situações-problema. Por outro lado, a avaliação
deve fornecer ao professor dados sobre a aprendizagem de seus alunos, para a adequação das
situações apresentadas e a proposição de novas.
O professor deve ter clareza sobre os critérios da avaliação e das limitações e possibilidades dos instrumentos que vão ser
utilizados. Os instrumentos de avaliação
devem também contemplar as explicações,
112
justificativas e argumentações orais, uma
vez que revelam aspectos do raciocínio que,
muitas vezes, não ficam explícitos nas avaliações escritas.
Convém também observar que, além das
provas e dos trabalhos com exercícios – individuais e em grupo –, os assuntos deste volume
se prestam especialmente à realização de pequenos projetos de pesquisa histórica, como a
forma com que os hindus resolviam determinadas equações de 2o grau. Apresentamos, a
seguir, a grade curricular com os conteúdos de
Matemática de todas as séries/anos do Ensino
Fundamental. Os conteúdos de outros volumes relacionados com os apresentados aqui
estão em destaque.
Matemática – 8ª série/9º ano – Volume 1
QUADRO DE CONTEÚDOS DO
Volume 1
ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
5a série/6o ano
6a série/7o ano
7a série/8o ano
8a série/9o ano
NÚMEROS NATURAIS
– Múltiplos e divisores.
– Números primos.
– Operações básicas.
– Introdução às potências.
NÚMEROS NATURAIS
– Sistemas de numeração na
Antiguidade.
– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS RACIONAIS
– Transformação de
decimais finitos em fração.
– Dízimas periódicas e
fração geratriz.
NÚMEROS REAIS
– Conjuntos numéricos.
– Números irracionais.
– Potenciação e radiciação
em IR.
– Notação científica.
ÁLGEBRA
– Equações de 2o grau:
resolução e problemas.
– Noções básicas sobre
função; a ideia de
interdependência.
– Construção de tabelas e
gráficos para representar
funções de 1o e 2o graus.
FRAÇÕES
– Representação.
– Comparação e
ordenação.
– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS
– Representação.
– Transformação em
fração decimal.
– Operações.
Volume 2
SISTEMAS DE MEDIDA
– Comprimento, massa
e capacidade.
– Sistema métrico
decimal.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Formas planas e espaciais.
– Noção de perímetro e área
de figuras planas.
– Cálculo de área
por composição e
decomposição.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Leitura e construção de
gráficos e tabelas.
– Média aritmética.
– Problemas de contagem.
NÚMEROS INTEIROS
– Representação.
– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS
– Representação fracionária
e decimal.
– Operações com decimais
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Ângulos.
– Polígonos.
– Circunferência.
– Simetrias.
– Construções geométricas.
– Poliedros.
NÚMEROS/
PROPORCIONALIDADE
– Proporcionalidade direta
e inversa.
– Razões, proporções,
porcentagem.
– Razões constantes na
Geometria: .
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Gráficos de setores.
– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA
– Uso de letras para
representar um valor
desconhecido.
– Conceito de equação.
– Resolução de equações.
– Equações e problemas.
POTENCIAÇÃO
– Propriedades para
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– A linguagem das potências.
ÁLGEBRA
– Equivalências e
transformações de
expressões algébricas.
– Produtos notáveis.
– Fatoração algébrica.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES
– Equações de 1o grau.
– Sistemas de equações e
resolução de problemas.
– Inequações de 1o grau.
– Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e
aplicações.
– Área de polígonos.
– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS
– Proporcionalidade, noção
de semelhança.
– Relações métricas entre
triângulos retângulos.
– Razões trigonométricas.
– O número π; a
circunferência, o círculo
e suas partes; área do
círculo.
– Volume e área do
cilindro.
TRATAMENTO DA
INFORMAÇÃO
– Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
113
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
Smelq Cristina de 9lbmimerime :oeÅe
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro,
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley
Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares
Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda
Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro
Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende
Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara
Santana da Silva Alves.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
BomÅm, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato
José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene
Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves
Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M.
de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz,
Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina
Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda
Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso,
Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar
Alexandre Formici, Selma Rodrigues e
Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis
Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi,
Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia,
Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima,
Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan
Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes
Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello,
Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina
Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi,
Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio
de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline
de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto
Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson
Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula
Vieira Costa, André Henrique GhelÅ RuÅno,
Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes
M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio
Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael
Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila
Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S.
Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura
C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko
S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M.
Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson
Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio
Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio
Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza,
Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez,
Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos,
Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de
Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório,
Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato
e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos
Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete
Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina
de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso
Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana
Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de
Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo,
Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria
Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves,
Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e
Tânia Fetchir.
Apoio:
Fundação para o Desenvolvimento da Educação
- FDE
CTP, Impressão e acabamento
Log Print GráÅca e Logística S. A.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO
EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva
Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva
Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS
À EDUCAÇÃO
Direção da Área
Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto
Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial
Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos
Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina
Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina
H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão,
Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento,
Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier,
Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro
Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb
Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo,
Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula
Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro
Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella
Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e
Tiago Jonas de Almeida.
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS
CONTEÚDOS ORIGINAIS
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO
DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS
CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS
CADERNOS DOS ALUNOS
Ghisleine Trigo Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
CONCEPÇÃO
Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo,
Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini
coordenadora! e Ruy Berger em memória!.
AUTORES
Linguagens
Coordenador de área: Alice Vieira.
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami
Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana
Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti,
Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges,
Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini
Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles
Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel
Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues
Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia
González.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João
Henrique Nogueira Mateos.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da PuriÅcação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca
Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana
Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida
Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e
Vanessa Leite Rios.
Matemática
Coordenador de área: Nílson José Machado.
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz
Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério
Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e
Walter Spinelli.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza
Design GráÅco e Occy Design projeto gráÅco!.
Ciências Humanas
Coordenador de área: Paulo Miceli.
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são
indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados
e como referências bibliográficas. Todos esses endereços
eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é
um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites
indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de
terceiros e mantêm as características dos originais, no que
diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos
elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no
Caderno do Professor para apoiar na identificação das
atividades.
S2+9m
São Paulo Estado! Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática,
ensino fundamental ¹ anos Ånais, 0a série/9o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral,
Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson
José Machado, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo, Walter
Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.
v. 1, 120 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino
Médio e Educação ProÅssional ¹ CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 970-0--7049--.1-9
1. Ensino fundamental anos Ånais 2. Matemática +. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II.
Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés,
Roberto Perides. VI. Fonseca, Rogério Ferreira da. VII. Pietropaolo, Ruy César. VIII. Spinelli, Walter. IX. Título.
CDU: +71.+:00..90
Validade: 2014 – 2017