Problema restrito dos 3
corpos
Ana Knopfli
2º ano \ LMAC
Seminário Diagonal
18/5/2004
1. Equações Diferenciais
• Uma equação diferencial é da forma


f t, x, x, x,...,x(n)  0
(1)
em que x = x(t) é função de uma variável real t e em que todas as suas
derivadas x(i) são também calculadas em t.
Exemplo:
f x, x  0 
dx
 x  0  x  x  0
dt
1. Equações Diferenciais
A equação (1) é de n-ésima ordem porque n é a maior ordem de derivação.
→ Neste caso, resolver a equação equivale a resolver um sistema de n
equações de 1ª ordem.
→ Espaço de fase n-dimensional, com coordenadas x1,…,xn.
Exemplo: Equação de um oscilador simples (2ª ordem)
 x  y
x   x  0  
2

y



x

2
Sistema de eqs. de 1º ordem
1. Equações Diferenciais
• Condições Iniciais
Normalmente, a maioria das equações diferenciais tem um
conjunto de soluções com infinitos elementos.
x  f ( x, t)
, x 0 , t 0ctes

x ( t 0 )  x 0
x  (1  t)x  1  3t  t 2
2. Movimento de n corpos
•F=m.a
Gm1m 2
•F 
r2


d2 r
1  
dr

(
t
)

F
r
(
t
),
(
t
),
t

dt 2
m 
dt

• n corpos de massas m1, …, mn
• 3 dimensões
→ 3n equações de 2ª ordem
→ 6n equações de 1ª ordem


d2 r1
m1mi  
m


  3 ( ri  r1 )
 1
2
dt
i 1
ri  r1


2
d
r2
m 2m i  
m 2


  3 ( ri  r2 )
2

dt
i 1
ri  r2


...


d2 rN
mNmi  

mN

  3 ( ri  rN )
2
dt
i N ri  rN


2. Movimento de n corpos

r1 


r 
2

•n=2
 
m2
(
  3 r2  r1 )
r2  r1
 
m1
(
  3 r1  r2 )
r1  r2
• Multiplicando as eqs. por m1 e por m2 e somando-as obtém-se:

 


m1r1  m2 r2  0
• Primitivando…


 
m1r1  m2 r2  P  (m1  m2 )V



  
m1r1  m2 r2  Pt  Q  (m1  m2 )Vt  (m1  m2 )X
2. Movimento de n corpos
  

 1  r1  Vt  X
   

  2  r2  Vt  X

 
1 


 
 2

 
m2
(

  3 2  1 )
 2  1
 
m1
(

  3 1  2 )
1   2

m11  m2 2  0



m1 
1  
2
m2
 m1  
1 
  2 
3
 m1   3  m2 
1 
  2
m
2 


m1
M 




2
 3 2
2
2
 m1   3
1 
  2
 m2 

2  
m1
Movimento em torno
de um corpo de
massa M na origem
2. Movimento de n corpos
m1

1

2
1
m2 = m1
L
2. Movimento de n corpos
Há conservação de:
v
• Energia
r
1  2 M
E r  
2
r
M
• Momento Angular
  
L  r  r
• Vector de Laplace
   M 
A  r L  r
r
L2
A
 1  cos
Mr
M
A órbita encontra-se num plano.
 2
A.r  L  Mr
Equação de uma cónica
A
2. Movimento de n corpos
• Para n = 3 já podem surgir movimentos bastante
complexos…
• Um modo de obter soluções aproximadas é através de
métodos computacionais:
• Método de Euler
• Método de Runge-Kutta
x  f (t, x)
x(t )
x(t  t )  x(t)  t.f (t, x(t ))
→ Problema Restrito dos 3 corpos
3. Problema restrito dos 3 corpos
• Dois corpos movem-se em torno do seu centro de
massa, com órbitas circulares.
• Um terceiro corpo que não influencia o movimento
dos dois anteriores, mas que é atraído por eles,
move-se no plano definido pelos mesmos.
•2 equações de 2ª ordem → sistema de 4 equações
de 1ª ordem.
→ sistema em R4, com variáveis
• Como a energia é conservada:
 x, y
 
 x, y
1
1
m m
E  (x 2  y 2 )  ( x 2  y 2 )  1  2
2
2
r1
r2
podemos considerar á órbita numa hipersuperfície de
3 dimensões.
3. Problema restrito dos 3 corpos
→ Secção de Poincaré
3. Problema restrito dos 3 corpos
FIM