Profª Débora Bastos
Recapitulação
 Interpretação geométrica da derivada: f’(c) = tg  ,
desde que  seja o ângulo da reta tangente à f em x=c.
 P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe.
 Se f é continua e derivável em [a,b] contendo c, então
existe máximo absoluto e mínimo absoluto em [a,b]
entre os pontos críticos encontrados e os extremos do
intervalo.
Teoremas importantes.
 Teorema 3 (Teorema do valor médio): Seja f uma função
tal que:
(i) Seja contínua num intervalo fechado [a,b];
(ii) Seja derivável no intervalo (a,b).
Então existirá um número c no intervalo aberto (a,b) tal
que: f ' (c )  f (b)  f (a)
ba
Interpretação geométrica
P(a,f(a)), Q(b,f(b))  s
R(c,f(c))  t
Existe c para que a reta t nesse ponto
Tem a mesma inclinação da reta s.
Exemplo
 Verifique o TVM para f(x) = x-1 , x  [2,3]
f é contínua em lR*  contínua em [2,3]
f é derivável em lR*  contínua em [2,3]
f´(x)=  x-2
f(2) = ½
f(3) = 1/3
f (3)  f (2)
1

32
6

1
c2
1

6
f ' (c )  
c2  6
c 6
1
c2
 Teorema 4: (Teorema de Rolle) Seja f uma função tal
que:
(i) Contínua em [a,b]
(ii) Derivável em (a,b)
(iii) f(a)=f(b)=0
Então existe um número c em (a,b), tal que f’(c) = 0.
 Caso particular do TVM: Existe c tal que
f ' (c ) 
f (b)  f (a)
00

0
ba
ba
 O TR afirma que f que satisfaz as condições
necessárias possui ao menos um ponto extremo
entre as raízes da função (x / f(x) = 0).
O TR garante a existência e não a
unicidade.
 Exemplos:
 Importante satisfazer as condições
do teorema: O gráfico ao lado não é
Contínua e não possui ponto de máximo.
Funções Crescentes e
Decrescentes.
 Definição 6: Dizemos que uma
função f, definida num intervalo I,
é crescente neste intervalo se para
quaisquer x1, x2  I, x1 < x2, temos
f(x1) < f(x2)
 Definição 7: Dizemos que uma
função f, definida num intervalo I,
é crescente neste intervalo se para
quaisquer x1, x2  I, x1 < x2, temos
f(x1) > f(x2)
Observação
 Assim como os pontos extremos, reconhecer os
intervalos em que uma função é crescente ou
decrescente é fácil, desde que o gráfico esteja bem
feito.
 Nosso trabalho é através apenas da lei da função
descobrir quando isso acontece com fim de esboçar o
gráfico dessa função.
 Servirá também para diferenciar um ponto de máximo
de um ponto de mínimo, ou se não há pontos
extremos.
Pontos extremos e crescimento
 Não importa a característica do gráfico se um ponto
P(c,f(c)) é de máximo local, este um intervalo (a,b) em
que f é crescente para a < x < c e f é decrescente para
c < x <b.
 De forma análoga, se o ponto P(c,f(c)) é ponto de
mínimo local existe intervalo aberto (a,b) em que f é
decrescente para a < x < c e é crescente para c < x < b.
Critério para determinar o tipo de
crescimento.
* Função crescente
#Função Decrescente
*Se f é crescente em (a,b) as retas tangentes à função em
(a,b) formam um ângulo agudo com o eixo ox (0 <<900)
#Se f é decrescente em (a,b) as retas tangentes à função em
(a,b) formam um ângulo obtuso com o eixo ox
(900<<1800)
Para 0 <<900 tem-se tg > 0 (positiva)
Para 900<<1800 tem-se tg  < 0 (negativa)
Pela interpretação geométrica da derivada temos:
f´(x) > 0 para x  (a,b)
f´(x) < 0 para x  (a,b)
 Teorema 5: Seja f uma função contínua no intervalo
fechado [a,b] derivável no intervalo (a,b).
(i) Se f’(x) > 0 para todo x  (a,b), então f é crescente
em [a,b]
(ii) Se f’(x) < 0 para todo x  (a,b), então f é decrescente
em [a,b]
Obs.: O TVM faz parte da demonstração desse teorema.
Exemplo: Dada f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1, ache os extremos
relativos de f, determine os intervalos em que f é
crescente ou decrescente. Com essas informações
faça o esboço do gráfico.
Exemplo
 Obs.: A derivada primeira de f tanto determina os
pontos críticos quanto influi no estudo do
crescimento.
 Solução: A função f é polinomial, ou seja, contínua e
derivável em todo seu domínio.
 f´(x) = 3x2 – 12x + 9
 Pontos criticos x = 1 e x =3
 P(1,5) é de máximo e Q(3,1) é de mínimo
 Exemplo: Faça o mesmo para:
f (x)  x
4
3
 4x
1
3
 f é contínua e derivável em lR
f ' ( x )  34 x
1
3
 34 x
2
3
 f‘(x) não é derivável em x = 0.
 f’(x) = 0  x = - 1
 Estudo do sinal da derivada
 P(-1, -3) é de mínimo local
 Q(0,0) não é extremo

3
3
f ( x)  x x  4 x
Concavidade e pontos de Inflexão
y
C
D
A
x
B
 Concavidade para baixo: x < 0 ou x > xd
 Concavidade para cima: 0 < x < xd
 Pontos de inflexão: O (0,0) , D
 Definição 8: O gráfico de uma função f
será côncavo para cima no ponto (c,f(c))
se f’(c) existir e se houver um intervalo
aberto I, contendo c, tal que para todos
os valores de x  c em I, o ponto (x,f(x))
do gráfico estará acima da reta tangente
ao gráfico em (c,f(c)).
 Definição 9: O gráfico de uma função f
será côncavo para baixo no ponto (c,f(c))
se f’(c) existir e se houver um intervalo
aberto I, contendo c, tal que para todos
os valores de x  c em I, o ponto (x,f(x))
do gráfico estará abaixo da reta tangente
ao gráfico em (c,f(c)).
Interpretação Geométrica
 f’(c) representa o valor da inclinação tg da reta
tangente à f em x = c.
f é côncava para cima
ângulo obtuso  ângulo agudos
tg < 0  tg > 0
valores crescentes  f’(x) é crescente quando o gráfico é
côncavo para cima.
 f côncavo para baixo
ângulo obtuso  ângulo agudos
tg > 0  tg < 0
valores decrescentes  f’(x) é decrescente quando o
gráfico é côncavo para cima.
 Devemos investigar o sinal de f’(x) onde é crescente e
decrescente, mas isso é feito derivando f’(x), ou seja, o
que determinará a concavidade é f’’(x).
 Teorema 6: Seja f uma função diferenciável em algum
intervalo aberto contendo c. Então:
(i) Se f’’(c) > 0 , o gráfico de f é côncavo para cima em
(c,f(c)).
(ii) Se f’’(c) < 0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em
(c,f(c)).
Exemplo: Determine os intervalos do domínio em que a
função f (x)  x3 x  43 x é côncava para cima ou
côncava para baixo.
 Se um ponto (c,f(c)) é de máximo relativo ele está
localizado num intervalo onde o gráfico da função é
côncavo para baixo, portanto f’’(c) < 0. Já se um ponto
(c,f(c)) é de mínimo relativo ele está localizado num
intervalo onde o gráfico da função é côncavo para cima,
portanto f’’(c) > 0. (Chamamos de teste da derivada
segunda)
 Exemplo: Determine os pontos extremos da função
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1
 f ’(x) = 3x2 – 12x + 9
extremos x = 1 ou x = 3
 f” (x) = 6x – 12
 f” (1)<0
 x = 1 é ponto de máximo local
 f” (3)>0  x = 3 é ponto de mínimo local
 Definição 10: O ponto (c,f(c)) será um ponto de
inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele
uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I
contendo c, tal que, se x estiver em I, então:
(i) se o gráfico de f for côncavo para cima para x < c e
côncavo para baixo em x > c ou
(ii) se o gráfico de f for côncavo para baixo para x < c e
côncavo para cima em x > c.
Exemplo: Para a função f (x)  x3 x  43 x
temos dois pontos de inflexão:
em x = 0 e em x = 2
 Teorema 7: Se a função f for derivável em algum
intervalo contendo c e se (c,f(c)) for um ponto de
inflexão do gráfico de f, então se f’’(c) existe, f’’(c)=0.
 obs.: A recíproca não é verdadeira, ou seja, se f’’(c) = 0,
não quer dizer que (c,f(c)) é um ponto de inflexão.
 Exemplo: f(x) = x4
 f ’(x) = 4x3
 f ”(x) = 12x2
 f ”(x) = 0  x = 0, mas
 x = 0 é um ponto de mínimo local.