MATEMÁTICA I
AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada
na construção de gráficos de funções. Alguns requisitos necessários à
construção de gráficos, já foram apresentados em tópicos de aulas
anteriores; além desses requisitos, neste tópico serão introduzidos os
conceitos de convexidade, concavidade e ponto de inflexão que constituem
informações indispensáveis para traçar gráficos de funções.
Serão introduzidos também os conceitos de assíntotas vertical e
horizontal, que auxiliam a esboçar com mais precisão os gráficos de um
grupo amplo de funções. O tópico é finalizado com as construções dos
gráficos das funções seno e co-seno, que foram apresentados no tópico 2
da aula 02, sem nenhuma justificativa. O esboço de gráficos será
necessário a vários assuntos que serão tratados posteriormente, de
imediato podem ser citados os cálculos de área e volume a serem vistos no
próximo módulo.
Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado [a,b] e
suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte.
OBSERVAÇÃO
Quando o ponto P(x,y) se desloca sobre a curva C, a reta tangente a C
em P varia continuamente de posição, assim: a reta tangente está acima de
algum arco de C em torno de P, como nas partes do gráfico entre A e Q1
e entre Q2 e B; a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de
P, como na parte do gráfico entre Q1 e Q2; e nos pontos de transição, onde
a reta tangente muda de cima para baixo (ou de baixo para cima) de C
localmente, ela secciona C, como nos pontos Q1 e Q2.
Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um
intervalo aberto I, têm-se os seguintes conceitos: se para todo ponto P de S, a
reta tangente a S em P está abaixo de S, diz-se que o gráfico de f é
CONVEXO em I (ou ainda, que a função f é convexa em I); se para todo
ponto P de S, a reta tangente a S em P está acima de S, diz-se que o
gráfico de f é CÔNCAVO em I (ou que a função f é côncava em I); e o
ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou vice-versa,
chama-se um PONTO DE INFLEXÃO. Uma função f é dita CONVEXA ou
CÔNCAVA,
quando o gráfico de f é convexo ou côncavo no seu domínio,
respectivamente.
O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico
de uma função, podem ser previamente identificadas a partir do sinal da
derivada segunda da função.
TEOREMA 1. Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto I,
então o gráfico de f é:
(a) Convexo em I, se
para todo
(b) Côncavo em I, se
para todo
DEMONSTRAÇÃO
• Seja S a parte do gráfico de f correspondente ao intervalo I.
Considere
e a reta tangente a S no ponto
Considere
ainda,
um ponto de S com
e
o ponto
correspondente da reta tangente. Então, para concluir a
demonstração, basta provar que Q está abaixo de P, ou seja, a
diferença
é maior que zero.
•A fórmula de Taylor para f em torno de xo com n = 1 - (Clique
aqui para abrir)
Se n = 1 a fórmula de Taylor para f em torno de X0 ,fica
assim
e
O gráfico de P1 é a reta tangente ao
gráfico de f em
aproximação de f(x) por p1(x).
é o erro cometido na
(dada no tópico 2 da aula 06) é
onde c está entre x0 e x, e
é a equação da
reta tangente ao gráfico de f em
se
.Assim, fazendo x=1 tem-
por outro lado, como p1(u)=yu , obtém
-se
se
• Sendo f"(c)>0 pois (por hipótese) f"(x)>0 para todo x em I, temO que conclui a demonstração da parte (a) do
teorema.
A demonstração da parte (b) do teorema é análoga a da parte (a) e
está proposta no exercício 54 do exercitando deste tópico.
Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira,
conforme o exercício 55 do exercitando deste tópico. São comuns as
definições de convexidade e concavidade num ponto (invés de num
intervalo) de acordo com o teorema 1, isto é, diz-se que o gráfico de f é
convexo no ponto (a,f(a) se f"(a)> 0 e côncavo no ponto (a,f(a)) se f"(a)
< 0.
O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de
c, onde uma função f tal que f" é contínua em c, tem um ponto de inflexão.
TEOREMA 2.
Seja f uma função tal que f" existe num intervalo aberto contendo c e é
contínua em c. Se (c,f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2
• Suponha que
, então sendo f" contínua em c, tem-se
assim (veja corolário 1 do teorema 5 do texto
complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03) ou clique aqui
par abrir existe um intervalo aberto I contendo c tal que
todo
ou
para todo
, conforme
para
ou
,
respectivamente. Logo, pelo teorema 1, em I o gráfico de f é somente
côncavo ou apenas convexo, assim (c,f(c)) não pode ser ponto de
inflexão. Isto mostra que com as hipóteses do teorema, (c,f(c)) só pode
ser ponto de inflexão se
(a)
implica que f(x) > 0;
(b) Se
implica que f(x) < 0.
OBSERVAÇÕES
a) A recíproca do teorema 2, em geral, não é verdadeira, por
exemplo: se
então
portanto
e x = 1 mas (1,0) não é ponto de inflexão do gráfico de f, pois (1,0) não
separa partes convexa e côncava do gráfico de f.
b) O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num
valor onde a derivada segunda da função não existe, por exemplo: se
assim g"(x) não existe se x = 0 ; além
disso, o gráfico de g é convexo em
para x < 0
e côncavo em
pois
para x > 0, portanto (0,0) é ponto de
inflexão do gráfico de g.
c) Assim, pode-se concluir do teorema 2 e do comentário anterior:
os possíveis valores de c tais que (c,f(c)) é ponto de inflexão do gráfico
de uma função f, são os valores onde f"(c) é igual à zero ou não existe;
além disso estes são os valores que determinam os intervalos onde o
gráfico de f pode ser convexo ou côncavo.
OBSERVAÇÃO
As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do
gráfico da função, tais como: os intervalos de crescimento e
decrescimento, localização dos pontos extremos, os intervalos em que o
gráfico é convexo ou côncavo e os pontos de inflexão. O exemplo seguinte
ilustra como esboçar o gráfico de uma função a partir de tais informações,
onde o item (a) justifica o modelo da parábola cúbica (vá à seção
MATERIAL DE APOIO do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ou clique
aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)
quando a > 0 ; se a < 0 a justificativa do modelo está sugerida no exemplo
proposto 1(a) a seguir.
EXEMPLO RESOLVIDO 1.
Fazer o gráfico da função dada:
SOLUÇÃO DO EXEMPLO RESOLVIDO 1.
A
Tem-se
logo f'(x) = 0 se x = b. Sendo
obtém-se
se x = b. A reta indicada na figura e
representando o domínio de f (que é o conjunto dos números reais),
foi dividida considerando o valor b, nas partes resultantes da divisão
que representam os intervalos
e
acima aparecem os
sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de
f.
Assim, conclui-se:
(1) f é crescente no seu domínio;
(2) O gráfico de f é convexo em
e côncavo em
,ou
seja, (b,c) é ponto de inflexão do gráfico de f;
(3) O gráfico é simétrico em relação à (b,c) conforme exercício 29
do exercitando do tópico 2 da aula 02.
Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico
de f conforme o modelo estabelecido.
B
logo
• Tem-se
se x = -1 e x
= 1.
Como
obtém-se
se x = o. A reta seguinte,
representando o domínio de g, foi dividida considerando os valores -1,
0 e 1, nas partes resultantes da divisão, acima aparecem os sinais da
derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de g.
Assim concluí-se;
(1) A função g é crescente nos intervalos
e
e
decrescente em (-1,1). Logo g(-1)=4 é máximo local g(1)=0 é mínimo
local ;
(2) O gráfico de g é côncavo em
Assim (0,2) é ponto de inflexão do gráfico de g.
e convexo em
Com base nestas conclusões, faz-se o gráfico de g, que está na
figura a seguir.
C
• Sendo
• logo
tem-se
= 0 se x+2 = 0, isto é, se x=-2 e
não existe se
ou seja, se x = o. Como
obtém-se
=0 se x = 1 e
não existe se x = 0.
• A reta seguinte, representando do domínio de h, foi dividida
pelos valores -2, 0 e 1 , nas partes resultantes da divisão estão
indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente nos intervalos
em (-2,0). Logo
e decrescente
é máximo local h(0) = 0 é mínimo local;
(2) O gráfico de h é côncavo em
e (0,1) é convexo em
Dái apenas (1,6) é ponto de inflexão do gráfico de h.
Considerando as informações, faz-se o gráfico de h, que está na
figura à seguir.
EXEMPLO PROPOSTO 1
Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas
figuras:
A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções, pode
ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções. Antes é necessário
introduzir alguns conceitos.
ASSÍNTOTA VERTICAL
A reta x = c é uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de uma
função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica:
As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f,
para x próximo de c, na primeira
na
segunda se
e
ASSÍNTOTA HORIZONTAL
A reta y = L é uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de uma
função f, se pelo menos uma das seguintes condições se verifica:
As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f,
relativamente à reta y = L, a primeira se
e na segunda
se
a primeira situação, refere-se quando
através de valores menores do que L e a segunda é quando
através de valores maiores que L.
O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente
vertical ou horizontal, conforme está definida no enunciado dos exercícios 50
e 51 do exercitando deste tópico.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Fazer o gráfico da função dada:
SOLUÇÃO
A
• Tem-se
assim f'(x) não existe para x = 0. Como
obtém - se que f"(x) não existe para x = 0. A reta seguinte
foi dividida considerando o valor 0, nas partes resultantes da divisão,
acima aparece o sinal da derivada primeira e abaixo os sinais da
derivada segunda de f.
Assim conclui-se
(1) f é decrescente no seu domínio;
(2) O gráfico de f é côncavo em
e convexo em
O
gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero, pois f não está definida
nesse valor;
(3) A reta x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f, pois (por
exemplo)
a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico
de
f,
pois
(4) Como
(por
para todo
exemplo)
o gráfico de f é simétrico
em relação à origem.
Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do gráfico
de f que foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 1 da
aula 02. Observe que devido à simetria do gráfico em relação à origem,
bastaria analisar a função para x > 0.
B
Sendo
obtém-se
logo, g'(x) = 0 para x = 0 e g' (x) não existe para
tem - se que
.Como
para todo x e g"(x) não existe para
Observe que g não está definida para
A reta seguinte foi
dividida pelos valores -2, 0 e 2,nas partes resultantes da divisão estão
indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g.
Logo, têm-se as seguintes informações:
(1) g é crescente em
Assim
e (-2,0) e decrescente em (0,2) e
é máximo local;
(2) O gráfico de g é côncavo em (-2,2) e convexo em
e
O gráfico não tem ponto de inflexão em -2 e 2, pois g não está
definida nestes valores;
(3) O gráfico de g não intercepta o eixo X, pois
para todo
x. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais do gráfico, pois (por
exemplo)
e
; y = 0 é assíntota horizontal do
gráfico,
pois
(4) Sendo
Acha-se
ainda
para todo x no domínio de f, o gráfico é
simétrico em relação ao eixo Y.
Considerando as informações obtidas, faz-se o gráfico de g, que
está na figura a seguir.
Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo Y,
bastaria analisar a função para
C
Sendo
logo
tem-se
para x = -1 e h'(x) não existe para x = 1. Como
obtém-se
=0 se x = -2 e h"(x) não existe se x = 1. Observe que
h não está definida para x = 1. A reta seguinte foi dividida pelos valores
-2, -1 e 1, nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais
das derivadas primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente em (-1,1) e decrescente em
Logo,
e
é mínimo local;
(2) O gráfico de h é côncavo em
Daí
e convexo em (-2,1) e
é ponto de inflexão do gráfico de h;
(3) O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h(0) = 0, a reta x
= 1 é assíntota vertical do gráfico pois
e y = 0 é
assíntota horizontal do gráfico pois
Tem-se
ainda
Considerando estas informações, faz-se o gráfico de h, que está na
figura a seguir.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Se
verificar que o gráfico de f está na figura a seguir.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Fazer os gráficos das seguintes funções:
a)
b)
c)
se
Solução.
A
O domínio da função seno é o conjunto dos números reais, pois
todo número real x é possível na equação
Como o seno tem
período igual a
(isto é,
para todo x), cada
intervalo de comprimento igual a
antes de 0 e a partir de
mesma parte do gráfico que for obtida com
, dá a
assim, para
obter o gráfico da função seno, basta ter a parte do gráfico
correspondente a
e o restante é encontrado através da
periodicidade.
Considerando
e
tem-se
se
se x = 0,
O segmento de 0 a
em seguida, foi dividido considerando os valores que anulam as
derivadas primeira e segunda do seno e nas partes resultantes da
divisão estão indicados os sinais de tais derivadas.
Assim conclui-se
(1) O seno é crescente nos intervalos
em
e
, e decrescente
;
(2) O gráfico do seno é côncavo em
Considerando as informações obtidas, tem-se a justificativa do
gráfico da função seno - (Clique aqui para abrir) , conforme foi
apresentado no tópico 2 da aula 02.
Seja x uma variável real, onde x representa a medida em
radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na
origem a partir do ponto (1,0) então as funções seno e co-seno
são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x.
Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os
respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo
resolvido 3) os gráficos serão justificados.
B
A função co-seno tem o mesmo domínio e período de função seno,
assim para obter o gráfico da função co-seno, basta ter a parte do
gráfico correspondente a
o restante é encontrado através
da
periodicidade.
Considerando
se x = 0, x =
ex=
O segmento de 0 a
tem-se
,e
se
a seguir, foi dividido
considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda
da função co-seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados
os sinais de tais derivadas.
Assim conclui-se
(1)
O
co-seno
é
decrescente
(2) O gráfico do co-seno é côncavo em
e
no
intervalo
, e convexo em
.
Considerando as informações obtidas, tem-se o gráfico da função
co-seno, conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02.
Seja x uma variável real, onde x representa a medida em
radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na
origem a partir do ponto (1,0) então as funções SENO e CO-SENO
são definidas, respectivamente, pelas equações y=sen x e y=cos x.
Os gráficos destas funções, estão nas figuras a seguir com os
respectivos domínios e imagens. No tópico 1 da aula 09 (exemplo
resolvido 3) os gráficos serão justificados.
C
Sendo
assim o gráfico de h
é simétrico em relação à origem, logo basta analisar a função h em
a simetria pode ser usada. Como
, tem
-se
em
em
para x = 0 e
para
seguir, foi dividido por
. Sendo
, obtém-se
. O segmento de 0 a
a
e nas partes resultantes da divisão estão
indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente em
(2) O gráfico é convexo em
é ponto de inflexão do gráfico.
Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico em
relação à origem, faz o gráfico de h, que está na figura a seguir.
EXEMPLO PROPOSTO 3.
Sendo
e
verificar que o gráfico de f está na
figura a seguir.
LEITURA COMPLEMENTAR
Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do
ambiente SOLAR e baixe o arquivo PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ou
clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.).
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo
EXERCITANDO(AULA07_TOP2).DOC para resolver o exercitando ou
clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 2, 7 e 42 do exercitando são as
respectivas QUESTÕES 3 ATÉ 5 do trabalho desta aula a ser postado no
PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente Solar. É exigido que o trabalho
desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA
do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc ou docx) ou
manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual