Prof. Volney - 2008 03 15 – Concavidade e pontos de inflexão- Aula04
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Concavidade e pontos de inflexão (p241)
O conceito de concavidade é muito útil no esboço de uma curva. Analisando
geometricamente a figura 1, e figura 2 observamos que dada um ponto qualquer c no intervalo (a,b)
o gráfico de f esta acima da tangente à curva no ponto P(c,f(c)). Dizemos que a curva tem
concavidade voltada para cima no intervalo (a,b). Geometricamente, isto significa que a reta
tangente gira no sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a
direita.
y
y
y = f(x)
y = f(x)
P
c
a
b
x
a
Figura 1
b
x
Figura 2
Na figura 3 e 4 descrevemos uma função que tem concavidade voltada para baixo no
intervalo (a,b). Neste caso vemos que a tangente gira no sentido horário quando deslocamos sobre a
curva da esquerda para a direita.
y
y
P
a
c
y = f(x)
y = f(x)
b
x
a
Figura 3
b
Figura 4
Observando as figuras podemos propor as seguintes definições:
Definição 1:
Uma função f é dita côncova para cima no intervalo (a,b) se f´(x) é crescente neste intervalo.
Definição 2:
Uma função f é dita côncova para baixo no intervalo (a,b) se f´(x) é decrescente neste intervalo.
Podemos determinar a concavidade de uma curva analisando o sinal da derivada segunda f´´(x).
x
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Teorema:
Seja f uma função diferenciavel até segunda ordem em algum intervalo aberto contendo c. Então:
(i) se f ´´(c) > 0 , o gráfico de f é côncavo para cima em (c, f (c)) ;
(ii) se f ´´(c) < 0 , o gráfico de f é côncavo para baixo em (c, f (c)) .
Ponto de inflexão
Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda de sentido.
Esses pontos são chamados pontos de inflexão.
Definição:
O ponto (c, f (c)) será um ponto de inflexão do gráfico da função f se o gráfico tiver nele
uma reta tangente e se existir um intervalo aberto I contendo c, tal que se x estiver em I, então:
(i) f ´´(x) < 0 se x < c e f ´´(x) > 0 se x > c , ou
(ii) f ´´(x) > 0 se x < c e f ´´(x) < 0 se x > c .
Teorema:
Se a função f for derivável em algum intervalo aberto contendo c e se (c, f (c)) for um ponto
de inflexão do gráfico de f, então f ´´(c) = 0 ou f ´´(c) não existe.
Exemplos:
1) Dada a função f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 .
Ache o ponto de inflexão do gráfico de f.
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da tangente no ponto de inflexão.
Solução:
f ´(x) = 3 x 2 − 12 x + 9
f ´´(x) = 6 x − 12
f ´´(x ) existe para todos os valores de x; sendo assim o único ponto de inflexão possível é onde
f ´´(x) = 0 .
f ´´(x) = 6 x − 12 = 0
12
x=
⇒x=2
6
Conclusão
f (x) f ´(x) f ´´(x )
Côncavo para baixo
x<2
3
-3
0
Ponto de inflexão
x=2
+
Côncavo para cima
x>2
Observando o esboço do gráfico, verificamos que a função tem um valor máximo relativo em 1 e
um valor mínimo relativo em 3.
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3
4
2
1
2
3
1
2) Dada à função f ( x ) = x 3 .
Ache o ponto de inflexão do gráfico de f.
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Faça um esboço do gráfico.
Solução:
1 1
−2
f ´(x) = 12 x 3 = ⋅
2 3 x2
2 1
−5
f ´´(x) = − 92 x 3 = − ⋅
9 3 x5
Conclusão
f ´(x)
f ´´(x )
+
+
f é crescente e côncava para cima
não existe não existe
Ponto de inflexão
+
f é crescente côncava para baixo
f (x)
x<0
x=0
x>0
0
Na figura mostramos que o eixo y é a reta tangente ao gráfico da função em (0,0) e um ponto de
inflexão. A concavidade do gráfico é determinada pelo sinal de f ´´(x) .
1
-2
2
-1
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Teste da derivada segunda para extremos relativos
Teorema
Seja c um número critico de uma função f, no qual f ´(c) = 0 e suponhamos que f ´ exista para
todos os valores de x em algum intervalo aberto contendo c. Se f ´´(c) existe e:
i) Se f ´´(c) < 0 , então f tem um valor máximo relativo em c;
ii) Se f ´´(c) > 0 , então f tem um valor mínimo relativo em c;
Exemplo:
1) Dada à função f ( x) = x 4 + 43 x 3 − 4 x 2 :
Ache os máximos e mínimos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda;
Faça um esboço gráfico de f.
Solução:
Calculando as derivadas primeira e segunda de f.
f ´( x) = 4 x 3 + 4 x 2 − 8 x
f ´´(x) = 12 x 2 + 8 x − 8
Equacionando f ´( x) = 0 temos:
−32) = 0
f ´(x) = 4 x( 1
x 24+2x4
=0
x = 0

f ´(x) = 4 x( x + 2)( x − 1) = 0 ⇒  x = −2
x = 1

Sendo assim os números críticos de f são -2, 0, 1.
Vamos determinar os pontos de inflexão
f ´´(x) = 12 x 2 + 8 x − 8 = 0
∆ = b 2 − 4ac = 8 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ (−8) = 64 + 384 = 448
x=
 x1 = −1,215
− 8 ± 26 ⋅ 7 − 8 ± 8 7 − 1 ± 7
=
=
⇒
2 ⋅ 12
8⋅3
3
 x2 = 0,548
Vamos determinar os extremos relativos entre estes números críticos, encontrando o sinal de
derivada segunda neles.
x
-2
f (x)
− 32
3
-1,215 -6,12
0
0
0,548 -0,89
1
− 53
f ´(x)
0
f ´´(x)
+
Conclusão
Valor mínimo relativo
8,4
0
-2,5
0
0
0
+
Ponto de inflexão
Valor máximo relativo
Ponto de inflexão
Valor mínimo relativo
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1
2) Dada à função f ( x) = x 3 − 2 x 3 = 3 x 2 − 23 x :
Ache os extremos relativos de f, aplicando o teste da derivada segunda, quando possível;
Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico de f e;
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;
Faça um esboço gráfico de f.
Solução:
Calculando as derivadas de primeira e segunda de f.
2
2
−1
−2
f ´(x) = 23 x 3 − 23 x 3 = 3 −
3
3 ⋅ x 3 ⋅ x2
2
4
−4
−5
f ´´(x) = 92 x 3 − 94 x 3 =
−
3 4
3 5
9⋅ x
9⋅ x
Como f ´(0) não existe, 0 é um número critico de f.
Encontramos os demais números críticos equacionando f ´(x) = 0
2
−1 + 2
− 22 = 0
1
x 3 3 − x0 = 0
3x 3
2
3
x
x
3x 3
( )
− 13 − − 23
− 13 + 23
−x
2
3
− x
− 23 + 23
( )
− 23 − − 23
1
=0
=0
x3 −1 = 0
1
x3 =1
x =1
Assim 1 é ponto critico também.
Podemos determinar se há um extremo relativo em 1 aplicando o teste da derivada segunda.
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Como f ´´(0) não existe, (0,0) é um possível ponto de inflexão. Para achar outras possibilidades
equacionamos f ´´(0) = 0 .
5
4
1
4
2 −3
4 −3
x
−
x
=0
x3 =
9
9
2
−4+5
−5+5
3
2x 3 3 − 4x 3 3 = 0
x=2
1
0
3
x
=8
2x − 4x = 0
1
2x 3 = 4
A tabele abaixo resume nossos resultados.
f(x)
f´(x)
f´´(x)
Conclusão
x<0
decrescente; côncavo para baixo.
x=0
0 não existe não existe f não tem extremo relativo; ponto de inflexão.
0<x<1
+
decrescente; côncavo para cima
x = 1 -1
0
+
mínimo relativo; côncavo para cima.
1<x<8
+
+
crescente; côncavo para cima.
x=8
0
+ 1/6
0
crescente; ponto de inflexão.
x>8
+
crescente; côncava para baixo.
2
1
2
4
6
8
-1
3) Dada à função f ( x) = (1 − 2 x) 3 .
Ache o ponto de inflexão do gráfico de f.
Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Faça um esboço do gráfico.
Solução:
f ´(x) = 6(1 − 2 x) 2
f ´´(x) = 24(1 − 2 x)
Como f ´´(x ) existe para todos os valores de x, o único ponto de inflexão possível é onde
f ´´(x) = 0 . Ou seja: f ´´(x) = 24(1 − 2 x) = 0
1
1 − 2x = 0 ⇒ x =
2
O gráfico tem uma reta tangente horizontal no ponto de inflexão pois f ´(12 ) = 0 .
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x<
x=
x>
f (x)
f ´(x)
f ´´(x )
+
Conclusão
côncavo para cima
0
0
0
Ponto de inflexão
-
côncava para baixo
1
2
1
2
1
2
7
1
0,5
1
-1
4) Ache os pontos de inflexão do gráfico da função seno.
Ache as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão.
Faça o gráfico da função seno num intervalo de 2π de comprimento, contendo o ponto de inflexão
com menor abscissa positiva.
Mostre um segmento da tangente nesse ponto de inflexão.
Solução:
f ( x) = senx
f ´(x) = cos x
f ´´(x) = − senx
f ´´(x ) existe para todo x. Para determinar os pontos de inflexão, equacionamos f ´´(x) = 0
− senx = 0
Pontos de inflexão: x = kπ onde k é um inteiro qualquer.
Inclinação dos pontos de inflexão:
 1 se k inteiro par
f ´(kπ ) = cos kπ ⇒ 
− 1 se k inteiro impar
Logo, as inclinações das tangentes nos pontos de inflexão são +1 ou -1.
1
π
-1
2π