Capítulo 3 - Aplicações das Derivadas
Como classificar os máximos e mínimos
Definição - Extremos Absolutos
Seja f uma função de domínio D. Então f(c) é:
(a)
o máximo absoluto de f em D se e somente se f (x)  f (c) para
qualquer que seja x em D.
(b)
o mínimo absoluto de f em D se e somente se f (x)  f (c) para
qualquer que seja x em D.
Exemplo 3 - Encontrando Extremos Absolutos
Função
Domínio D
Extremos Absolutos em D
(a)
y  x2
(, )
Ausência de máximo absoluto.
Mínimo absoluto 0 quando x = 0.
(b)
y  x2
[0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2.
Mínimo absoluto 0 quando x = 0.
(c)
y  x2
(0, 2]
Máximo absoluto 4 quando x = 2.
Ausência de mínimo absoluto.
(d)
y  x2
(0, 2)
Ausência de extremos absolutos.
Teorema 1 - O Teorema de Valor Extremo para Funções Contínuas
Se f é contínua para todos os pontos do intervalo fechado I, então f
assume tanto um valor máximo M como um valor mínimo m em I.
Ou seja, há números x1 e x2 em I tais que f (x1) = m e f (x2) = M e
m  f(x)  M para qualquer outro valor de x em I. (Figura abaixo)
Definição - Extremos Locais
Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então f (c) será
(a) um valor máximo local em c se e somente se f (x)
qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
 f (c) para
(b) um valor mínimo local em c se e somente se f (x)  f (c) para
qualquer x em um intervalo aberto que contenha c.
Teorema 2 - Extremos Locais
Se uma função f possui valores máximo ou mínimo locais em um
ponto c interior de seu domínio e se f’ existe em c, então
f’ (c) = 0.
Definição - Ponto Crítico
Um ponto de uma função f onde f’ = 0 ou f’ não existe é um
ponto crítico de f.
Exemplo 5 - Encontrando os Extremos Absolutos em um Intervalo
Fechado
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
f (x) = 10x(2 - ln x) no intervalo [1, e2].
Solução: A figura 3.6 (próximo slide) sugere que f tem seu valor
máximo absoluto próximo de x = 3 e que, quando x = e2, seu valor
mínimo absoluto é 0.
Os valores extremos de f (x) = 10x(2 - ln x) ocorrem quando x = e
e x = e2 .
Calculamos a função nos pontos críticos e nas extremidades e,
dentre os valores obtidos, tomamos o maior e o menor.
A primeira derivada é
1
f '( x)  10(2  ln x)  10 x    10(1  ln x).
 x
O único ponto crítico no domínio [1, e2] é o ponto x = e, onde
ln x = 1. Os valores de f nesse único ponto crítico e nas extremidades
são
Valor no ponto crítico:
Valores nas extremidades:
f (e)  10e
f (1)  10(2  ln1)  20
f (e2 )  10e2 (2  2ln e)  0
A partir dessa lista podemos ver que o máximo absoluto dessa função
10e  2,72. Que ocorre no ponto crítico interior x = e. O mínimo
absoluto é 0 e ocorre na extremidade direita, quando x = e2.
Como Determinar os Extremos Absolutos de uma Função
Contínua f em um Intervalo Fechado
Passo 1: Calcule f em todos os pontos críticos e extremidades.
Passo 2: Tome o maior e o menor dentre os valores obtidos.
Exemplo 6 - Determinando Extremos
Determine os valores extremos de
f ( x) 
1
4  x2
Solução: A função f possui um mínimo absoluto de aproximadamente
0,5 quando x = 0. Também parece haver haver dois máximos locais
quando x = -2 e x = 2. No entanto, nesses pontos a função não está
definida e não parece haver nenhum outro valor máximo.
A função f está definida apenas para 4 - x2 > 0, portanto seu domínio
é o intervalo aberto (-2, 2). O domínio não tem extremidades, logo
todos os extremos da função deverá ocorrer em pontos críticos.
Rescrevemos a fórmula de f para determinar f’.
f ( x) 
1
4  x2
 (4  x 2 ) 1 2
Assim,
1
x
2 3 2
f '( x)   (4  x ) (2 x) 
2
(4  x 2 )3 2
O único ponto crítico no domínio (-2, 2) é x = 0. Portanto, o valor
f (0) 
1
4  02

É a única possibilidade de valor extremo.
1
2
Para determinar se 1/2 é um valor extremo de f, examinamos a fórmula
f ( x) 
1
4  x2
À medida que x se afasta de 0 para ambos os lados, os valores de f
aumentam e o gráfico sobe. Temos um valor mínimo quando x = 0,
e o mínimo é absoluto.
A função não possui máximos, nem locais nem absolutos. Isso não
vai contra o Teorema 1 (Teorema do Valor Extremo), pois aqui f é
definida em um intervalo aberto. Para que haja pontos extremos, o
Teorema 1 exige um intervalo fechado.
Exemplo 7 - Pontos Críticos não Precisam Gerar Valores Extremos
Embora os extremos de uma função possam ocorrer apenas em
pontos críticos e extremidades, nem todo ponto crítico ou extremidade
indica a presença de um valor extremo.
Pontos críticos sem valores extremos:
(a) y’= 3x2 é 0 quando x = 0, mas y = x3 não possui nenhum extremo
nesse ponto.
(b) y’= (1/3)x -2/3 não é definida quando x = 0, mas y = x1/3 não
possui nenhum extremo nesse ponto.
Teorema 3 - O Teorema de Rolle
Suponha que y = f(x) seja contínua em todos os pontos de [a, b] e
derivável em todos os pontos de (a, b). Se
f (a)  f (b)  0
Então há pelo menos um número c em (a, b) onde f’(c) = 0.
O Teorema de Rolle diz que
uma curva derivável tem ao
menos uma tangente
horizontal entre dois pontos
quaisquer onde a curva cruza
o eixo x. Essa curva tem três.
Teorema 4 - O Teorema do Valor Médio
Suponha que y = f(x) seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e
derivável no intervalo aberto (a, b). Então há pelo menos um ponto c
em (a, b) em que
f (b)  f (a )
 f '(c)
ba
Geometricamente,
o Teorema do Valor
Médio diz que, em
algum lugar entre A
e B, a curva apresenta
pelo menos uma
tangente paralela à
corda AB.
Corolário 1 - Funções com Derivadas Nulas são Funções Constantes
Se f ’(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo I, então f (x) = C
para qualquer x em I, onde C é uma constante.
Definições - Função Crescente, Função Decrescente
Seja f uma função definida em um intervalo I. Então,
1. f é crescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
2. f é decrescente em I se, para todos os pontos x1 e x2 em I,
x1  x2  f ( x2 )  f ( x1 )
Corolário 3 - Teste da Primeira Derivada para Crescimento e
Decrescimento
Suponha que f seja contínua em [a, b] e derivável em (a, b).
Se f ’> 0 em todos os pontos de (a, b), então f é crescente em [a, b].
Se f ’< 0 em todos os pontos de (a, b), então f é decrescente em [a, b].
O Teste da Primeira Derivada para Extremos Locais
1. Se f ’ é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f
possui um mínimo local em c.
2. Se f ’ é positiva à esquerda de c e negativa à direita de c, então f
possui um máximo local em c.
3. Se f ’ possui o mesmo sinal em ambos os lados de c, então c não é
um extremo local de f.
O gráfico de f (x) = x3 é côncavo para baixo em (, 0)
e côncavo para cima em (0, ).
Definição - Concavidade
O gráfico de uma função derivável y = f (x) é
(a) côncavo para cima em um intervalo aberto I,
se y’ é crescente em I.
(b) côncavo para baixo em um intervalo aberto I,
se y’ é decrescente em I.
Exemplo 3 - Aplicando o Teste de Concavidade
A curva y = x2 é côncava para cima em qualquer intervalo, pois
sua segunda derivada y’’ = 2 é sempre positiva.
Definição - Ponto de Inflexão
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente
e onde há mudança de concavidade é um ponto de inflexão.
Teorema 5 - O Teste da Segunda Derivada para Extremos Locais
1. Se f ’ (c) = 0 e f ’’(c) < 0, então f possui um máximo local
quando x = c.
2. Se f ’(c) = 0 e f ’’(c) > 0, então f possui um mínimo local
quando x = c.
Exemplo 9 - Usando o Teste da Segunda Derivada
Determine os extremos de f (x) = x3 - 12x - 5.
Solução: Temos que
f '( x)  3x 2  12  3( x 2  4)
f ''( x)  6 x
Testando os pontos críticos x  2 (não há extremidades), temos que
f ''(2)  12  0  f possui um máximo local quando x = -2
e
f ''(2)  12  0  f possui um mínimo local quando x = 2.
Estratégias para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo
Passo 1. Compreendendo o Problema
Leia o problema atentamente. Identifique as informações
necessárias para resolvê-lo. O que é desconhecido?
O que é dado? O que é pedido?
Passo 2. Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema
Desenhe figuras e indique as partes que são importantes
para o problema. Introduza uma variável para representar
a quantidade a ser maximizada ou minimizada.
Utilizando essa variável, escreva uma função cujo valor
extremo forneça a informação pedida.
Passo 3. Determine o Domínio da Função
Determine quais valores da variável têm sentido no
problema. Se possível, esboce o gráfico da função.
Passo 4. Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades
Determine onde a derivada é zero ou não existe. Utilize
aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma
função e sobre a física do problema. Use a primeira e a
segunda derivada para identificar e classificar pontos
críticos (onde f ’ = 0 ou não existe).
Passo 5. Resolva o Modelo Matemático
Se não estiver seguro sobre o resultado, utilize outro
método para embasar ou confirmar sua solução.
Passo 6. Interprete a solução
Traduza seu resultado matemático de volta para a
linguagem original do problema e decida se o resultado
tem sentido ou não.
Exemplo 3 - Inscrevendo Retângulos
Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2.
Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são suas
dimensões?
Solução:
Modelo
Sejam ( x, 4  x 2 ) as coordenadas do vértice do retângulo obtidas
colocando-se o retângulo e a semicircunferência no plano cartesiano.
O comprimento, a altura e a área do retângulo podem ser expressos
em termos da posição x, no canto inferior direito da figura.
Comprimento: 2x
Altura:
4  x2
Área: 2x  4  x2
Observe que o valor x deve estar no intervalo 0  x  2 , onde está
o vértice escolhido para o retângulo.
Agora nosso objetivo matemático é determinar o valor máximo
absoluto da função contínua
A( x)  2 x 4  x 2
no domínio [0, 2].
Identificando os Pontos Críticos e as Extremidades
A derivada
dA

dx
2 x 2
4  x2
 2 4  x2
Não é definida quando x = 2 e é igual a zero quando
2 x 2
4  x2
2 4 x  0
2
Multiplique ambos os lados
por 4  x2
2x2  2(4  x2 )  0
8  4 x2  0
x 2
2
x 2
Das duas raízes, x  2 e x   2 , apenas a primeira está no domínio
de A e faz parte da lista de pontos críticos.
Os valores de A nas extremidades e no único ponto crítico são
Valor no ponto crítico: A( 2)  2 2 4  2  4
Valores nas extremidades: A(0)  0, A(2)  0.
Interpretação
A área máxima que o retângulo pode ter é 4 quando este tem
4  x2  2 unidades de altura e 2 x  2 2 unidades de
comprimento.