Desafios para Alunos e Professores de uma
Abordagem Exploratória da Matemática
João Pedro da Ponte
[email protected]
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte
CIBEM VI
Congreso Iberoamericano de Educación Matemática
Puerto Montt, Chile – 04 a 09 de Enero del 2009
Sumário
1. Mudança curricular em Matemática
2. Novo programa de Matemática do Ensino
Básico de Portugal (1.º ao 9.º ano)
3. O papel do professor
2
Mudança curricular em Matemática
Ensino directo
Tarefas
- Tarefa padrão: Exercício / Situações: artificiais,
- Para cada problema, uma e uma só estratégia e
resposta certa.
Papéis
- Os alunos recebem “explicações”,
- O professor mostra “exemplos” para os alunos
aprenderem “como se faz”,
- O professor e o manual são as autoridades na aula.
Comunicação
- O professor põe questões e dá feedback (I-R-F),
- Os alunos respondem e põem “dúvidas”.
3
Mudança curricular em Matemática
Aprendizagem exploratória
Tarefas
- Variedade: Explorações, Investigações,
Problemas, Projectos, Exercícios…
- As situações são realísticas,
- Existem várias estratégias para lidar com um
problema.
Papéis
- Os alunos trabalham em tarefas e têm de
descobrir estratégias,
- ... Explicam e justificam o seu o raciocínio,
- … Sendo também uma autoridade.
4
Mudança curricular em Matemática
Aprendizagem exploratória
Comunicação
- Os alunos discutem com os colegas (grupos ou
pares),
- No fim de um trabalho, há uma discussão com
toda a turma,
- Os significados são negociados na sala de aula.
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A aula de exploração
Introdução da tarefa
Desenvolvimento do trabalho
Discussão final/Reflexão
Às voltas com os números
(Irene Segurado– 5.º ano)
Escreve em coluna os 20 primeiros múltiplos de 5.
1. Repara nos algarismos das unidades e das
dezenas. Encontras algumas regularidades?
2. Investiga agora o que acontece com os múltiplos
de 4 e 6.
3. Investiga para outros múltiplos.
7
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
Às voltas com os números
A Tatiana levantando o braço respondeu
prontamente: o algarismo das unidades é
sempre 0 ou 5, o que foi aceite pelos colegas,
ecoando pela sala: é sempre 0; 5, 0; 5...
Professora: Mais?
Octávio com um ar feliz: O algarismo das
dezenas repete-se: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3...
Carlos, com uma certa agitação, descobri mais
uma coisa... posso ir ao quadro explicar? (...)
Já no quadro, explicou: O 0 com o 5 dá 5, o 0
com o 0 dá 0, o 1 com o 5 dá 6, o 1 com o 0
dá 1, o 2 com o 5 dá 7, o 2 com o 0 dá 2, o 3
com o 5 dá 8, estão a perceber? Há uma
sequência. Dá 5, salta um, dá 6, salta um, dá
8
7... ou dá 0, salta um, dá 1, salta um, dá 2...
Às voltas com os números
É importante o modo como o professor
 responde às dúvidas dos alunos, dando-lhes
atenção e encorajamento sem lhes dar
directamente a resposta,
 formula as questões, envolvendo toda a turma e
levando os alunos a argumentar uns com os
outros.
Em tópicos curriculares, onde
aparentemente só se podem realizar
exercícios repetitivos, é possível fazer muito
9
trabalho exploratório e investigativo.
Como é o aluno típico da turma?
(Olívia Sousa – 6º ano)
Supõe que queres comunicar, a um aluno de um
país distante, ou mesmo, quem sabe, a um
extraterrestre, como são os alunos da tua turma...
Etapas
(i) Preparação das questões de investigação;
(ii) Recolha de dados;
(iii) Tratamento dos dados; e
(iv) Elaboração de relatórios sobre os resultados.
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Como é o aluno típico da turma?
Aprendizagens:
 Medidas (comprimentos, pesos…)
 Números decimais (que ganharam significado pelas
medidas), cálculo numérico, escrito e mental
 Estatística: Comparação, ordenação, agrupamento,
representações, média, mediana, moda.
Uma investigação formulada a partir da realidade dos
alunos pode ser o ponto de partida tanto para o
desenvolvimento de competências de investigação como
11
para a aprendizagem de novos conceitos matemáticos.
Identificação de relações
directamente proporcionais
Guilherme observa a tabela e questiona a
Investigadora sobre a necessidade de usar o Excel,
uma vez que já sabe que existe proporcionalidade.
Professora: (…) Como sabes que existe
proporcionalidade nesta situação?
Guilherme: (Não usa qualquer material) Então, primeiro
vi a [linha] A e a [linha] B (aponta para as linhas
correspondentes às variáveis A e B). Vi o último par
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de números.
Professora: Quais?
Guilherme: (Aponta para a última coluna da tabela) Ao
multiplicar 5 por 3 dá 15… Tenho quase a certeza
que sim [que existe proporcionalidade]. Com esta
conta acreditei que o mesmo se passa com os
outros [pares] números e dá, em 7,5 há 3 vezes 2,5.
Aqui é igual, basta saber a tabuada para isso, 3
[parte decimal de 4,3] vezes 3 dá 9 [parte decimal de
12,9] e 3 vezes 4 é 12. “Tá” certo.
Professora: Consegues identificar a
constante de proporcionalidade?
Guilherme: É 3, se dividir 15 por 5 dá 3.
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Também acontece com os outros [pares de] números.
Ampliações
A situação
 Experiência realizada
com alunos do 8.ª série
pelo professor João
Almiro (2005).
A tarefa
… A professora de Educação Visual quer ampliar
a área da figura 400 vezes. A que distância é que
deve colocar o retroprojector da parede? Elabora
um relatório que inclua a descrição das
tuas pesquisas, os cálculos que efectuaste,
as tuas conjecturas e possíveis soluções
para entregarmos à professora.
14
Ampliações
Reacções dos grupos
 Alguns ficaram perdidos, outros agarraram na tarefa e




começaram a tentar encontrar caminhos.
Todos perceberam que o rectângulo projectado teria
que ter largura e comprimento 20 vezes maiores que o
inicial.
A grande dificuldade era saber a que distância colocar
o retroprojector da parede para que o comprimento
dos segmentos da figura aumentasse 20 vezes.
Quase todos os grupos projectavam, mediam e viam
quantas vezes comprimento e largura aumentavam.
Aperceberam que não tinham espaço na sala, pelo que
tiveram que fazer cálculos para saber a que distância
15
deviam colocar o retroprojector da parede.
Ampliações
Mais reacções
 O professor considerou espectacular o
trabalho de um grupo
 Percebeu que havia proporcionalidade directa
entre a distância do retroprojector à parede e o
número de vezes que as dimensões eram
ampliadas e resolveu o problema.
 Quatro grupos, entreajudando-se, foram
medindo e discutindo e quando um chegava a
uma conclusão trocava com os outros.
 Três grupos não conseguiram avançar
sozinhos.
 Brincaram muito e produziram pouco.
16
Ampliações
17
Ampliações
Balanço
 Alguns dos alunos (cerca de 1/5) não gostaram
destas aulas.
Eu não gostei destas aulas, prefiro aulas
normais a fazer exercícios, acho que
aprendo muito mais nas aulas a fazer
exercícios e a tirar dúvidas.
 A maioria referiu ter gostado destas aulas e
reconheceu ter feito aprendizagens importantes:
Os problemas são um bocadinho mais complicados… Tínhamos
que pensar um bocado, desenvolver, tínhamos que pensar
métodos diferentes, para conseguir o método ideal para ter o
resultado certo… Nos manuais, as perguntas são directas,
18
dizem logo o que temos que fazer.
Diversos tipos de tarefa
Complexidade reduzida
Exercício
Exploração
Jogos
Fechado
Problema
Aberto
Investigação
Projecto
Complexidade elevada
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Diferentes tipos de tarefas
Na aprendizagem da escrita
 Cópia – Ditado – Redacção
 Texto orientado – Texto livre
Na Matemática
 Exercícios – Problemas
 Exploração – Investigação
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As duas faces da Matemática…
A Matemática tem duas faces;
é a ciência rigorosa de
Euclides, mas é também algo
mais... A Matemática em
construção aparece como uma
ciência experimental, indutiva.
George Pólya, 1957
21
A influência do
professor…
Desde que pela primeira vez encontrei o Último
Teorema de Fermat, em criança, ele tem sido a minha
maior paixão... Tive um professor que realizara
investigações em Matemática e que me emprestou um
livro sobre Teoria dos Números, que me deu algumas
pistas sobre como começar a atacá-lo. Para começar,
parti da hipótese de que Fermat não conhecia muito
mais Matemática do que a que eu aprendera…
Andrew Wiles, 1998
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O aluno e do matemático…
Entre o trabalho do aluno que tenta
resolver um problema de geometria
ou de álgebra e o trabalho de
criação, pode dizer-se que existe
apenas uma diferença de grau,
uma diferença de nível, tendo
ambos os trabalhos uma natureza
semelhante.
Jacques Hadamard, 1944
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2. Novo programa de Matemática do
Ensino Básico de Portugal
1.º ao 9.º ano de
escolaridade
Alunos de 6 a 14 anos
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Temas matemáticos e
Capacidades transversais




Números e operações
Geometria e Medida
Álgebra
Organização e tratamento de
dados
 Resolução de problemas
 Raciocínio matemático
 Comunicação matemática
25
Comunicação
1.º ciclo (6-9 anos)
2.º ciclo (10-11 anos)
3.º ciclo (12-14 anos)
… Os alunos progridem na fluência e no rigor com
que se exprimem, oralmente e por escrito, tanto na
linguagem natural como na linguagem
matemática, usando a notação e a simbologia
específica dos diversos tópicos matemáticos e
desenvolvem a sua capacidade de interagir num
grupo e na turma.
26
Resolução de problemas
Como ponto de
partida para o
desenvolvimento
Compreender
de novos
o problema e
conceitos e
processos Reflectir e formular um
plano
analisar o
trabalho
feito
Mobilizando
conhecimentos e
representações
já conhecidas,
tirando partido
da tecnologia
Realizar o
plano
Em contextos não
matemáticos (sobretudo do
quotidiano) e em contextos
matemáticos
Levando os alunos a
formular problemas e a
realizar investigações…
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Raciocínio
Na resolução de problemas/exercícios
(i) formulação de uma estratégia geral de resolução de um
problema,
(ii) realização de uma transformação ou cálculo e sua justificação.
(iii) estabelecimento de relações entre objectos
matemáticos ou não matemáticos.
Em explorações/
investigações
(i) formulação de uma conjectura
apoiada numa razão,
(ii) definição de uma estratégia
de teste de uma conjectura.
Na demonstração
(i) formulação de uma
estratégia de
demonstração,
(ii) construção de uma
cadeia argumentativa.28
3. O papel do professor
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Competência para a realização da
prática lectiva
Planeamento
 Objectivos curriculares
 Estrutura das aulas (introdução de
conceitos – exploração – discussão)
 Tarefas
 Materiais
 Organização do trabalho
 Gestão do tempo
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Competência para a realização da
prática lectiva

Realização
 Introdução e negociação do trabalho
(contrato)
 Comunicação na sala de aula
Negociação de significados matemáticos
 Ambiente
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Competência para a realização da
prática lectiva
Reflexão
 Os objectivos curriculares foram atingidos?
Os alunos aprenderam o que se pretendia?
 As tarefas e os materiais foram adequados?
 A estrutura da aula e organização do
trabalho funcionou?
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Estudos Recentes
http://ia.fc.ul.pt
 Ana Isabel Silvestre – Proporcionalidade directa,
incluindo razões e escalas (6. ano)
 Neusa Branco – Equações 1º grau – Padrões,
Expressões, Equações, Resolução de problemas
(7. ano)
 Ana Matos – Álgebra - Sequências, Funções e
Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)
 Idália Pesquita – Álgebra - Ainda os Números e
Equações (literais) do 1.º grau (8. ano)
33
Estudos Recentes
http://ia.fc.ul.pt
 Nuno Candeias – Geometria - Do Espaço ao
Plano” (7. ano), Decomposição de figuras,
Teorema de Pitágoras, Lugares geométricos,
Translações, Semelhança de triângulos (8. ano)
 Ana Henriques – Análise Numérica - Aritmética
intervalar, Equações não lineares, Ajustamento
de funções, cálculo integral (2º ano licenciatura
Escola Naval)
 Carmen Salvado – A comunicação na sala de
aula no 3.º ciclo
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Estudos em Curso
 Neusa Branco – Pensamento algébrico e
perspectivas sobre o ensino da Álgebra na
formação inicial de professores
 Cláudia Nunes – A gestão curricular dos
professores do 3.º ciclo e secundário, num contexto
colaborativo de escola.
 António Guerreiro – A comunicação na sala de aula
no 1.º ciclo (estudo colaborativo)
 Kátia Medeiros – A aprendizagem da regulação da
comunicação na formação inicial de professores35
Estudar
Construir tarefas
 Procurar tarefas…
 … Modificá-las, adaptando-as aos alunos,
 Construir tarefas a partir de situações do dia-a-dia.
 Perceber como usar as ferramentas das TIC para
resolver tarefas conhecidas e tarefas novas
Aprofundar o conhecimento
 Estudar novos assuntos de Matemática
 … Conhecer novas aplicações na Saúde, na
Economia…
 Perceber como é usada noutras disciplinas escolares.
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Ouvir o aluno
Para apoiar a aprendizagem o professor tem
 Saber o que aluno está a pensar,
 … Como ele pensa,
 … O que compreende e onde tem dificuldade.
Para isso é necessário
 Dar ao aluno oportunidade de falar,
 Levá-lo a explicar as suas ideias em pormenor,
 Habituá-lo a ouvir com atenção os seus colegas,
 Ajudá-lo a construir argumentos,
 … E a discutir os argumentos dos outros alunos.
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Colaborar
 A colaboração, conjugando os esforços de
diversas pessoas, constitui uma estratégia
chave para enfrentar os problemas da prática
profissional.
 Várias pessoas a trabalhar em conjunto:
 têm mais ideias, mais energia e mais força para
derrubar obstáculos.
 capitalizam nas competências individuais.
 ... mas têm que se adaptar uns aos outros,
trabalhando em conjunto de modo eficiente.
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Desenvolver a sua identidade profissional
Participação
noutros
espaços
profissionais
Prática profissional na escola
(com colegas, com alunos,
com pais, com a comunidade)
Prática lectiva
Professor-Alunos
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Oficinas de Formação
Objectivo
 Sensibilização para as ideias-chave do novo
programa de um tema, num dado ciclo.
Formato
 25 horas, em 6 sessões (Sábados), que decorrem
em 3/4 meses
 Trabalho dos professores em grupo
 Exploração de aspectos do novo programa através
de tarefas e exemplos
 Concepção e realização de uma tarefa em classe
 Apresentação e discussão ao grupo.
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Oficinas de Formação
Pressupostos
 Formação baseada na prática, mas
informada pela teoria educacional
 Formação que incentiva a troca de
experiências (mais conseguidas e menos
conseguidas) e a reflexão como base da
cultura profissional.
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Formação na
Escola/Agrupamento
Objectivo
 Desenvolvimento da capacidade de gestão
curricular associada ao novo programa num ciclo
(e promovendo a articulação entre ciclos).
Formato
 Trabalho ao longo do ano, dos professores em
grupo na Escola ou Agrupamento, coordenado por
uma equipa e apoiado exteriormente,
 Identificação de aspectos críticos na
aprendizagem dos alunos,
 Concepção e realização de intervenções, sua
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avaliação e redefinição.
Formação na
Escola/Agrupamento
Pressupostos
 Formação baseada na prática
 Formação baseada na
identificação de necessidades e
realização de projectos pelo grupo
profissional.
43
Pesquisar
Pesquisar
 Procurar respostas através de recolha e análise
sistemática de informação.
Quem pesquisa?
 Ao lado dos universitários, cada vez há mais
profissionais que pesquisam problemas da sua
própria prática
Com que resultados?
 Com contributos “locais” importantíssimos para a
compreensão e resolução dos problemas
 Com uma compreensão acrescida da pesquisa
académica
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Matemático
pesquisando
Matemática
Professor
pesquisando
como o aluno
aprende
Matemática
Pesquisa a vários
níveis
Educador
matemático
pesquisando como
alunos e professores
aprendem
Matemática
Aluno
pesquisando
Matemática
Pesquisar na prática
profissional do professor
Olívia
Fui surpreendida por uma ideia... A forte analogia
entre o modo como os alunos tinham desenvolvido a
sua investigação e o modo como eu estava a
desenvolver a minha… Tal como os alunos, também
eu senti imensa dificuldade em formular as minhas
questões de investigação... Outro aspecto onde senti
o paralelismo, foi na dificuldade de comunicar por
escrito as minhas ideias e conclusões. Também os
alunos sentiram dificuldade na escrita das suas
questões de investigação…
46
Pesquisar na prática
profissional do professor
Olívia
... Para além dos processos, esta analogia estende-se
também aos resultados. Penso que posso inferir que,
tal como eu, também os alunos sofreram um processo
evolutivo enquanto investigaram. Não pretendo dizer
que se tornaram investigadores, tal como eu não me
tornei, mas penso que este tipo de experiências pode
contribuir para que os alunos se tornem mais
reflexivos e mais competentes na procura de soluções
para os seus problemas, quer enquanto estudantes
quer, mais tarde, como cidadãos.
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Conhecimento académico e prática
profissional / Teoria e prática
Conhecimento
académico
Prática
académica
Conhecimento profissional
informado pela investigação
Conhecimento
Prático
Prática
profissional
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Teoria e prática
O grande desafio que se coloca é pôr em diálogo
teoria/prática académica e teoria/prática
profissional, fazendo com que uma aprenda e se
fortaleça com a outra. Para isso é fundamental a
colaboração estreita, no campo nacional e
internacional. Faço votos para que este encontro
possa dar um forte contributo no sentido da
emergência de um conhecimento profissional
informado pela pesquisa de matemáticos,
alunos, professores e investigadores.
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João Pedro da Ponte
[email protected]
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte