Resolução de
Problemas
Luciana Moura
Consultora Pedagógica Especialista em
Matemática
Mestre em Ensino de Matemática
Co-autora da obra coletiva
Matemática – construção e significado
da Editora Moderna
“A arte de resolver problemas”
George Pólya
1a edição: 1944
Como Resolver um Problema
COMPREENSÃO DO PROBLEMA
Primeiro
É preciso compreender
o problema
Qual é a incógnita? Quais são os
dados? Qual é a condicionante?
É possível satisfazer a condicionante?
A condicionante é suficiente para
determinar a incógnita? Ou é
insuficiente? Ou redundante? Ou
contraditória?
Trace uma figura. Adote uma notação
adequada.
Separe as diversas partes da
condicionante. É possível anotá-las?
Como Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Segundo
Encontre a conexão
entre os dados e a
incógnita.
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo
problema apresentado sob uma forma
ligeiramente diferente?
Conhece um problema correlato? Conhece
um problema que lhe poderia ser útil?
Considere a incógnita! E procure pensar em
um problema conhecido que tenha a
mesma incógnita ou outra semelhante.
Como Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Segundo
É possível que seja
obrigado a considerar
problemas auxiliares se
não puder encontrar
uma conexão imediata.
Eis um problema correlato e já antes
resolvido. É possível utilizá-lo? É possível
utilizar o seu resultado? É possível utilizar o
seu método? Deve-se introduzir algum
elemento auxiliar para tornar possível a sua
utilização?
É possível reformular o problema? É
possível reformulá-lo ainda de outra
maneira? Volte às definições.
Como Resolver um Problema
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Segundo
É preciso chegar afinal
a um plano para a
resolução.
Se não puder resolver o problema proposto,
procure antes resolver algum problema
correlato. É possível imaginar um problema
correlato mais acessível? Um problema mais
genérico? Um problema mais específico? Um
problema análogo? É possível resolver uma
parte do problema? Mantenha apenas uma
parte da condicionante, deixe a outra de lado;
até eu ponto fica assim determinada a
incógnita? É possível variar a incógnita, ou os
dados, ou todos eles, se necessário, de tal
maneira que fiquem mais próximos entre si?
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a
condicionante? Levou em conta todas as
noções essenciais implicadas no problema?
Como Resolver um Problema
EXECUÇÃO DO PLANO
Terceiro
Execute o seu plano
Ao executar o seu plano de resolução,
verifique cada passo. É possível
verificar claramente que o passo está
correto? É possível demonstrar que ele
está correto?
Como Resolver um Problema
RETROSPECTO
Quarto
Examine a solução obtida
É possível verificar o resultado? É
possível verificar o argumento?
É possível chegar ao resultado por um
caminho diferente? É possível perceber
isto em um relance?
É possível utilizar o resultado, ou o
método, em algum outro problema?
“Heurísticas na sala de aula”
Alan H. Schoenfeld
Heurística: sugestão ou estratégia geral,
independente de algum tópico particular ou
do assunto em questão, que ajude os
resolvedores de problemas a abordar e
entender um problema e a dirigir
eficientemente seus recursos para resolvê-lo
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Analisando e entendendo um problema:
1.
Desenhe um diagrama, se for possível.
2.
Examine casos particulares para:
a) exemplificar o problema;
b) explorar as várias possibilidades, através de casos
com limitações; e
c) encontrar padrões de indução fazendo os
parâmetros inteiros iguais sucessivamente a 1, 2, 3, ...
3. Tente simplificar, usando simetrias ou “sem prejuízo da
generalidade”.
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Delineando e planejando uma solução:
1. Planeje as soluções hierarquicamente.
2. Seja capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o
que você está fazendo e por quê; o que você fará com o
resultado dessa operação
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Explorando soluções para problemas difíceis:
1.
Considere uma variedade de problemas equivalentes:
a) substitua a condicionante por outras equivalentes;
b) recombine elementos do problema por outras equivalentes;
c) introduza elementos auxiliares;
d) reformule o problema:
•
com uma mudança de perspectiva ou notação;
•
argumentando por contradição ou contrapositivamente;
•
Assumindo uma solução e
propriedades que ela precisa ter.
determinando
as
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Explorando soluções para problemas difíceis:
2. Considere ligeiras modificações do problema original:
a) escolha metas secundárias e tente alcançá-las;
b) desconsidere uma condicionante e, depois, tente impô-la
novamente;
c) decomponha o problema e trabalhe nele, parte por parte.
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Explorando soluções para problemas difíceis:
3. Considere modificações amplas do problema original:
a) examine problemas análogos com menor complexidade (menos
variáveis);
b) explore o papel de uma única variável ou condicionante deixando
o resto fixo;
c) explore algum problema de forma, dados ou conclusões similares;
tente explorar o resultado e o método.
Algumas heurísticas importantes
na resolução de problemas
Verificando uma solução:
1.
Use estes testes específicos:
A solução usa todos os dados?
É adequada a estimativas razoáveis?
Resiste
escala?
a
testes
de
simetria,
análise
2. Use testes gerais:
Pode ser obtida de forma diferente?
Pode ser comprovada em casos particulares?
Reduzida a resultados conhecidos?
Pode gerar alguma coisa que você conhece?
de
dimensões,
“Formulando problemas adequadamente”
Thomas Butts
Tipos de Problemas
1. Exercícios de reconhecimento;
2. Exercícios algorítmicos;
3. Problemas de aplicação;
4. Problemas de pesquisa aberta;
5. Situações-problema.
1. Exercícios de reconhecimento;
Exercícios deste tipo normalmente pedem
aos resolvedores para reconhecer ou
recordar um fato específico, uma definição
ou enunciado de um teorema.
São geralmente propostos em forma de
verdadeiro ou falso, múltipla escolha,
preencha os espaços ou comparação.
2. Exercícios algorítmicos;
Trata-se de exercícios que podem ser
resolvidos com um procedimento passo-apasso,
freqüentemente
um
algoritmo
numérico.
A habilidade para
fazer cálculos, em
seu sentido mais
amplo, requer
exercício e prática;
o desafio é torná-la
interessante.
1. Dê uma seqüência de
exercícios algorítmicos com
um propósito;
2. Faça a inversão de um
problema conhecido.
3. Problemas de aplicação;
Os problemas de aplicação envolvem
algoritmos aplicativos. Os problemas
tradicionais
caem
nesta
categoria,
exigindo sua resolução:
(a) formulação do problema simbolicamente
e depois...
(b) manipulação dos símbolos
algoritmos diversos.
mediante
3. Problemas de aplicação;
Alguns critérios para um “bom exemplo”
de problema de aplicação
(segundo o Sourcebook on Applications da MAA - NCTM)
1. Os dados
deverão ser
realistas, tanto
nas informações
do que é
conhecido como
nos valores
numéricos
usados
2. Deverá ser
razoável
esperar que a
“incógnita” do
problema seja
efetivamente
desconhecida
3. A resposta do
problema
deverá ser uma
quantidade para
cuja procura
possivelmente
se pudesse
encontrar uma
razão
4. Problemas de pesquisa aberta;
São problemas de pesquisa aberta aqueles
em cujo enunciado não há uma estratégia
para resolvê-los.
A função mais importante dos
problemas de pesquisa aberta
é incentivar a conjectura.
Jogos matemáticos e quebracabeças são também outra
rica fonte de problemas de
pesquisa aberta.
5. Situações-problema;
Situações nas quais uma das etapas
decisivas é identificar o problema inerente à
situação, cuja solução irá melhorá-la.
“Estratégias de resolução de problemas
na matemática escolar”
Gary L. Musser
J. Michael Shaughnessy
1. Tentativa e erro
2. Padrões
3. Resolver um problema
mais simples
4. Trabalhar em sentido
inverso
5. Simulação
1. Tentativa e erro
Envolve simplesmente a
aplicação das operações
pertinentes às informações
dadas.
2. Padrões
Esta estratégia considera
casos particulares do
problema. Generalizando-se
a partir desses casos,
chega-se à solução.
3. Resolver um problema
mais simples
Esta estratégia pode envolver a resolução de um “caso particular” de
um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado
para uma versão resumida.
4. Trabalhar em sentido
inverso
Esta estratégia parte do objetivo, ou
do deve ser provado, e não dos
dados.
5. Simulação
Freqüentemente, a solução de um
problema compreende preparar e
realizar um experimento, coletar dados
e tomar uma decisão baseada em uma
análise de dados.
“A solução de problemas em matemática”
María del Puy Pérez Echeverría
Mitos típicos dos estudantes sobre a natureza da Matemática
• Os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta.
• Existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático
e, normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula
pelo professor.
• Os estudantes “normais” não são capazes de entender Matemática;
somente podem esperar memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo
que aprenderam sem entender.
• Os estudantes que entenderam Matemática devem ser capazes de
resolver qualquer problema em cinco minutos ou menos.
• A Matemática ensinada na escola não tem nada a ver com o mundo
real.
• As regras formais da Matemática são irrelevantes para os processos de
descobrimento e de invenção.
Alguns fatores não matemáticos que influenciam na
dificuldade de tradução de problemas matemáticos
• Diferenças no significado de uma mesma expressão na
linguagem cotidiana (mais ambígua e contextual) e na
linguagem matemática (mais precisa).
• Diferentes significados matemáticos de uma mesma
expressão ou palavra (por exemplo, “é”).
• Ordem e forma de apresentação dos dados.
• Presença de dados irrelevantes para a solução do problema.
• Caráter hipotético dos problemas matemáticos (“dados
matemáticos” diante de “dados reais”).
• Diferença ente as teorias pessoais e as teorias matemáticas.
Bibliografia
Guzmán,Miguel de. Aventuras matemáticas. Lisboa:
Gradiva, 1986.
Krulik, Stephen e Reys, Robert E.A resolução de
problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual,
1997.
Polya, George. A arte de resolver problemas. Rio de
Janeiro: Interciência, 1995.
Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas –
Aprender a resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre: ArtMed, 1998.
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