NOÇÕES DE PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
Há três ramos principais na estatística: a estatística
descritiva, que envolve a organização e a sumarização de
dados; a teoria das probabilidades, que proporciona uma
base racional para lidar com situações influenciadas por
fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros;
e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação
de amostras.
A Estatística , de modo geral, constitui um valioso
instrumento para tomada de decisões. Outra característica
da Estatística é o uso de modelos. Estes são formas
simplificadas de algum problema ou situação real. A
característica fundamental dos modelos é o fato de
reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais
compreensíveis.
Por hora, daremos ênfase a teoria da probabilidade
como ferramenta para tomada de decisão.
Um cojunto U que consiste de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório é denominado
ESPAÇO AMOSTRAL. Por exemplo, o conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6
representa o espaço amostral para o lançamento de um dado,
pois são todos os resultados possíveis de acontecer.
Evento é um dado resultado dentro do espaço amostral.
Por exemplo, o resultado Menina, no nascimento de uma
criança, ou um número par no lançamento de um dado, ou
seis números quaisquer numa aposta da Mega-Sena.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é
um número de 0 a 1 que indica chance de ocorrência do
evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance
de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero,
menor é a chance de ocorrência do evento A. A um evento
impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um
evento certo tem probabilidade 1,0.
As probabilidades podem ser expressas de diversas
maneiras, inclusive decimais, frações e percentagens. Por
PROBABILIDADE
exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento
“As origens da matemática da probabilidade remontam
pode ser expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5.
ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se quase todas
Para se obter a probabilidade de um evento A ocorrer,
a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da
fazemos:
teoria das probabilidades para planejar estratégias de
Nº de Casos Favoráveis
apostas. Mesmo hoje ainda muitas aplicações que envolvem
P(A) 
jogos de azar, tais como diversos tipos de loterias, os cassinos
Nº de Casos possíveis
de jogos, bingos e os esportes organizados. Todavia, a
utilização das probabilidades ultrapassou e muito o âmbito
Chamamos favoráveis os casos ou situações que
desses jogos. Hoje muitas organizações (públicas e/ou aparecem no conjunto A, onde A é o evento que representa
privadas) já incorporaram a teoria das probabilidades em todas as escolhas que desejamos que ocorram. Os casos
seus processos diários de deliberações.”
possíveis, são todos os que fazem parte do espaço amostral
O ponto central em todas as situações onde usamos do experimento.
probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável
é determinado EVENTO e utilizamos as probabilidades para PROBABILIDADE CONDICIONAL
exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
No geral, quando o espaço amostral de um experimento
é alterado devido a ocorrência de um evento B já conhecido,
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL E a probabilidade de um segundo evento A é dita condicional
EVENTO
ao primeiro evento. Nesse caso, temos:
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos:
determinísticos e aleatórios. Os determinísticos são aqueles
em que os resultados são sempre os mesmos, qualquer que
seja o número de ocorrência dos mesmos.
Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a
uma certa temperatura haverá a passagem para o estado
líquido. Esse exemplo caracteriza um fenômeno
determinístico.
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão
previsíveis, mesmo que haja um grande número de
repetições do mesmo fenômeno.
Por exemplo: se considerarmos a produção agrícola de
uma determinada espécie, as produções de cada planta serão
diferentes e não previsíveis, mesmo que as condições de
temperatura, pressão, umidade, solo sejam as mesmas para
todas as plantas.
Podemos considerar como experimentos aleatórios os
fenômenos produzidos pelo homem.
P  A | B 
P  A  B
P  B
No mais, duas regras costumam ser muito importantes:
— quando um experimento é realizado e queremos que
ocorra um evento A ou um evento B, usamos a regra do
“ou”, ou regra da soma (regra da União de eventos):
P  A  B  P  A   P  B  P  A  B .
No geral, se A e B não podem ocorrer ao mesmo tempo,
diz-se que A e B são mutuamente exclusivos e, nesse caso, a
P  A  B  é nula.
— a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente pode
ser calculada usando a primeiras fórmula dada nesse tópico.
Contudo, se A e B forem independentes, isto é, se a
probabilidade de um não for alterada pela ocorrência do
outro, a probabilidade de ocorrem simultaneamente é dada
pela regra do “e”, ou regra de multiplicação (regra da
intersecção) assim:
Exemplos:
P  A  B  P  A   P  B
— lançamento de uma moeda;
— lançamento de um dado;
— determinação da vida útil de um componente eletrônico;
No geral, se os eventos são mutuamente exclusivos
— previsão do tempo.
podemos usar a regra da soma para quantos eventos
A cada experimento aleatório está associado o resultado tivermos. Analogamente, a regra da multiplicação pode ser
do mesmo, que não é previsível, chamado evento aleatório.
usada para até n eventos independentes.
EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADE
01. Uma urna contém 10 bolas verdes, 8 vermelhas, 4
amarelas, 4 pretas e cinco brancas, todas de mesmo raio.
Uma bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de a bola
escolhida:
A) não ser verde?
B) não ser branca nem vermelha?
C) ser vermelha ou preta?
D) ser verde, vermelha ou amarela?
moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de ocorrer
cara apenas uma vez?
12. Das 8 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas
delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade
de:
A) Ambas terem os olhos azuis?
B) Nenhuma ter olhos azuis?
C) Pelo menos uma ter olhos azuis?
13. Três parafusos e três porcas são colocados numa caixa.
02. Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Se duas peças são retiradas aleatoriamente, encontre a
Determine a probabilidade de as três meninas sentarem probabilidade de uma ser parafuso e a outra porca.
juntas.
14. De 120 estudantes que se preparam para um concurso,
03. Uma urna contém 15 cartões enumerados de 1 a 15. Um 70 estudam mais matemática, 80 estudam mais português e
cartão é retirado aleatoriamente. Qual a probabilidade de o 40, matemática e português. Se um estudante é escolhido
número no cartão ser múltiplo de 3?
aleatoriamente, encontre a probabilidade de ele:
A) Estudar matemática ou português.
04. Joga-se um dado branco e um dado preto e observa-se os B) só estudar português.
números voltados para cima. Calcule a probabilidade de:
C) só estudar matemática.
A) Ocorrer soma 6.
D) não estudar matemática.
B) Ocorrer soma 11.
E) não estudar português e nem matemática.
C) Ocorrer soma 2.
D) Não ocorrer nem soma 2 e nem 8.
15. Um dado é lançado. Se o número é ímpar, qual a
probabilidade de ele ser primo?
05. Uma carta é retirada aleatoriamente de uma baralho
comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de:
16. Três moedas não viciadas são lançadas. Se ocorrem
A) Sair uma carta vermelha
caras e coroas, determine a probabilidade de ocorrer
B) Sair uma carta de copas
exatamente duas coroas.
C) Sair um rei ou uma carta de copas.
17. Um par de dados é lançado. Se ocorrem números
06. Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os diferentes, encontre a probabilidade de a soma ser um
números 1, 2, 3, ..., 30. Qual a probabilidade de:
número primo.
A) O número ser divisível por 3.
B) o número ser divisível por 5.
18. Um homem tem em sua mão quatro cartas de baralho
C) o número ser divisível por 5 ou por 3.
vermelhas. Qual a probabilidade de elas serem todas do
D) o número não ser divisível nem por 3 e nem por cinco.
mesmo naipe, isto é, copas ou ouros?
07. Duas bolas são retiradas ao acaso de uma urna que
contém 20 alaranjadas, 7 verdes , 10 pretas e 5 brancas. Qual
a probabilidade de elas serem:
A) Alaranjadas
B) Pretas
C) Verdes
D) Brancas
E) Ambas da mesma cor
F) Pelo menos uma preta
19. Dois dígitos diferentes são selecionados aleatoriamente
dos dígitos de 1 a 9. Se a soma é ímpar, qual a probabilidade
do número 2 ser um dos números selecionados?
20. Numa classe há 10 meninos e 15 meninas. Três
estudantes são selecionados aleatoriamente, um após o outro.
Encontre a probabilidade:
A) de os dois primeiros serem meninos e o terceiro menina.
B) de o primeiro e o terceiro serem meninos.
C) de o primeiro e o terceiro serem do mesmo sexo e o
08. Uma urna contém 5 bolas brancas e 8 pretas. Se forem segundo de sexo oposto a estes.
retiradas dessa urna 2 bolas sucessivamente, ou seja, não
sendo as bolas recolocadas, depois de retiradas, qual a 21. Numa certa cidade, 40% da população gostam de futebol,
probabilidade de que ambas sejam brancas?
25% gostam de telenovela e 15% de ambos. Uma pessoa da
cidade é selecionada aleatoriamente:
09. Sejam os eventos A, B e C. Encontre uma expressão e A) Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de também
mostre no diagrama de Venn para o evento em que:
gostar de telenovela?
A) Exatamente um dos eventos ocorre
B) Se ela gosta de futebol, qual a probabilidade de não gostar
B) Pelo menos um evento ocorre
de telenovela?
C) Nenhum evento ocorre.
C) Qual a probabilidade de não gostar nem de futebol e nem
d) A ou B ocorre, mas C não.
de telenovela?
10. Lance duas moedas e um dado. Qual a probabilidade de 22. Em certo colégio, 25% dos meninos e 10% das meninas
aparecerem duas caras e um número par?
estão estudando informática. As meninas constituem 40% do
corpo de estudantes. Se um estudante é selecionado
11. Uma moeda é viciada, de maneira que as caras são 3 aleatoriamente e está estudando
informática. Qual a
vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Se esta probabilidade de ele ser um menino?
23. Tem-se duas urnas: a urna A contém 5 bolas vermelhas,
3 brancas e 8 azuis; a urna B contém 3 bolas vermelhas e 5
brancas. Agora lança-se um dado honesto e observa-se o
número da face voltada para cima; se ocorrer 4 ou 6, uma
bola é escolhida de A, caso contrário uma bola é escolhida de
B.
A) Indique a probabilidade de uma bola vermelha ser
escolhida.
B) Calcule a probabilidade de uma bola branca ser escolhida.
C) Determine a probabilidade de uma bola azul ser escolhida.
D) Se uma bola vermelha é escolhida, qual a probabilidade de
ter vindo da urna A?
34. Uma moeda será lançada até que se observe coroa. Qual a
probabilidade de ela ser lançada 10 vezes?
35. A probabilidade de um indivíduo atingir um alvo é 2/3.
Se ele deve atirar até atingir o alvo pela primeira vez. Qual a
probabilidade de serem necessários cinco tiros?
36. Certa caixa A contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e
outra caixa B, 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Extrai-se ao
acaso uma bola da caixa A e coloca-se na caixa B, sem
observar a cor. Extrai-se então uma bola da caixa B. Qual a
probabilidade de esta última ser branca?
24. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma
bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e
duas bolas da outra cor são colocadas na urna. Uma segunda
bola então é selecionada. Encontre a probabilidade de ambas
as bolas serem da mesma cor?
37. Em uma prova do cursinho onde Raquel estuda caíram
dois problemas. Sabe-se que 132 alunos acertaram o primeiro
problema, 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54
acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que
um aluno, escolhido ao acaso:
A) Não tenha acertado nenhum dos problemas?
25. Uma urna I contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas, e outra B) Tenha acertado apenas o segundo problema?
urna II contém 2 bolas brancas e 6 vermelhas. Se uma bola é C) Tenha acertado pelo menos um dos problemas?
retirada de cada urna, qual a probabilidade de ambas serem
da mesma cor?
38. Em uma capital onde se publicam três jornais A, B, C,
constatou-se que entre 2000 famílias pesquisadas, 500
26. Uma caixa contém 3 bolas azuis e 5 vermelhas, e outra assinam A, 450 assinam B, 350 assinam C, 120 assinam A e B,
caixa contém 8 bolas azuis e 7 vermelhas. Extrai-se ao acaso 220 assinam A e C, 150 assinam B e C, e 80 assinam os três
uma bola de uma das caixas: é azul. Qual a probabilidade de jornais. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a
ter sido extraída da primeira caixa?
probabilidade de que ela:
A) Assine pelo menos um jornal?
27. Em uma joalheria, cada um dos três armários idênticos B) Não assine nenhum dos três jornais?
tem duas gavetas. Em cada gaveta do primeiro armário há C) Assine apenas um dos três jornais?
um relógio de ouro. Em cada gaveta do segundo armário há
um relógio de prata. Em uma gaveta do terceiro armário há 39. Vinte pessoas estão em uma sala usando crachás
um relógio de ouro, enquanto que na outra gaveta há um numerados de 1 a 20. Três pessoas são escolhidas ao acaso e
relógio de prata. Escolhido ao acaso um armário, e aberta retiradas da sala. Os números de seus crachás são anotados.
uma das gavetas, verifica-se conter um relógio de prata. Qual Qual a probabilidade de que o menor número seja 7?
a probabilidade de a outra gaveta do armário escolhido
conter um relógio de ouro?
40. O professor Paulo Roberto escreveu na lousa quatro
números positivos e seis negativos. Em seguida ele pediu a
28. Certa urna I contém 2 bolas brancas e 3 pretas, Daniel que escolhesse 4 desses números ao acaso e efetuasse
enquanto outra urna II, possui 4 brancas e 1 preta e uma o produto deles. Qual a probabilidade de que o produto dos
urna III, 3 brancas e 4 pretas. Escolhe-se uma urna ao acaso e números selecionados seja positivo?
retira-se uma bola: é branca. Qual a probabilidade de ter sido
escolhida a primeira urna?
41. Cinco cartas vão ser retiradas de um baralho de 52 cartas.
Calcular a probabilidade de que as cinco cartas sejam do
29. Uma caixa contém 9 fichas numeradas de 1 a 9. mesmo naipe?
Extraem-se três sucessivamente. Determine a probabilidade
de
serem
alternadamente,
ímpar-par-ímpar
ou 42. Uma gaveta contém 5 pares de meias verdes e 8 pares de
par-ímpar-par.
meias brancas. Tiram-se duas meias ao acaso. Qual a
probabilidade de se formar:
30. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 8 azuis. A) Um par de meias verdes?
Extraem-se cinco ao acaso, sem reposição. Determine a B) Um par de meias da mesma cor?
probabilidade de serem 3 vermelhas e 2 azuis.
C) Um par com meias de cores diferentes?
31. Extraem-se três cartas de um baralho usual de 52 cartas. 43. Uma sala possui 3 soquetes para lâmpadas. De uma
Determinar a probabilidade de:
caixa com 10 lâmpadas, das quais 6 estão boas, retiram-se 3
A) Serem todas do mesmo naipe.
lâmpadas ao acaso e colocam-se as mesmas nos bocais. Qual a
B) Saírem ao menos dois ases.
probabilidade de que:
A) Todas acendam?
32. Joga-se repetidas vezes um par de dados. Determine a B) pelo menos uma lâmpada acenda?
probabilidade de aparecer a soma 11 pela primeira vez na
sexta jogada
44. Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 vermelhas, 3 azuis e
2 amarelas. Extraem-se simultaneamente 5 bolas. Qual a
33. Determine a probabilidade de se obter a soma 7 ao menos probabilidade de que saiam 2 bolas pretas, 2 azuis e uma
uma vez em três jogadas de um par de dados.
amarela?
45. Duas pessoas lançam cada uma três moedas. Qual a 56. Se a família Silva tiver 5 filhos e a família Oliveira tiver 4,
probabilidade de que tirem o mesmo número de coroas?
qual a probabilidade de que todos os filhos dos Silva sejam
meninas e todos os dos Oliveira sejam meninos?
46. Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas A) 1/325
C) 1/682
E) 1/1754
boas. As lâmpadas são testadas uma a uma, até que duas B) 1/512
D) 1/921
ruins sejam encontradas. Qual a probabilidade de que a
última ruim seja encontrada no:
57. Quando dois indivíduos que manifestam um caráter
A) Segundo teste?
C) Quarto teste?
dominante têm um primeiro filho que manifesta o caráter
B) Terceiro teste?
recessivo, a probabilidade de um segundo filho ser igual ao
primeiro é:
47. A experiência mostra que determinado aluno A tem A) 3/4
C) 1/4
E) 1/16
probabilidade 0,9 de resolver e acertar um exercício novo B) 1/2
D) 1/8
que lhe é proposto. Seis novos exercícios são apresentados ao
aluno A para serem resolvidos. Qual a probabilidade que 58. Um homem de pele com pigmentação normal e olhos
resolva e acerte no máximo dois exercícios?
castanhos casa-se com uma mulher de fenótipo igual ao seu.
Sabendo-se que o casal já tem um filho albino de olhos azuis,
48. Uma urna tem 5 bolas verdes, 4 azuis e 5 brancas. qual a probabilidade de num próximo nascimento este casal
Retiram-se 3 bolas com reposição. Qual a probabilidade de vir a ter uma filha de olhos azuis e com a pigmentação da
que no máximo duas sejam brancas?
pele normal?
A) 2/16
C) 6/16
E) 7/16
49. Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 B) 4/32
D) 3/32
fábricas distintas X, Y e Z. X produziu 500, das quais 400 são
boas. Y produziu 700, das quais 600 são boas e Z as restantes, 59. No homem, o albinismo é condicionado por um gene
das quais 500 são boas. Se sortearmos ao acaso uma das autossômico recessivo a. Pais normais que têm um filho
lâmpadas, nesse supermercado, qual a probabilidade de que: albino desejam saber qual a probabilidade de terem outro
A) Seja boa?
filho mas com pigmentação normal da pele?
B) Seja boa e não tenha sido produzida na fábrica X?
A) 1/2
C) 3/4
E) 2/3
B) 1/4
D) 1/3
50. Considerando o exercício anterior, sendo a lâmpada
escolhida DEFEITUOSA, qual a probabilidade que tenha sido 60. O técnico de um time especula que a probabilidade de um
produzida pela fabrica X?
zagueiro D não ser escalado é 0,3, enquanto a probabilidade
de um centrovante J ser escalado é de 0,8. Qual a
51. Dez cartas são extraídas aleatoriamente de um baralho probabilidade de que o zagueiro e o atacante apareçam na
usual de 52 cartas. Qual a probabilidade de todas serem de escalação?
copas?
A) 0,06
B) 0,14
C) 0,56
D) 0,72
52. Um professor de probabilidades propôs a seus alunos o
seguinte problema: “são dadas duas moedas, uma perfeita
(probabilidade de cara igual 1/2), e outra com duas caras.
Uma dessas moedas é escolhida ao acaso e lançada três vezes.
Qual a probabilidade que sejam obtidas 3 caras?
61. Numa urna foram colocados todos os anagramas da
palavra VESTIBULAR. Põe-se uma mão na urna e retira-se um
desses anagramas. Qual a probabilidade de que o anagrama
retirado tenha as vogas juntas?
A) 1/5040
B) 1/1260
C) 1/60
D) 1/30
53. Uma escola tem 100 alunos que ficaram em exame final.
Desses, 40 ficaram em exame de Matemática e 70 ficaram em
exame de Português. Qual a probabilidade de, sorteando um
aluno ao acaso, termos 1 aluno que ficou em exame em
apenas uma matéria?
62. Em uma sala estão 6 rapazes e 5 moças,
todos líderes de turma de uma escola. Dentre os onze, 5
serão escolhidos para participar de uma reunião com os
vereadores na câmara. Qual a probabilidade de que haja
entre os escolhidos pelo menos 2 rapazes e 2 moças?
A) 22/35
C) 7/11
E) 23/32
54. Um conjunto de 6 lâmpadas ruins foi misturado com B) 25/33
D) 11/23
outras 15 lâmpadas boas. Escolhidas ao acaso, sem reposição,
4 lâmpadas, qual a probabilidade de que:
63. Cinco prêmios serão sorteados entre os 20 melhores
A) As quatro sejam ruins?
alunos da escola, entre eles Alan, Beto e Clarisse. Sabendo
B) Uma seja boa e três ruins?
que cada aluno só poderá receber um prêmio, qual a
C) Duas sejam boas e duas ruins?
probabilidade de Alan, Beto ou Clarisse façam parte do grupo
D) Três sejam boas e uma ruim?
sorteado?
55. Um apresentador de televisão tem três portas: Atrás de
cada porta existe um prêmio que só será revelado no final do
programa. Sabe-se que atrás de uma delas existe uma viagem
ao redor do mundo, atrás de outra existe um automóvel e
atrás de outra porta, existe um ratinho. Um candidato
escolhe uma das portas. Se, antes do apresentador abrir a
porta escolhida pelo candidato, abrisse uma porta que não
foi a escolhida e não aparecesse o ratinho e permitisse ao
candidato trocar para a outra porta ainda fechada, o
candidato deveria aceitar ou não? Justifique.
A)
137
228
B)
198
317
C)
17
29
D)
389
995
64. Com relação à questão anterior, se fossem apenas três
prêmios, qual a probabilidade de que, Isaac Nêwton, o pior
aluno da sala, fosse um dos sorteados?
A) 10%
C) 20%
E) 28%
B) 15%
D) 23%
Muito mais em http://www.professorjhonnes.com