OBM 3ª FASE
NÍVEL II
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1. Se uma melancia pesa
pesa?
do seu peso mais
de meio quilo. Quantos quilos ela
RESOLUÇÃO :
Solução:
Seja P o peso da melancia em kg.
Temos:
9
9 1
P    P  9P  9  10P  P  9kg.
10
5 2
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2.Numa sala há bancos e pessoas. Se 12 pessoas sentarem em cada
banco sobrarão 4 lugares; se 10 pessoas sentarem em cada banco 196
pessoas ficarão sem lugar. Quantas pessoas há na sala?
RESOLUÇÃO :
Solução:
Sejam b o número de bancos e p o número de pessoas. Então,
12b  4  p e 10b  196  p, logo 12b  4  10b  196  2b  200  b  100.
o número de pessoas é 12  100  4  1196.
A alternativa correta é B.
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Assim
3. Dobrando uma folha de papel em 3 partes no comprimento e em 4 partes na
largura, obtém-se um retângulo de 25cm de perímetro. Se dobrarmos em 4 partes no
comprimento e 3 partes na largura, obtém-se um quadrado. Quais são as dimensões
da folha de papel?
RESOLUÇÃO :
Seja x a medida do lado do quadrado, as dimensões da folha são 4 x e 3x. O
retângulo
2
cujo
perímetro
é
25cm
tem
dimensões
4 x 3x
.
e
3
4
Logo,
4x
3x
8x 6 x
 2   25  
 25  32 x  18 x  12  25  50 x  12  25  x  6.
3
4
3
4
As dimensões da folha são 24cm e 18cm.
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4. Numa festa estão 41 pessoas, entre moças e rapazes. Maria dançou com 6 rapazes, Lúcia com
7, Marta com 8, Mara com 9 e assim por diante. Eva, a dona da casa, dançou com todos os
rapazes. Quantas moças havia na festa?
RESOLUÇÃO :
Seja x o número de moças que havia na festa.
Maria dançou com 6  5  1 rapazes.
Lúcia dançou com 7  5  2 rapazes.
Marta dançou com 8  5  3 rapazes.
Mara dançou com 9  5  4 rapazes.
Eva dançou com todos os rapazes, ou seja, Eva dançou com
41  x  5  x rapazes, então 2 x  41  5  2 x  36  x  18.
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5. Eu tenho um relógio digital que marca horas e minutos variando de 00:00 até 23:59. Quantas
vezes em um dia os algarismos 1, 2, 3 e 4 aparecerão todos juntos no visor do relógio?
RESOLUÇÃO :
12:34,12: 43,13: 24,13: 42,14: 23,14:32, 21:34, 21: 43, 23:14, 23: 41. Aparecem juntos 10 vezes.
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6. Para quantos valores inteiros do número
a equação
possui somente raízes
inteiras?
RESOLUÇÃO :
Sejam x1 e x2 as raízes inteiras da equação x2  ax  3a  0. Então, -
x1  x2  a 
  3x1  3x2  x1  x2  0 
x1  x2  3a 
 x1 (3  x2 )  3x2  9  9  x1 (3  x2 )  3(3  x2 )  9 3  x1  9  x1  6
 (3  x1 )(3  x2 )  9  
, ou
3  x2  1  x2  2
3  x1  9  x1  12
3  x1  3  x1  0
,
ou
,

3

x


1

x


4
3

x

3

x

0


2
2
2
2
3  x1  3  x1  6
ou 
.
3

x


3

x


6

2
2
Portanto, os únicos valores de a são: 4, 0,12 e 16.
A alternativa correta é B.
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7. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais, por certo número de herdeiros. Se houvesse
três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 20m2; e se houvesse quatro herdeiros a menos,
cada lote aumentaria de 50m2. Qual a área total do terreno?
RESOLUÇÃO :
Sejam x o número de herdeiros, y a área total do terreno (em m 2 ) e -
y
a área de cada herdeiro (em m 2 ). Então,x
 y


x 3

 y 
x  4

y

 20  yx  y ( x  3)  20 x( x  3) 

x
y
 50  yx  y ( x  4)  50 x( x  4) 

x

3 y  20 x 2  60 x  0

 70 x 2  840 x  0 
2
4 y  50 x  200 x  0
 7 x 2  84 x  0  7 x( x  12)  0  x  0 (não serve) e x  12.
Portanto,
y
y
  20  4 y  5 y  1200  y  1200m2 . 15 12
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8. Os dois menores inteiros positivos que divididos por 29 deixam resto 5 e divididos por 31
deixam resto 28, têm como soma o número ?
Seja N o menor dos números procurados. Temos
N 29 e N 31 , 5 q
1
28 q
2
então
N  29q1  5  31q2  28  29q1  31q2  23 
 29q1  29q2  2q2  23  29(q1  q2 )  2q2  23,
logo 2q2  23 é múltiplo de 29, isto é, 2q2  23  k  29 , onde --
k  1,2,3,.... Para
termos o menor inteiro positivo, tomemos k  1, ou -
--seja, 2q2  23  29  2q2  6  q2  3. Logo, N  121. O outro número
--procurado é N1  1020 (quando tomamos k  3, q  32 ). Assim, -
121  1020  1141.
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9. Dada a equação do 2o grau
raízes da equação sejam números inteiros.
Determine os valores de para que as duas
RESOLUÇÃO :
Sejam a e b as raízes inteiras da equação x2  (m  4) x  m  0. Então,
a  b  (m  4)
 a  b  a b  4 

a

b

m

 a (1  b)  b  1  5  (1  a)(1  b)  5 
1  a  5  a  4

, ou
1

b

1

b

0

1  a  5  a  6
ou 
,
1

b


1

b


2

1  a  1  a  0
,

1

b

5

b

4

1  a  1  a  2
ou 
1  b  5  b  6
Portanto, os únicos valores de m para que as duas raízes da equação dada sejam
números inteiros são: 0 e 12.
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10. Um número N, inteiro positivo, é divisível por 11 e o resto da divisão por 7 é igual a
3. Sabe-se que a diferença entre os quocientes é igual a 147. Calcule o número N.
RESOLUÇÃO :
N 11 e N 7 . Então,
0 q
1
3 q
2
N  11q1  7q2  3 11q1  7q2  3
e,
como
q2  q1  147  q2  147  q1. Logo,11q1  7(147  q1)  3 11q1  7q1 1029  3  4q1  1032  q1  258. Portanto, N  11 258  2838. -
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-
11.Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que cada um apareça
exatamente uma vez em cada coluna, linha ou diagonal.
a)Calcule o valor de P+Q
b)Complete a tabela
RESOLUÇÃO :
Os números 1, 2, 3, 4, 5 são colocados na tabela abaixo, de modo que
cada um apareça exatamente uma vez em cada coluna, linha ou
diagonal.
a) O valor de P+Q = 7
b) Completando a tabela teremos:
1
5
4
3
2
3
2
1
5
4
5
4
3
(Q) 2
1
2
1
5
4
3
4
3
2
1
(P) 5
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12.Se a,b,c são números reais tais que a + b + c = 0 . Mostre que 2(a4 + b4 + c4 ) é um
quadrado perfeito .
De a  b  c  0  b  c  a , a  c  b e a  b  c , então (b  c)2  a 2 ,
(a  c)2  b2 e (a  b)2  c 2 . Logo, a 4  b4  c4  a 2  a 2  b2  b2  c2  c2 
a2  (b  c)2  b2  (a  c)2  c2  (a  b)2  a2b2  2a2bc  a2c2  a2b2  2ab2c 
b 2c 2  a 2c 2  2abc 2  b 2c 2  2(a 2b 2  b 2c 2  a 2c 2 )  2abc (a  b  c) 

0
2(a2b2  b2c2  a2c2 ) (I).


2
Mas ( a 2  b2  c2)2  (a 2  b2 )  c2  a 4  2a 2b2  b4  2(a 2  b2 )c2  c4 
a4  b4  c4  2(a2b2  b2c2  a2c2 )  2(a2b2  b2c2  a2c2 )  ( a2  b2  c2)2 
(a4  b4  c4 ) (II)
De (I) e (II), resulta que a4  b4  c4  ( a2  b2  c2)2  (a4  b4  c4 ) 
2(a4  b4  c4 )  ( a2  b2  c2)2
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13.Se a,b,c são números reais quaisquer, mostre que
Para todo a, b, c   , temos:
(a  b)2  0  a2  b2  2ab
(b  c)2  0  b2  c2  2bc
(a  c)2  0  a2  c2  2ac
Somando
as
três
desigualdades
membro
a
membro,
2(a2  b2  c2 )  2(ab  bc  ac)  a2  b2  c2  ab  bc  ac .
Vale a igualdade  a  b  c .
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obtemos