LIMPÍADA CAPI
ABA DE MATE
ÁTICA
SEGUNDA FASE – 25 de setembro de 2004
NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries)
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES
1) No triângulo abaixo há três números que foram apagados por Pedro. Em cada lado do triângulo sobrou um
número que é a soma dos números que estavam nos vértices desse lado. Quais foram os números apagados
por Pedro em cada vértice?
10
17
23
Solução. O número apagado no vértice mais alto é 2, o da direita é 15 e o da esquerda é 8.
Como justificativa, podemos proceder assim. Preencher o vértice mais alto com o número 1 e completar os
outros vértices para ver se corresponde ao que foi dito. Não dá. Em seguida preencher o vértice mais alto com o
número 2 e completar os outros vértices. Funciona! Para ver que não há mais soluções, preenchemos o vértice
mais alto com o número 3, 4, ..., até 9, que é a maior possibilidade para
este vértice, completando em cada caso os outros vértices e ver que não
funciona.
Uma outra maneira é observar que, como a soma de cada dois vértices é
10, 17 e 23, então a soma 10 + 17 + 23 = 50 é o dobro da soma dos três
números colocados nos vértices. Portanto a soma dos 3 números que
faltam é 50/2 = 25. Como os dois vértices da base somam 23, o vértice
no alto só pode ser 25 – 23 = 2. O vértice da direita só pode ser 25 – 10 =
15 e o vértice da esquerda só pode ser 25 – 17 = 8.
A vantagem da segunda solução é que resolveria mais rapidamente para
qualquer disposição de números sobre os lados do triângulo, o que
poderia demandar mais tempo se resolvermos pelo primeiro método.
2
10
8
17
23
15
2) Numa festa jovem havia 20 pessoas, entre rapazes e moças. Todas as moças dançaram com rapazes. A
primeira, Paula, dançou com 7 rapazes. A segunda, Sandra, dançou com 8 rapazes e, assim por diante, até a
última moça, Úrsula, que dançou com todos os rapazes da festa. Quantos rapazes e quantas moças havia nessa
festa?
Solução. Havia 13 rapazes e 7 moças na festa.
Vamos chamar de N o número de rapazes na festa. Paula dançou com 7 rapazes, Sandra com 8, e assim por
diante, ate Úrsula que dançou com N rapazes. Portanto podemos contar os rapazes de 1 até N e contar as
moças de 7 até N. Logo, há 6 rapazes a mais do que moças na festa. Para obtermos o número de moças
devemos subtrair 20 – 6 = 14 e dividir por 2. Portanto há 7 moças e 7 + 6 = 13 rapazes nessa festa.
3) Ronaldo possui seis bolas de boliche numeradas de 1 a 6 que estão colocadas em caixas, conforme indicado
na figura abaixo. Ele deve colocá-las em ordem crescente em 6 caixas vizinhas, com a seguinte regra de
movimento. Em cada movimento duas bolas vizinhas devem ser mudadas de posição e colocadas em caixas
vizinhas, sem inverter a posição entre as duas. Como ajudar Ronaldo a fazê-lo com apenas 3 movimentos?
5
3
4
2
6
1
5
3
4
2
6
1
Solução.
1
2
3
4
5
3
4
5
6
3
4
5
6
2
1
6
1
2
4) Numa escola com 150 alunos a soma das idades de todos os alunos é 2004 anos. Mostre que existem 3
alunos dessa escola cuja soma das idades é maior ou igual a 41 anos. (A idade é um número inteiro.)
Solução. Dividamos os alunos em 50 grupos de 3 alunos cada um. Se em nenhum grupo a soma das idades for
maior do que 41, ela será no máximo 40 anos. Logo o total das idades seria 50 × 40 = 2000 anos, o que não é
verdade. Portanto algum grupo terá no mínimo 41 anos.
5) Qual é o ângulo entre o ponteiro das horas e o ponteiro dos minutos quando um relógio marcar 10:42h ?
Solução. Às 10:42h o ângulo entre os ponteiros de um relógio é 69 graus.
Um relógio de ponteiros está dividido em 60 partes (marcas). O tempo em que o ponteiro maior percorre uma
dessas marcas é chamado de minuto, por isso ele é chamado de ponteiro dos minutos. O outro ponteiro é o das
horas, que a cada 1 hora avança 5 marcas. Às 10:42h o ponteiro dos minutos está na marca 42 e o das horas
está entre as marcas 10 e 11 (horas). Como uma volta
completa corresponde a 360 graus, quando se passa 1
11
minuto, o ponteiro dos minutos avança 360÷60 = 6 graus.
12
10
Às 10:42h faltam 3 marcas para ele alcançar a marca das
9 horas, isto é, faltam 18 graus. Por outro lado, quando
se passam 60 minutos o ponteiro menor, o das horas,
9
9
3
avança 5 marcas de minutos, isto é, ele avança 5×6 = 30
graus. Isto dá um avanço de meio grau por minuto. Logo
8
em 42 minutos o ponteiro das horas avança 21 graus a
6
partir da marca das 10 horas. Portanto às 10:42h o
ângulo entre os dois ponteiros é 18 + 30 + 21 = 69 graus.
6) Numa tabela são colocados números da esquerda para a direita e de cima para baixo. Por exemplo, o número
que está na 7ª posição é 3 e o da 13ª posição é 4.
1
1
1
1
-
2
2
2
-
1
3
3
-
2
4
-
1
3
-
2
-
1
-
-
-
A figura acima mostra parte da tabela que está preenchida dessa forma até a 2004ª posição. Que número está
na 2004ª posição da tabela?
Solução. O número escrito na 2004ª posição é 22.
Observe a posição dos números ao final de cada linha horizontal da tabela.
1º
-
-
4º
-
-
9º
-
-
16º
-
-
25º
Na primeira linha está o 1º número. No final da segunda linha está o 4º número. No final da terceira linha está o
9º número. Ao final da quarta linha fica o 16º número e ao final da quinta linha fica o 25º número. Observe que os
números que aparecem ao final de cada linha são quadrados perfeitos, isto é, 1 = 1×1, 4 = 2×2, 9 = 3×3, 16 =
4×4 e 25 = 5×5. Prosseguindo dessa maneira, no final das linhas seguintes estão o 36º, 49º, 64º, etc, número.
Queremos saber o número da posição 2004. Sabemos que 45×45 = 2025. Logo ao final da linha 45 está o
número 1 na posição 2025. Recuando 21 posições, concluímos que o 2004º número é o 22.