Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Sistemas de Controlo: Realimentação
Objectivos gerais
Estabilidade de entrada limitada /saída limitada
Critério de Routh-Hurwitz
Realimentação
Rejeição de perturbaçoes
Sensibilidade à variação de parâmetros
Erro em regime permanente
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Sistemas de Controlo
Objectivos Gerais:
• Bom seguimento do sinal de referência
• Boa rejeição dos efeitos das perturbações
• Rapidez de resposta
Isabel Lourtie
• Estabilidade
• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
• Robustez de estabilidade
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Estabilidade
r t 
H s 
yt 
O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a
entrada limitada corresponder uma saída limitada
SLIT causal estável:
 nº polos  nº zeros
 Todos os polos têm parte real negativa (SPCE)
Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma
entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a
perturbação.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Estabilidade
Exemplo: resposta ao escalão unitário
Rs 
H s  
K
s  1  K 
Y s  

K

K
1


s  1  K  s
Y s 
K 1 K t 
 K
yt   

e
u1 t 

1  K 1  K

resposta estacionária
Isabel Lourtie
1
s 1
regime transitório
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Estabilidade
r t   u1 t 
K
s  1  K 
K 2
H s  
K  2
2
s3
Polo em
s  3 (SPCE)
2 2

yt     e 3t  u1 t 
3 3

Sistema estável
Regime transitório
tende para zero
Isabel Lourtie
K 1 K t 
 K
yt   

e
u1 t 

1

K
1

K


H s  
2
s 1

Polo em s  1 (SPCD)

yt   2  2et u1 t 
Sistema instável
Regime transitório
tende para infinito
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Estabilidade
Estabilidade e Realimentação
r t 
H s 
yt   yest t   ytrans t 
Todos os polos
de H s  no
SPCE
Regime transitório
tende para zero
Estabilidade
Existe pelo
menos 1 polo
de H s  no
SPCD
Regime transitório
tende para infinito
Instabilidade
Polos simples Regime transitório é
um sinal limitado
Polos de H s 
no SPCE e
sobre o eixo
Regime transitório é
imaginário
um sinal ilimitado
Polos múltiplos
Isabel Lourtie
Estabilidade
marginal ou
crítica
Instabilidade
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário
s an s n  an1s n1   a1s  a0
Teste de Hurwitz
Para que s  tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas
não suficiente) que:
1. i  0,1,n, ai  0 ;
2. i  0,1, n , os coeficientes ai tenham todos o mesmo sinal.
 Se 1 ou 2 não se verificar, então s  tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário
 Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de s 
Isabel Lourtie
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
s an s n  an1s n1   a1s  a0
Teste de Hurwitz
Para que
s  tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que:
1. i  0,1,n,
ai  0 ;
2. i  0,1, n , os coeficientes ai tenham todos o mesmo sinal.
Exemplos
s   s 6  3s5  s 4  2s3  3s 2  4s  15 – não satisfaz a condição 2
s   s5  3s 4  7s 2  2s  5 – não satisfaz a condição 1
Têm pelo menos um
polo no SPCD ou sobre
o eixo imaginário
s   s 4  5s3  3s 2  8s  10
– satisfaz ambas as condições
– nada se pode concluir
Isabel Lourtie
Critério de Routh
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Matriz de Routh
1º passo:
s an s n  an1s n1  an2 s n2  an3s n3  an4 s n4  an5s n5  an6 s n6  an7 s n7  
1ª linha:
2ª linha:
Isabel Lourtie
in  an2i 2
in  an2i1
sn
1n  2n  3n  4n 
s n 1 1n 1  2n 1  3n 1  4n 1 
s n2
s n 3
s1
s0
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
2º passo:
Matriz de Routh
coluna pivot
Critério de Routh:
sn
1n
 2n
 3n
 4n 
s n 1 1n 1  2n 1  3n 1  4n 1 
s n  2 1n  2  2n  2  3n  2  4n 2 
s n 3 1n 3  2n 3  3n 3 
s1
s0
11
10
O número de raízes no SPCD
é igual ao número de trocas de
sinal nos coeficientes na
coluna pivot.
1n j  2  in1 j  2 
   n j 1 det  n j 1
n  j 1 


1
i 1
 1

0 j  n2
n j
i
1
Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot,
então as raízes situam-se todas no SPCE
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Critério de Routh-Hurwitz
s   s3  6s 2  12s  8
Estabilidade e Realimentação
Exemplo I
O teste de Hurwitz é verificado.
nada a concluir
s3
s2
1 12
6 8
32
1
s1
  det 1 12 
6 8 
3
6
s0 8

 6 8
1

det  32 
32
 3 0
3
Isabel Lourtie
Não há trocas de sinal nos
coeficientes da coluna pivot
todas as raízes no SPCE
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
s   s3  6s 2  12s  8
s3
s2
s1
s0
1 12
6 8
32
3
8
dividir por 2
s3
s2
s1
s0
Isabel Lourtie
1 12
3 4
32
32
33
48
Exemplo I
Propriedade:
Os coeficientes de uma linha da
matriz de Routh podem ser
multiplicados ou divididos por
uma constante positiva sem
alterar os sinais da coluna pivot
1
 det 1 12 
3 3 4 
 3 4
1

det  32 
0
32 
3

3
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
s   s5  5s 4  3s3  7s 2  4s  10
Exemplo II
O teste de Hurwitz é verificado.
nada a concluir
5
s
s4
s3
s2
s1
s0
Isabel Lourtie
1
3 4
5
7 10
8
2
5
3
10
4
29

3
10
Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot
duas raízes no SPCD
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares
(zero na coluna pivot)
s   s5  2s 4  2s3  4s 2  11s  10
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
2
0
?
?
?
2 11
4 10
6
?
s5
s4
s3
s2
s
1
s0
Isabel Lourtie
Um zero na coluna pivot
1
2

4  12

10 22
6
4  12
10
2
4
6
10
11
10
Determinar a estrutura da

matriz quando   0
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
2 11
2
4 10

0
6
  10
6
10
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares
 Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero
têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras.
 Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD.
s   s5  s 4  3s3  3s 2  5s  4
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
2 11
2
4 10

0
6
  10
6
10
Isabel Lourtie
existe uma raíz no SPCD
existe mais uma raíz no SPCD
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares
(linha de zeros)
s   s5  s 4  5s3  5s 2  4s  4
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1
1
0
?
?
?
5 4
5 4
0
?
Linha de zeros
Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário

Isabel Lourtie
 






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Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares
(linha de zeros)
s   s5  s 4  5s3  5s 2  4s  4
5
s
s4
s3
s2
s1
s0
1
1
0
?
?
?
5 4
5 4
0
?
2º passo: a linha de zeros é
substituída pelos coeficientes de
Linha de zeros
1º passo: construir o polinómio
auxiliar
Qs   s 4  5s 2  4
a partir dos coeficientes da linha
anterior à linha de zeros
Isabel Lourtie
d
Qs   4 s 3  10 s
ds
s5
s4
s3
s2
s1
s0
1 5 4
1 5 4
4 10 Polinómio auxiliar
5
4
2
18
5
4
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares
(linha de zeros)
 Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então
existem raízes sobre o eixo imaginário.
 Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD.
s   s5  s 4  5s3  5s 2  4s  4
s5
s4
s3
s2
s1
s0
Isabel Lourtie
Como não existem trocas de sinal na
1 5 4
coluna pivot, conclui-se que a linha de
1 5 4
zeros corresponde a raízes sobre o
eixo imaginário.
4 10 Polinómio auxiliar
5
4
Como Qs  é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo
2
imaginário. Como s  é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE.
18
5
As raízes de Qs  são também raízes de s  .
4
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Critério de Routh-Hurwitz
Para que valores de K
é o sistema estável?
H s  
Rs 

Exemplo
K

Y s 
1
s 3  4s 2  6s  4
K
s 3  4s 2  6s  4  K 
Matriz de Routh:
3
s
s2
s
1
s0
Sistema estável:
1
4
20  K
4
4 K
Isabel Lourtie
6
4 K
 4  K  0
 20  K  0
 4
 4  K  20
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Rejeição de perturbações
perturbações na cadeia de acção
Y s   Y s  W  s 0  Y s  R  s 0
cadeia aberta
Rs 

K
cadeia fechada

W s 
Gs 
Isabel Lourtie
Y s   KGs Rs   Gs W s 
Não é possível atenuar o efeito de W s  sobre Y s 
Rs  

Y s  
Y s 

K
KG s 
Gs 
Rs  
W s 
1  KG s 
1  KG s 

W s 
Gs 
Y s 
O efeito de W s  sobre Y s  é tanto
menor quanto maior for o ganho K
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Estabilidade e Realimentação
Rejeição de perturbações
Rs  


K

exemplo
W s 
1
s 1
Y s 
K 5
K  10
K  30
K  100
perturbação
saída sem
perturbação
saída com
perturbação
Isabel Lourtie
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Rejeição de perturbações

Rs  
K

perturbações na cadeia de acção +
ruído nos sensores
W s 

Gs 
Y s   Y s  W s 0  Y s  R s 0  Y s  R s 0
N  s 0
Y s  
N  s 0
Y s 


N s 
ruído nos
sensores
W  s 0
KG s 
Gs 
KGs 
Rs  
W s  
N s 
1  KG s 
1  KG s 
1  KGs 
• Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom
seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído
• Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente
diferente
Isabel Lourtie
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Sensibilidade à variação de parâmetros
Rs 


Gs 
K
Y s 
S
KG s 
1  KG s H s 
H s 
Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s):
M
G
M s  
S
M
G

dM
M  dM G
dG
dG M
G
K 1  KGs H s   K 2Gs H s  Gs 
1


M s  1  KGs H s 
1  KGs H s 2
Quanto maior KGH menos sensível se torna a função de transferência em cadeia
fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar.
Isabel Lourtie
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Estabilidade e Realimentação
Sinal de erro:
Erro em regime estacionário
Gs  
K s  z1 s  z2 s  zm 
s N s  p1 s  p2 s  pn N 
et   r t   yt 
Rs  

Sistema (em cadeia fechada) de tipo N –
sistema cuja função de transferência em
cadeia aberta tem N polos na origem.
E s 
Gs 
Y s 
Erro em regime estacionário:
e    lim et 
t 
Es   Rs   Y s   Rs   Gs Es 
TVF:
E s  
Isabel Lourtie
1
Rs 
1  G s 
 1

e   lim sE s   lim
sRs 
s 0
s 0 1  Gs 


DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Erro em regime estacionário
r t   u1 t 
escalão
R s  
1
s
e p - erro estático de posição
rampa
R s  
1
s2
ev - erro estático de velocidade
parábola
Rs  
1
s3
ea - erro estático de aceleração
sinais de teste
t
r t   tu1 t 
t
r t  
1 2
t u1 t 
2
t
Isabel Lourtie
DEEC/IST
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Estabilidade e Realimentação
Erro em regime estacionário
 1

e   lim
sRs 
s 0 1  Gs 


Erro estático de posição
 1 
1
e p     lim

s 0 1  G s  
G s 

 1  lim
s 0
R s  
1
s
 K p (coeficiente de erro estático de posição)
K p  lim
s 0
K s  z1 s  z2 s  zm 
K p   ; N  0


; N 1
s N s  p1 s  p2 s  pn N   
 1

e p     1  K p

 0
Isabel Lourtie
;
sistemade tipo0
; sistemade tipo1 ou superior
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Estabilidade e Realimentação
Erro em regime estacionário
 1

e   lim
sRs 
s 0 1  Gs 


Erro estático de velocidade


1
1
ev     lim


s 0 1  G s  s
sG s 

 lim
s 0
R s  
1
s2
 K v (coeficiente de erro estático de velocidade)
0
; N 0

K s  z1 s  z2 s  zm 

Kv  lim N 1
 K v  0 ; N  1
s 0 s
s  p1 s  p2 s  pn N    ; N  2

 1
ev     
 Kv
 0
Isabel Lourtie
;
sistema de tipo0
;
sistema de tipo1
; sistema de tipo2 ou superior
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Erro em regime estacionário
 1

e   lim
sRs 
s 0 1  Gs 


Erro estático de aceleração


1
1
ea     lim


s 0 1  G s  s 2
s 2G s 

 lim
s 0
Rs  
1
s3
 K a (coeficiente de erro estático de aceleração)
; N  0,1
 0
K s  z1 s  z 2  s  zm 

K a  lim N  2
 K 0 ; N 2
s 0 s
s  p1 s  p2 s  pn N   a ; N  3


 1
ea     
 Ka

 0
Isabel Lourtie
;
sistemade tipo0 ou 1
;
sistemade tipo2
; sistemade tipo3 ou superior
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Estabilidade e Realimentação
Erro em regime estacionário
Tipo 0
G s  
r(t)
y(t)
50
s  10
G s  
Y s 
50s  1
s 2 s  10
r(t)
y(t)
r(t)
y(t)
r(t)
y(t)
Gs  
50
ss  10
t
t
Gs 
Tipo 2
r(t)
y(t)
t
E s 

Tipo1
16
r(t)
y(t)
Rs  
t
15
r(t)
y(t)
t
t
r(t)
y(t)
r(t)
y(t)
15
t
Isabel Lourtie
t
t
DEEC/IST