Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Teoremas do valor inicial e do valor final
Sistema de 1ª ordem sem zeros
Sistema de 2ª ordem sem zeros
Sistema sub-amortecido
Sistema criticamente amortecido
Sistema sobre-amortecido
Influência de um zero na resposta do sistema de 2ª ordem
criticamente amortecido
Sistemas de ordem superior
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Resposta no Tempo
Teoremas do
Inicial
e do Valor
Final
Resposta
noValor
Tempo
de SLITs
Causais
xt 
H s 
yt 
Dados xt  , H s  e as condições
iniciais, calcular yt  .
Entradas típicas
 Impulso de Dirac: t 
 T L t   1
 Escalão unitário: u 1 t 
 T Lu1 t  
 Rampa unitária: tu1 t 
 T Ltu1 t  
 Parábola unitária:
 Sinusoide:
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1 2
t u1 t 
2
sin t 
1
s
1
s2
1
 1
 T L t 2u1 t   3
2
 s
resposta em frequência
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
xt 
H s 
yt 
H s  
c.i.=0
1
; xt   u1 t ;
2
s  3s  2
condiçõesiniciais: y 0 , y 0 
Sistema inicialmente em repouso y0, y 0, y0, y n1 0  0
Y s   H s X s   yt   TL1Y s 
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Resposta no Tempo
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
xt 
H s 
yt 
H s  
c.i.=0
Condições iniciais não nulas
1
; xt   u1 t ;
2
s  3s  2
condiçõesiniciais: y 0 , y 0 
y0, y 0, y0, y n1 0  0
0
Y s   H s X s  c.i.


 equação diferencial
0
c.i.


 Y s  
 yt   T L1 Y s 
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
xt 
H s 
yt 
H s  
1
; xt   u 1 t ;
s 2  3s  2
condiçõesiniciais : y 0   1, y 0   0
0
Y s   H s X s  c.i.


 equação diferencial
Y s  
1
X s 
s 2  3s  2
s 2Y s   3sY s   2Y s   X s 
d 2 yt 
dyt 

3
 2 yt   xt 
2
dt
dt
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
xt 
H s 
yt 
H s  
1
; xt   u 1 t ;
s 2  3s  2
condiçõesiniciais : y 0   1, y 0   0
0
equação diferencial c.i.


 Y s 
d 2 yt 
dyt 

3
 2 yt   xt 
dt 2
dt
s Y s  sy0  y 0 3sY s  y0 2Y s  X s
Resposta devido
às condições
iniciais não nulas
2
resposta ao sinal de
entrada com condições
iniciais nulas
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Y s  
s  3y0  y 0
1


X
s

s 2  3s  2
s 2  3s  2
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Dados:
xt 
H s 
yt 
H s  
1
; xt   u 1 t ;
s 2  3s  2
condiçõesiniciais : y 0   1, y 0   0
Y s  
 yt   TL-1Y s 
Y s  
s  3y0  y 0
1
1
1
s3


X
s



s 2  3s  2
s 2  3s  2
s 2  3s  2 s s 2  3s  2
s 2  3s  1
1/ 2
1
1/ 2
Y s   2



s  3s  2 s
s
s 1 s  2


regime estacionário
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regime transitório
1
1


yt   u1 t    e t  e 2t u 1 t 
2
2


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Resposta no Tempo
Resposta no Tempo de SLITs Causais
X s  
1
s
Y s   H s 
H s 
1
s
Qual o valor final da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Final
lim y t   lim sY s 
t 
s 0
Forma das constantes de tempo
H s   K 0
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lim y t   lim sH s 
t 
1  sT1 1  sT2 1  sTM 
1  s1 1  s 2 1  s N 
s 0
1
 lim H s   K 0
s s0
A resposta estacionária do SLIT à
entrada escalão unitário é um
escalão de amplitude igual ao
ganho estático K 0 .
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
1
s
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da resposta no tempo do sistema ao
sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
lim y t   lim sY s 
t 0 
s 
Forma factorizada
H s   K
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s  z1 s  z2 s  zM 
s  p1 s  p2 s  pN 
lim y t   lim sH s 
t 0
s 
1
 lim H s 
s s 
K ; N  M

0 ; N  M
Quando o número de polos é
igual ao número de zeros, a
resposta ao escalão é descontínua
na origem.
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
1
s
Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da derivada da resposta no tempo do
sistema ao sinal de entrada escalão unitário?
Teorema do Valor Inicial
lim y t   lim sTL y t 
t 0 
s 

 
lim y t   lim s sY s   y 0
t 0
s 
 
1


 lim s sH s   y 0 
s 
s



 
 lim s H s   y 0 
s 
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Resposta no Tempo
Resposta no Tempo de SLITs Causais
Exemplo
yt 
1  as
H s  
b  as
1
X s  
s
1
1b
1
y     lim H s  
s 0
b
 
0
y 0  lim H s   1

 
a b  1
t
s 

 
y 0   lim s H s   y 0  
Isabel Lourtie
b 1
s 
1 b
a
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Resposta no Tempo de SLITs Causais
Exemplo
H s  
s
s  12
1
X s  
s
y     lim H s   0
s 0
 
y 0   lim H s   0
 
s 

 
y 0   lim s H s   y 0   1
Isabel Lourtie
s 
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Resposta no Tempo
Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
X s  
H s 
1
s
Y s   H s 
ganho estático
unitário
H s  
1
s
1
1/ T

1  sT s  1 / T
Regime estacionário
Y s  
yt   u1 t   et / T u1 t 
1/ T 1 1
1
 
s 1/ T s s s 1/ T
Ims 
Regime transitório
yt 
1
0
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86.5%
Res 
63.2%
1/ T
T
95.0%
declive 1 / T
2T
3T
t
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Resposta no Tempo
Ims 
Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros
yt 
Res 
1/ T
1
y 0  
1 / T aumenta
1
T
0
t
tempo de estabelecimento, t s , é o intervalo de tempo
necessário para que a resposta do SLIT atinja e se
mantenha numa vizinhança previamente especificada do
valor final da resposta.
ts 1%  4.6T
ts 2%  4T
t s (5%):
yts   y   0.05 y 
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1  e  t s / T  1  0.05
e ts / T  0.05
ts 5%  3T
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s 
H s 
Y s 
n2
H s   2
s  2n s  n2
 n - frequência natural
 - coeficiente de
amortecimento
ganho estático unitário
Polos:
s 2  2 n s  n2  0  s   n  n  2  1
0   1
s   n  jn 1   2
Sistema criticamente amortecido
Polo real duplo
 1
j n 1   2
n
  arcsin
 1
 n
jn
Res 
 n
s  n
 j n 1   2
Sistema sobre-amortecido
Polos reais distintos
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 
Sistema sub-amortecido
Polos complexos
conjugados
 1
 0
Ims 
 0
 jn
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
Sistema subamortecido
n2
H s   2
s  2n s  n2
1
s
0    1
Ims 
jn
n2
1
Y s   2

s  2n s  n2 s
j n 1   2
n


1
 n t
y t   1 
e
sin a t   u 1 t 
2
1 


a  n 1   2
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  arctan
1 

2
 n
 n
Res 
 j n 1   2
 jn
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
0    1
a  n 1   2


1
n t
yt   1 
e
sin at   u1 t 
2
1 


  arctan
parte real dos polos
jn
Ta
yt 

Ims 
parte imaginária dos polos
ganho estático unitário
1  2
ja
n
S
 n
1
 5%
0
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tr
tp
ts
t
 n
Res 
 ja
 jn
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros


1
n t
yt   1 
e
sin at   u1 t 
2
1 


a  n 1   2 ;   arctan
1 
0    1
yt 
1
2

0
Máximos e mínimos:
t
tr
dyt 
n
n
0  t 

; n  0,1,2,
dt
a n 1   2
Período das oscilações:
Tempo de pico:
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tp 
Ta 
 Ta

a 2
2
a
Tempo de crescimento (0% a 100%):
ytr   1  tr 
 
a
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros


1
n t
yt   1 
e
sin at   u1 t 
2
1 


a  n 1   2 ;   arctan
1 
y
 0.05
S %   100
Isabel Lourtie
y  
 5%
S

0
1
1 
2
e
nt
sinat     0.05
 100 e

t
ts
t s 5% 
t s 2% 
Sobre-elevação:
y t p   y  
yt 
1
2
Tempo de estabelecimento a 5%:
yt   y
0    1
3
n
4
n

1 2
t s 1% 
4.6
n
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0    1
n constante
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0    1
 constante
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Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
Resposta no Tempo
0    1
 n constante
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
1
s
H s 
Y s   H s 
1
s
n2
H s   2
s  2n s  n2
Sistema criticamente amortecido   1
n2
n2
1
1
Y s   2



s  2n s  n2 s s  n 2 s


yt   1  1  n t ent u1 t 
Ims 
 n
Isabel Lourtie
Res 
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Resposta no Tempo
Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros
X s  
H s 
1
s
Y s   H s 
1
s
n2
H s   2
s  2n s  n2
Sistema sobre-amortecido   1
Y s  
p1 p2
1

s  p1 s  p2  s
Ims 
 n
 p2
 p1
Res 

p2
p1
 p1t
 p2t 

yt   1 
e 
e  u1 t 
p2  p1
 p2  p1

yt 
p1 fixo
1
Polos:  p1  n  n  2  1
 p2  n  n  2  1
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p2 aumenta
0
t
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Resposta no Tempo
Influência de um Zero no Sistema de 2ª
Ordem Criticamente Amortecido
n2 s  a 
H s  
2
as  n 
0  n  a
Im s 

 a  n
0  a  n

 n
Isabel Lourtie
Re s 
Im s 
a
Re s 
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Resposta no Tempo
Influência de um Zero no Sistema de 2ª
Ordem Criticamente Amortecido
Im s 

 n
a
y (0) 
n2
a
n2 s  a 
H s  
2
as  n 
0
Re s 
Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um polo ou um zero
no semi-plano complexo direito.
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Resposta no Tempo
Sistemas de Ordem Superior
H s   K
polos distintos
p1  p2    pn
s  z1 s  z2 s  zm 
s  p1 s  p2 s  pn 
ganho estático
resíduo associado
ao polo s   pi
1 K 0 n ai
Y s   H s  

s
s i 1 s  pi
n
yt   K 0u1 t    ai e  pit u1 t 
i 1
Polos não dominantes
 Se i, k : pi  zk  ai  0 , a contribuição do polo para o regime transitório é
muito pequena.
 Se i : pi  pk k  i , a contribuição do polo para o regime transitório decai
muito rapidamente
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Resposta no Tempo
Sistemas de Ordem Superior


Exemplo
Ims 
5000 s 2  2s  100
H s  
s  10s  100 s 2  2.1s  100





 10
 100
?
K
H aprox s  
s  10
Res 
1

 j10
polo muito mais
distante do eixo
yt 
mesmo ganho estático
6
lim H s   lim H aprox s 
s 0
j10
polos/zeros
muito próximos
aproximado
s 0
3
K  50
H aprox s  
50
s  10
original
0
Isabel Lourtie
0 .2
0 .4
0 .6
t
DEEC/IST