Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Função resposta de frequência
Análise dos factores elementares
Ganho K
Factores derivativo e integral
Factores de 1ª ordem
Factores de 2ª ordem
Sistemas de fase mínima/não mínima
Relação entre resposta ao escalão e resposta de frequência
Identificação de sistemas a partir da resposta de frequência
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Função resposta de frequência
xt   A sint u1 t 
H (s )
H  j   T Fht 
yest
A H  j sint  u1 t 
est (t )  ?
   arg H  j 
t
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Representação gráfica de H  j   H s  s  jω
Característica de amplitude
H  j  dB  20log H  j 
escala linear
Característica de fase
arg H  j 
 0
Isabel Lourtie
escala logarítmica
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode
Representação gráfica de H  j   H s  s  jω
Função de transferência
Resposta de frequência
n
n
H s    H i s 
H  j    H i  j 
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
H  j  dB  20log H i  j    H i  j  dB
n
arg H  j    arg H i  j 
i 1
soma das contribuições dos
factores elementares Hi  j 
Factores elementares:
 Ganho K
 Factores integral (polo na origem) ou derivativo (zero na origem)
 Factores de 1ª ordem (polo ou zero real)
 Factores de 2ª ordem (par de polos ou par de zeros complexos conjugados)
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Ganho K
H s   K  H  j   K
Exemplo: H s   100
H  j   K

H  j  dB  20 log K
0 ; K 0
arg H  j   
 ; K  0

Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor derivativo
H s   s  H  j   j
Ims 
H  j1 dB  0
Res 
H  j   j  

H  j  dB  20 log
arg H  j  
Isabel Lourtie

2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor integral
1
1
H s    H  j  
s
j
Ims 
Res 
H  j1 dB  0
H  j  
1
1

j 

H  j  dB  20 log
arg H  j   
Isabel Lourtie

2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s   
100
s
Factores elementares:
 Ganho: K  100
 Polo na origem:
Isabel Lourtie
1
s
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: polo real
Ims 
1
1
T  1  H  j  
H s  
1  sT
1  jT
s 1
T
1/ T
Res 
Caracteristica de amplitude:
H  j  
1
2
1  T 
2
Baixa frequência:   1
H  j  dB  0 dB
 H  j  dB  20log 1  T 
T
ganho estático
unitário
  1T
2
 20 log T   20 logT 
H  j  dB
frequência de corte
0
1

T
Alta frequência:
H  j  dB
Isabel Lourtie
 20 dB/década
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: polo real
Ims 
1
1
T  1  H  j  
H s  
1  sT
1  jT
s 1
T
Res 
1/ T
Caracteristica de fase:
arg H  j    arg1  jT    arctanT 
arg H  j 
0
  1T
arg H  j   0 rad

Baixa frequência:
Alta frequência:
arg H  j   
Isabel Lourtie

2

  1T
rad

1
10T
1
T
10
T

4
2
1

 1
 arg H  j    arctan1   rad
T
4
 T
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
1
1
T  1  H  j  
H s  
1  sT
1  jT
s 1
T
Isabel Lourtie
Diagrama de Bode
Factor 1ª ordem: polo real
Ims 
1/ T
Res 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s  
10
s  0.1s  10
Factores elementares:
 Ganho: K0  10
0 .1
s  0 .1
 Polo real: 10
s  10
 Polo real:
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: zero real
Ims 
s 1
T  1  sT  H  j   1  jT
H s  
1
T
Res 
1/ T
Caracteristica de amplitude:
H  j   1  T   H  j  dB  20log 1  T 
2
2
 20 dB/década
H  j  dB
  1T
 0 dB
Baixa frequência:
H  j  dB
ganho estático
unitário
  1T
2
 20log T   20logT 
Alta frequência:
H  j  dB
Isabel Lourtie
0
1
T

DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 1ª ordem: zero real
Ims 
s 1
T  1  sT  H  j   1  jT
H s  
1
T
Res 
1/ T
Caracteristica de fase:
arg H  j   arg1  jT   arctanT 
Baixa frequência:   1
arg H  j   0 rad
arg H  j 


T
2
4
0
Alta frequência:
arg H  j  
Isabel Lourtie

2
  1T
rad

1
10T
1
T
10
T

1

 1
 arg H  j   arctan1  rad
T
4
 T
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
s 1
T  1  sT  H  j   1  jT
H s  
1
T
Isabel Lourtie
Diagrama de Bode
Factor 1ª ordem: zero real
Ims 
1/ T
Res 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo
H s  
0.1s  10
s  0.1
Factores elementares:
 Ganho: K0  10
0 .1
s  0 .1
 Zero real: s  10
10
 Polo real:
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
n2
H s   2

s  2 n s  n2
0    1
1
s  s 
1  2
 
n  n 
2
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
 H  j  
1
2
 

1     j 2
n
 n 
Ims 
Caracteristica de amplitude:
H  j  
jn
1
j n 1   2
n
2
2
   2  


1       2


  n   
n 
 n
 n
Res 

2
H  j  dB
Isabel Lourtie
2
   2  


 20 log 1       2
  n    n 
 j n 1   2
 jn
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
Caracteristica de amplitude:
2
H  j  dB
2
   2  


 20 log 1       2


  n   
n 
Baixa frequência:
H  j  dB  0 dB
Alta frequência:
H  j  dB
Isabel Lourtie
ganho estático
unitário
  n
H  j  dB
0
n

  n
4


 20log    40log 
 n 
 n 
 40 dB/década
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
n2
H s   2

s  2 n s  n2
0    1
Caracteristica de fase:
arg H  j    arctan
2
1
s  s 
1  2
 
n  n 
  n
arg H  j   0 rad
Alta frequência:
  n
arg H  j    rad
Isabel Lourtie
 H  j  

n
 
1   
 n 
Baixa frequência:
2
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
1
2
 

1     j 2
n
 n 
arg H  j 
2
0

n
10
n
10n

2

  n  arg H  jn   

2
rad
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor 2ª ordem: polos
complexos conjugados
n2
H s   2
s  2n s  n2
0    1
frequência de ressonância:
r  n 1  2 2

H  jr  
1
2 1  ξ 2
frequência de natural:
n  H  jn  
Isabel Lourtie
1
2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
2
2
 
s  2 n s  
s  s 







H s  

1

2



H
j


1


j
2

 
n2
n  n 
n
 n
0    1
2
2
n
Ims 
Caracteristica de amplitude:
jn
j n 1   2
2
2
   2  


H  j   1       2
  n    n 
n
 n

H  j  dB
Isabel Lourtie
  
 20 log 1   
  n 
2
2
 


   2
  n 
2
 n
Res 
 j n 1   2
 jn
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
Caracteristica de amplitude:
2
H  j  dB
2
   2  


 20 log 1       2


  n   
n 
Baixa frequência:
H  j  dB  0 dB
H  j  dB
  n
 40 dB/década
Alta frequência:
H  j  dB
Isabel Lourtie
ganho estático
unitário
  n
4


 20log    40log 
 n 
 n 
0
n

DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Análise dos factores elementares
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
2
2
 
s  2 n s  
s  s 







H s  

1

2



H
j


1


j
2

 
n2
n  n 
n
 n
0    1
2
2
n
Caracteristica de fase:
arg H  j   arctan
2

n
 
1   
 n 
Baixa frequência:
  n
arg H  j   0 rad
Alta frequência:
  n
arg H  j    rad
Isabel Lourtie
arg H  j 
2


2
0
n
10
n
10n
  n  arg H  jn  


2
rad
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Factor 2ª ordem: zeros
complexos conjugados
s 2  2n s  n2
H s  
n2
0    1
frequência de ressonância:
r  n 1  2 2

H  jr   2 1   2
frequência de natural:
n  H  jn   2
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Análise dos factores elementares
Diagrama de Bode
Exemplo



104 s 2  0.2s  1
H s  
s s 2  20s  104

Factores elementares:
 Polo na origem:
1
s
 Polos complexos:
104
s 2  20s  104
 Zeros complexos:
s 2  0.2 s  1
1
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Sistemas de fase mínima/não mínima
Ims 
 10
1
Res 
H1 s  
s  10
s  1
H1  j  
Isabel Lourtie
H 2 s  
102   2
1 
2
s  10
s  1
Ims 
1
10 Res 
 H 2  j 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Sistemas de fase mínima/não mínima
Ims 
 10
1
Res 
H1 s  
s  10
s  1
 
arg H1  j   arctan   arctan 
 10 
Isabel Lourtie
H 2 s  
s  10
s  1
Ims 
1
10 Res 
 
arg H 2  j     arctan   arctan 
 10 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0 dB  0 dB e arg K0   rad  y  1
1
s  12
ganho de alta frequência
lim H  j  dB   dB 
 
Isabel Lourtie
y 0  0
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0 dB   dB  y  0
s
s  12
ganho de alta frequência
lim H  j  dB   dB 
 
Isabel Lourtie
y 0  0
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Resposta ao escalão vs. resposta de frequência
H s  
ganho estático = ganho de baixa frequência
K0 dB  20 dB e arg K0  0 rad  y  10
s  20
s2
ganho de alta frequência
lim H  j  dB  0 dB
 
lim arg H  j   0 rad

y 0  1
 
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Largura de banda a 3 dB
A largura de banda (LB) a 3 dB é a dimensão da banda de frequências para a qual
o módulo da função resposta de frequência não cai mais de 3 dB em relação ao
ganho de baixa frequência
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Largura de banda vs. rapidez de resposta
H1 ( s ) 
1
s  1
2  1
H 2 ( s) 
2
s  2
Quanto maior for a largura de banda, maior é a rapidez de resposta do sistema
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes

p
Isabel Lourtie
Ims 

j n 1   2
 n
Re s 

 j n 1   2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes
Ims 

 n

Isabel Lourtie
j n 1   2

p
Re s 
 j n 1   2
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Polos dominantes/não dominantes
Ims 

 p2
Isabel Lourtie
z

 p1
Re s 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo I
K 0 dB  14 dB
 K 0  0.2
arg K 0  0 rad
 1 polo em s  1
 1 zero em s  40
 1 polo em s  200
H s   0.2
H s  
Isabel Lourtie
1 s  40 200
s  1 40 s  200
s  40
s  1s  200
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo II
K 0 dB  14 dB
 K 0  5
arg K 0   rad
 1 zero em s  1
 1 polo em s  20
H s   5
s  1 20
1 s  20
H s   100
Isabel Lourtie
s 1
s  20
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo III
Baixa frequência:
declive  20 dB / década
1 polo na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo III
Sistema original
Polo na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo III
Sistema sem o polo na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo III
Sem o efeito do polo na origem
K 0 dB  20 dB
 K 0  10
arg K 0  0 rad
 1 polo em s  2
 2 zeros em s  40
Com o polo na origem
1 2 s  40
H s   10
s s  2 402
2
1 s  40
H s  
80 ss  2
2
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo IV
Baixa frequência:
declive  20 dB / década
1 zero na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema original
Zero na origem
Sistema original
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Sistema sem o zero na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo IV
Sem o efeito do zero na origem
Baixa frequência:
K 0 dB  20 dB
 K 0  10
arg K 0  0 rad
Alta frequência:
declive 60 dB / década
para  10 rad/s
1 par de polos complexos
conjugados com n  10 rad/s
 1 polo real em s  10
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
Polo real
Sistema sem o zero na origem
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo IV
Sistema sem o zero na origem
e o polo real
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
14 dB
Exemplo IV
Sem o efeito do zero na origem
e do polo real
Baixa frequência:
K 0 dB  20 dB
 K 0  10
arg K 0  0 rad
Alta frequência:
declive  40 dB / década
1 par de polos complexos
conjugados com n  10 rad/s
pico de ressonância:
1
14 dB  5 
   0.1
2
Isabel Lourtie
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Identificação de sistemas
Diagrama de Bode
Exemplo IV
Resumo:
Ganho  10
1 zero na origem
polo real em s  10
1 par de polos
complexos
conjugados com
n  10 rad/s,   0.1
10
102
H s   10s
s  10 s 2  2s  102
104 s
H s  
s  10 s 2  2s  102

Isabel Lourtie

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Identificação de sistemas
Exemplo V
K 0 dB  20 dB
 K 0  10
arg K 0   rad
 1 polo com   10 rad/s
 1 zero com   100 rad/s
Mas
polo no SPCE porque
fase diminui ( s  10 )
zero no SPCD porque
fase diminui ( s  100 )
H s   10
H s  
Isabel Lourtie
10 s  100
s  10  100
s  100
s  10
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Identificação de sistemas
Exemplo VI
Baixa frequência:
K 0 dB  20 dB
 K 0  10
arg K 0  0 rad
Alta frequência:
declive 40 dB / década
para  10 rad/s
Fase diminui:
Mas
polo no SPCE porque
fase diminui ( s  10 )
zero no SPCD porque
fase diminui ( s  100 )
Isabel Lourtie
1 polo real duplo em s  10
Fase diminui 2 em vez de  :
par polo (SPCE)/zero (SPCD)
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Diagrama de Bode
Identificação de sistemas
Exemplo VI
Fase sem o efeito do polo real duplo em s  10
polo (SPCE): s  100
zero (SPCD): s  100
Resumo:
Ganho  10
polo real duplo em s  10
1 polo em s  100
1 zero em s  100
Isabel Lourtie
102
100 s  100
H s   10
2
s  10 s  100  100
s  100
s  102 s  100
H s   1000
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