Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Modelização e Linearização
Representação matemática de sistemas
Modelos de entrada/saída
Modelo de estado
Representação matemática de SLITs
Linearidade, invariância no tempo e causalidade
Transformada de Laplace unilateral
Função de transferência: formas factorizada e das constantes de tempo
Modelo físico
Sistemas mecânicos de translação
Sistemas mecânicos de rotação
Sistemas electromecânicos
Linearização
Álgebra de blocos
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Representação Matemática de Sistemas
Modelos de entrada/saída
xt 
 Equação diferencial
 linear ou não linear
sistema
yt 
 variante ou invariante no tempo
 Função de transferência
 só para sistemas lineares e invariantes no tempo
 Resposta impulsional
 só para sistemas lineares e invariantes no tempo
Modelo de estado
-- relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema
 linear ou não linear
 variante ou invariante no tempo
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Modelização e Linearização
Representação Matemática de SLITs Causais
xt 
SLIT
yt 
Função de transferência
Sistema invariante no tempo
xt   yt   xt    yt  
H s   T Lht 
Sistema linear
x1 t   y1 t 
x2 t   y2 t 
 a1 x1 t   a2 x2 t   a1 y1 t   a2 y2 t 
Transformada de
Laplace unilateral
Sistema causal
x1 t   x2 t , t  T  y1 t   y2 t , t  T
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Modelização e Linearização
Transformada de Laplace
Bilateral:

xt   X B s    xt e st dt ; s    j

(expressão algébrica X B s  & região de convergência RX )
Unilateral: xt  

X U s    xt est dt ; s    j
0
 Caracteriza a evolução temporal do sinal xt  para t  0 .
 Quando xt  é causal, i.e., xt   0 t  0 , T LB xt   T LU xt 
A transformada de Laplace unilateral de um sinal é
completamente caracterizada pela sua expressão algébrica
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Modelização e Linearização
Transformada de Laplace Unilateral
xt   e2t u1 t 
Exemplo 1:
X B s  
1
; Res   2
s2
1
0
t
Ims 
X U s  

2
1
s2
Res 
xt  causal  X U s   X B s 
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Modelização e Linearização
Transformada de Laplace Unilateral
Exemplo 2: xt   e2 t  e2t u  t   e2t u t 
1
1
X B s  

2
2 t
1
4
;  2  Res   2
s  2s  2
Ims 
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xt   e
0

t

X U s   TLB e  2t u1 t  
2
Res 
1
s2
xt  não causal  X U s   X B s 
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Modelização e Linearização
Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P1: Linearidade
Se x1 t   X1 s e x2 t   X 2 s então
ax1t   bx2 t   aX1s   bX2 s 
P2: Translação no Tempo
Se xt  causal,
xt   X s e t0  0
então
xt  t0   e st X s 
0
P3: Translação no Domínio da Transformada
Se
xt   X s
então
e s t xt   X s  s0 
0
P4: Mudança de Escala
Se
xt   X s e a  0
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então
xat  
1 s
X 
a a
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Modelização e Linearização
Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P5: Convolução
x1 t  e x2 t  causais, x1 t   X1 s e x2 t   X 2 s
então x1t   x2 t   X1s X 2 s 
Se
P6: Diferenciação no Domínio do Tempo
Se
xt   X s 
então
dx t 
 sX s   x0 
dt
Generalizando
d n xt 
d n2 xt 
d n 1 xt 
n
n 1
n  2 dxt 
 s X s   s x0  s
 s

dt n
dt t 0
dt n 2 t 0
dt n1 t 0
P7: Diferenciação no Domínio da Transformada
Se
xt   X s 
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então
dX s 
 tx t  
ds
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Modelização e Linearização
Propriedades da Transformada de Laplace Unilateral
P8: Integração no Domínio do Tempo
xt   X s 
Se
1
X s 
então 0
s
t
1
1 0
 x  d  s X s   s  x d
t
x  d 
P9: Teorema do Valor Inicial

Se x t causal e se xt  não contiver impulsos ou singularidades de ordem

sX s 
superior na origem t  0 , então x0   slim

P10: Teorema do Valor Final
Se xt  causal e se xt  convergir para um valor constante quando t  ,
então lim xt   lim sX s 
t  
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s 0
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Modelização e Linearização
SLIT Causal Contínuo de Ordem N
xt 
SLIT
causal
yt 
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
 sistema invariante no tempo e causal: N  M
 sistema linear: condições iniciais nulas, i.e.,
d
d N 1
y 0 , y t  ,  , N 1 y t   0
dt
dt
t 0
t 0
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Modelização e Linearização
Equação Diferencial
xt 
SLIT
causal
yt 
Função de Transferência
M
dk
dk
ak k yt    bk k xt 

dt
dt
k 0
k 0
N
N

 M dk

dk
T LU  ak k yt   T LU  bk k xt 
 k 0 dt

 k 0 dt

M
bs

Y s 
H s  

X s 
a s
k 0
N
d

d

ak T LU  k yt    bk T LU  k xt 

k 0
 dt
 k 0
 dt

k
N
k
M
k 0
k
k
k
k
condições
iniciais nulas
N


M


k
k


a
s
Y
s

b
s
k
 k X s 
k 0
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k 0
N
M
k
k


a
s
Y
s

b
s
 k 
 k  X s 
 k 0

 k 0

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Modelização e Linearização
bM s M  bM 1s M 1    b1s  b0
H s  
aM s N  aN 1s N 1    a1s  a0
Função de Transferência
Forma factorizada:
Forma das constantes de tempo:
H s   K
s  z1 s  z2 s  zM 
s  p1 s  p2 s  pN 
zeros:
z1 , z2 ,, zM
polos:
p1 , p2 ,, pN
Ganho estático:
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H s   K 0
1  sT1 1  sT2 1  sTM 
1  s1 1  s 2 1  s N 
zeros:  1 T1 ,1 T2 ,,1 TM
polos: 1 1 ,1  2 ,,1  N
K 0  lim H s   K
s 0
 z1  z2  zM 
 p1  p2  pN 
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Modelização e Linearização
Modelação Matemática
A partir de considerações de ordem física, e de um conjunto adequado de
hipóteses simplificativas, encontrar um modelo matemático que descreva
os aspectos essenciais do comportamento do processo a controlar.
Exemplos:
 sistemas mecânicos de translação: amortecedor de um carro,
sistema de controlo de velocidade;
 sistemas mecânicos de rotação: pêndulo, carro com pêndulo
invertido;
 sistemas electromecânicos: motor de corrente contínua.
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Modelização e Linearização
Modelo Físico
Lei de Newton:
Para massa
m
Sistemas mecânicos de translacção
d mv 
F
dt
constante:
dvt 
d 2 x(t )
F m
m
 m at 
2
dt
dt
x
a
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– soma das forças aplicadas ao corpo
m – massa do corpo
v – velocidade linear
mv – momento linear
F
– deslocamento linear
– aceleração linear
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Modelização e Linearização
Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
(elementos básicos)
x
 Massa
d 2 xt 
f t   m
dt 2
f t 
m
 Mola
x
K
K – constante elástica da mola
f s t  – força de restituição da mola
K
f s t 
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f s t   Kxt 
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
(elementos básicos)
 Atrito
x
 – coeficiente de atrito
f d t  – força de atrito

f d t    

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dx t 
dt
f d t 
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Modelização e Linearização
Modelo Físico
Sistemas mecânicos de translacção
F  ma
Exemplo: amortecedor de um carro
y
m
K
aceleração do chassis

d 2 y t 
d  y t   xt 






m


K
y
t

x
t


dt 2
dt
x
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deslocamento linear
na mola e no atrito
força de
restituição
da mola
força de
atrito
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Sistema de Controlo de Velocidade
Objectivo: Manter constante a velocidade do veículo
Modelo do sistema físico:
vref t 

 Entrada: força f t  gerada pelo motor
 Saída: velocidade v t  do automóvel
controlador
motor
f t 
v t 

sensor de
velocidade
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Modelização e Linearização
Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
f t 
x
v t 
m
f t 

Lei de Newton:
F  ma

f t   f d t   f t   vt   m
dv t 
dt
força do atrito
Sistema de 1ª ordem:
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m
dv t 
  vt   f t 
dt
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Sistema de Controlo de Velocidade
Modelo do sistema físico
f t 
m
dv t 
  vt   f t 
dt

v t 
G s  
função de transferência
Vref s 
C s 

F s 
V s 
1

F s  ci0 m s  
1
m s 
V s 

sistema controlado
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Modelização e Linearização
Modelo Físico
Lei de Newton:
Para J
Sistemas mecânicos de rotação
d J 
T
dt
constante:

J
– soma dos binários aplicados
– momento de inércia
– velocidade angular
– momento angular
d t 
d 2 (t )
TJ
J
dt
dt 2

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T
J
– deslocamento angular
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
T t   t 
 Inércia
(elementos básicos)
d 2 t 
T t   J
dt 2
J
 Mola rotacional
 t 
K – constante da mola
Ts t  – binário de restituição da mola
K
Ts t 
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Ts t    K t 
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Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
(elementos básicos)
 Atrito rotacional
 t 

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Td t 
 – coeficiente de atrito
Td t  – binário de atrito
Td t    
d t 
dt
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Modelização e Linearização
Modelo Físico
Sistemas mecânicos de rotação
Exemplo: pêndulo
T  J
Tc t 

d 2 t 
J
 Tc t   m gLsin  t 
2
dt
L
m
m g cos
mg
binário que resulta da
força da gravidade
m gsin 
Tc t  - binário aplicado
J  m L2 - momento de inércia em torno
aceleração angular da massa
do ponto de rotação
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Modelização e Linearização
centro de gravidade
do pêndulo
Carro com Pêndulo Invertido
xG  x  L sin 
yG  L cos
y
Lei de Newton aplicada ao movimento segundo x:
d 2 xG t 
d 2 xt 
dxt 
M

m

F


dt 2
dt 2
dt

d 2 xt 
d 2 xt   L sin  t 
dxt 
M
m

F
2
2
dt
dt
dt
L
F
M
M  m d x2t    dxt   Lm d 2t  cos t   Lm d t  
2
dt
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2
dt
dt
I, m
( xG , yG )
 dt 
2
x
sin  t   F
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Carro com Pêndulo Invertido

m gsin 
Lei de Newton aplicada ao movimento de rotação
do pêndulo:
I  Ta t   Tg t 
binário devido à aceleração
linear do pêndulo

d 2 xG t 
m
dt 2
mg
binário resultante da
força da gravidade
Ta t   Tax t   Tay t 
Tg t   Lmgsin  t 
d 2 yG t 
 Lm
sin  (t )  Ta y t 
dt

d 2 yG t 
m
dt 2
d 2 xG t 
Lm
cos (t )  Tax t 
dt
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Modelização e Linearização
Carro com Pêndulo Invertido
I  Ta t   Tg t 
Tg t   Lmgsin  t 
d 2 xG t 
d 2 yG t 
Ta t   Tax t   Ta y t   Lm
cos (t )  Lm
sin  (t )
dt 2
dt 2
d 2 xt   L sin  t 
d 2 L cos t 
 Lm
cos (t )  Lm
sin  (t )
2
2
dt
dt
d 2 xt 
d 2 t 
2
 Lm
cos (t )  L m
dt 2
dt 2
d 2 t 
d 2 xt 
I Lm
 Lm
cos (t )  Lm gsin  t 
2
2
dt
dt

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2

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Modelização e Linearização
Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
ea t 
campo
fixo
Ra
La


ea t 

vb t 
ia t 
Tm t 
 m t 
Vb s 
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circuito de armadura:
Ra ia t   La
dia t 
 vb t   ea t 
dt

Ra I a s   La sI a s   Ea s   Vb s 
circuito de armadura
Ea s 

 m t 

1
Ra  La s
I a s 
I a s  
1
Ea s   Vb s 
Ra  La s
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Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
ea t 
 m t 
campo
fixo
Ra
La


ea t 
vb t 
ia t 

Binário no veio do motor:
Tm t 
 m t 
Tm t   Kmia t 

Tm s   Km I a s 
circuito de armadura
Ea s 

Vb s 
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
Tm s 
I a s 
1
Km
Ra  La s
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Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
ea t 
campo
fixo
Ra
La


ea t 
ia t 

vb t 

circuito de armadura
Ea s 

Vb s 
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
Tm t 
 m t 
 m t 
d 2 m t 
d m t 
J


 Tm t 
2
dt
dt
Js2m s   sm s   Tm s 
 m s  
I a s 
1
T s 
1
Km m
Ra  La s
s  Js
1
Tm s 
s  Js
 m s 
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Sistemas Electromecânicos
Motor de corrente contínua
ea t 
 m t 
campo
fixo
Ra
La


ea t 
vb t 
ia t 

Força contra-electromotriz:
Tm t 
vb t   K b
 m t 

Vb s   Kb sm s 
circuito de armadura
Ea s 

Vb s 

d m t 
dt
I a s 
1
Tm s 
1
Km
Ra  La s
s  Js
 m s 
Kb s
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Modelização e Linearização
Linearização
Aproximação linear em torno de pontos de equilíbrio
Exemplo: pêndulo
2
d
 t 
m L2
 Tc t   m gLsin  t 
2
dt
Tc t 

L

Para
pequenos:
sin    
m
mg
d 2 t 
mL
 Tc t   m gL t 
2
dt
2
ponto de equilíbrio:
  0, Tc  0
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Modelização e Linearização
ut 
Linearização
Pontos de equilíbrio:
dx t 
0 
dt
sistema
não linear
dx t 
 f xt , u t 
dt
x0 , u0  : f x0 , u0   0
Série de Taylor em torno de x0 ,u0  :
x
u
f x0   x, u0   u   f x0 , u0  
0
f x, u 
f x, u 
x
 u  termos de ordem
x  x0 ,u0 
u  x0 ,u0 
superior
Modelo linear em torno de x0 ,u0  :
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d x f x, u 
f x, u 

x
u
dt
x  x0 ,u0 
u  x0 ,u0 
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Modelização e Linearização
Linearização
Exemplo: carro a alta velocidade
x
f t 
v t 
m
f t 
1 , 2
Força de atrito: termo linear + termo quadrático
Sistema de não linear:
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m
f d t   1vt   2v2 t 
dv t 
 f t   1vt    2 v 2 t 
dt
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Linearização
f t 
Pontos de equilíbrio:
Exemplo: carro a alta velocidade
dv t 
m
 f t   1vt    2 v 2 t 
dt
v t 
dv t 
 0  f e  1ve   2ve2
dt
vt   cte  ve 
 v t   ve   v t 
Estudo do comportamento do sistema em torno de ve , f e  : 
 f t   f e   f t 
Expansão em série de Taylor do termo quadrático:
dv2
v t   v 
 vt   ve2  2ve vt 
dv v
2
2
e
e
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Linearização
f t 
v t 
Exemplo: carro a alta velocidade
fe  1ve  2ve2
vt   ve   vt 
f t   f e  f t 
v 2 t   ve2  2vevt 
dv t 
 f t   1vt    2 v 2 t 
dt
d ve  vt 
m
  f e  f t   1 ve  vt    2 ve2  2vevt 
dt
m
m
dvt 
 f e  f t   1ve  1vt    2 ve2  2 2 vevt 
dt
m
dvt 
 1  2 2 ve vt   f t 
dt
Isabel Lourtie
V s 
1

F s  m s  1  2 2ve 
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo
paralelo
G3 s 
série
X s 




G1 s 
G4  s 
G2  s 


Y s 
H1 s 
H 2 s 
Como simplificar?
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
1. Combinar blocos em cascata
2. Combinar blocos em paralelo
G3 s 
X s 




s 4 s 
G1 G
s 1s G4 G
G2 s   G3 s 
G2  s 


Y s 
H1 s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
realimentação
X s 




G2 s   G3 s 
G1 s G4 s 
Y s 
H1 s 
H 2 s 
3. Eliminar blocos de realimentação
X s 


G1 s G4 s 
1 G1 s G4 s H1 s 
G2 s   G3 s 
Y s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s 
Exemplo (cont.)
G1 s G4 s 
1 G1 s G4 s H1 s 


G2 s   G3 s 
Y s 
H 2 s 
X s 


G1 s G4 s G2 s   G3 s 
1 G1 s G4 s H1 s 
Y s 
H 2 s 
forma canónica da realimentação
Isabel Lourtie
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Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s 
Y s 
Y s 
Gs 
Y s 
X 2 s 
Isabel Lourtie
Gs 

Y s 
Gs 
Y s 
Gs 
X s 
X s 
X s 
X 1 s 

X s 
Y s 
Gs 
X s 
Outras transformações
X 1 s 
X 2 s 
Y s 
Gs 
1 Gs 
Gs 
Y s 


Gs 
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X 1 s 
G1 s 
X 2 s 

X 2 s 

Gs 


H1 s 
H 2 s 
Isabel Lourtie
X 1 s 

Y s 

G2  s 
X s 

Outras transformações
G2 s  G1 s 
G1 s 
Y s 

Y s 
X s 

Gs 

Y s 
H1 s   H 2 s 
DEEC/IST
Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
X s  

G1 s 
Exemplo

G2  s 
G3 s 
Y s 

1 G3 s 
X s  

G1 s 


G2  s 
G3 s 
Y s 
malha de realimentação
Isabel Lourtie
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Fundamentos de Controlo
Modelização e Linearização
Álgebra de Blocos
Exemplo (cont.)
1 G3 s 
X s  

G1 s 


G3 s 
G2  s 
Y s 
malha de realimentação
X s  
G1 s 

G2 s G3 s 
1 G2 s G3 s 
Y s 
1 G3 s 
X s 


G1 s G2 s G3 s 
1 G2 s G3 s 
Y s 
1 G3 s 
Isabel Lourtie
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