Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
SINAIS E SISTEMAS
• Sinais
O que são sinais?
Transformações lineares da variável independente
Reflexão em relação à origem; Mudança de escala; Translação no tempo.
Propriedades dos sinais
Paridades; Periodicidade.
Sinais contínuos básicos
Impulso unitário de Dirac; Escalão unitário; Exponencial complexa.
Sinais discretos básicos
Impulso unitário; Escalão unitário; Exponencial complexa.
• Sistemas
Sistema físico, modelo, representação matemática.
Propriedades dos sistemas
Sistemas com e sem memória; Causalidade; Invertibilidade e sistema inverso;
Estabilidade; Invariância temporal; Linearidade.
DEEC/ IST
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
automóvel
circuito elétrico
sinal de entrada: posição do acelerador
sinal de saída: velocidade do veículo
sinais: tensões e correntes
máquina fotográfica
microfone
luz
sinal de entrada: luz
sinal de saída: fotografia
DEEC/ IST
sinal de entrada: fala (pressão acústica)
sinal de saída: corrente eléctrica
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Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
Sismologia
Sinal contínuo: domínio real
Electrocardiograma
Fala
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
DEEC/ IST
Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiro
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Sinais e Sistemas
Sinal discreto: domínio inteiro
Amostragem de sinal analógico
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
O sinal y relaciona-se com o sinal x através de uma
transformação linear da variável independente quando
DEEC/ IST
yt   xat  b
a, b  R 
- sinal contínuo
yn  xan  b
a, b  Z 
- sinal discreto
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Transformações lineares da variável independente
Inversão temporal (ou reflexão em relação à origem)
yn  x n
yt   x t 
Exemplo: passagem de fita magnética em sentido inverso ao de gravação mas à mesma velocidade
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Mudança de escala
Sinal contínuo: yt   xat
a  R 

Exemplo: passagem de fita magnética a uma velocidade diferente da original


DEEC/ IST
a  1 : fita tocada a velocidade superior
a  1: fita tocada a velocidade inferior
compressão temporal
expansão temporal
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Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Mudança de escala
Sinal discreto:
yn  xan
a  Z 

 No caso discreto só faz sentido falar em compressão temporal a  1 ;
 Na compressão temporal de um sinal discreto há sempre perda de informação.
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
Transformações lineares da variável independente
Translação no tempo
yn  xn  b
b  Z
yt   xt  b
b  R 
b  0 : atraso
b  0 : avanço
Exemplo: propagação de um sinal entre dois pontos distantes no espaço
DEEC/ IST
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Transformações lineares da variável independente
 1

yt   x  t  2 
 2

zt   xt  2
xt 
wt   z t   x t  2
z(t)
x(t)
1 --
w(t)
1 -1
t
-2
1 --
-1
1
t
y(t)
1 -2
DEEC/ IST
4
t
2
t
1 
yt   w t 
2 
 1

 x  t  2 
 2

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Transformações lineares da variável independente
y(t)
x(t)
1
1--
-2
2
1. Compressão temporal:
zt   x2t 
t
3
1
2. Inversão temporal:
1
1
3. Translação no tempo:
DEEC/ IST
1
wt   z t 
w(t)
z(t)
-1
t
t
-1
1
t
yt   w(t  2)  z  t  2 x 2t  2  x 2t  4
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Propriedades dos sinais: Paridades
Um sinal diz-se par quando
xt   x t 
xn  x n
Um sinal par é simétrico em relação à origem
DEEC/ IST
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Propriedades dos sinais: Paridades
Um sinal diz-se ímpar quando
xt    x t 
xn   x n
Se um sinal ímpar estiver definido para o instante t=0 então x(0)=0
DEEC/ IST
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Propriedades dos sinais: Paridades
Qualquer sinal x pode ser decomposto na soma de um sinal par com um sinal ímpar
xt   x p t   xi t 
1
x p t   xt   x t 
2
em que
1
x i t   xt   x t 
2
e
x(t)
2 -1 -1
2
t
xi(t)
2
t
--
--
1
2 -1 --
--
--
-1
-1
--
--
-2
--
-2
-DEEC/ IST
--
2 -1 --
--
xp(t)
-- -1 1
2
t
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Propriedades dos sinais: Periodicidade
Sinal periódico sse
T, N - periodo
T  R 
n  Z, N  0 : xn  xn  N  N  Z 
t  R, T  0 : xt   xt  T 


xt 
…
…
2
1
0
1
2
3
t
 Um sinal periódico é um sinal bilateral;
 Se x(t) é periódico com periodo T, também é periódico com periodo 2T, 3T, 4T…
 Periodo fundamental T0 é o menor valor positivo do periodo.
DEEC/ IST
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Periodicidade


Exemplos
1. O sinal xt   cos 2t 

 é periódico?
3
t  R, T  0 : xt   xt  T  ?




cos 2t    cos 2t  T   
3
3


2t 

3
 2t  2T 

3
 2 k ; k  Z
T   k ; k  Z
Existe solução  xt  periódico
Período fundamental: T0  
DEEC/ IST
1
8


2. O sinal xn   cos n    é periódico?
n  Z , N  0 : xn  xn  N  ?
1

1

cos n     cos n  N    
8

8

1
1
1
n    n  N    2 k ; k  Z
8
8
8
N  16 k ; k  Z
N inteiro, 16 k irracional
Não existe solução  xn não é periódico
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Sinais básicos: escalão unitário
discreto
contínuo
0 ; t  0
u1 t   
1 ; t  0
0 ; n  0
u1 n   
1 ; n  0
u1 t 
…
1
u1 n
…
t
DEEC/ IST
…
…
1
0
2
4
6
8 10 12 14
n
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Sinais básicos: impulso unitário de Dirac
Função generalizada definida de forma explicita por
 t  
d
u1 t 
dt
ou de forma implícita por
u1 t       d
t

 O impulso unitário de Dirac é nulo parat  0 ;
 Em t  0 o impulso unitário de Dirac tem amplitude infinita;
 O impulso unitário de Dirac é caracterizado por ter área unitária, i.e.,

  t dt  1

DEEC/ IST
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Sinais básicos: impulso unitário de Dirac
Exemplo: Qual a área de xt    3t  ?
representação gráfica
 t 




 3t dt      d 

1
1
3
1
1
  3t    t 
3
3
propriedades
t
0
aproximação
(t-t0)
(t)
0
t
xt  t  t0   xt0  t  t0 
área=1
área=1
área =1
0
t0
xt  t   x0 t 
área=1
DEEC/ IST
x(t)
t

xt    x  t    d

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Sinais básicos: impulso unitário discreto
0 ; n  0
 n   
1 ; n  0
relação com o escalão unitário
 n  u1 n  u1 n 1
u1 n  
n
  k 
k  
xn  

 n
…
1
…
0
n
propriedades

 n  1
n  
xn n  x0 n
xn n  n0   xn0  n  n0 
 xk  n  k 
k  
DEEC/ IST
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Sinais básicos: exponencial complexa contínua
xt   Ce  C e e
at
j
r  j 0 t
 Ce e
rt
j  0 t  
xt   C ert cos0t     j sin0t   
DEEC/ IST
C  C e j
a  r  j0
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Sinais básicos: exponencial complexa contínua
xt   Ce at
I. 0  0,   0  C  C  0, a  r
C  C e j
xt   C e
DEEC/ IST
rt
a  r  j0
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Sinais básicos: exponencial complexa contínua
II.
r  0  C  C e j , a  j0
xt   C e
DEEC/ IST
j 0t  
 C cos0t     j sin0t   
xt   Ce at
C  C e j
a  r  j0
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Sinais básicos: exponencial complexa contínua
O sinal xt   e
j0t
 cos0t   j sin0t  é periódico?
xt   e j0t  e j0 t T   xt  T 

e j0T  1  0T  2 k , k  Z  T 
2 k
0
, k  Z
O sinal xt   e j0t é sempre periódico;
O período fundamental é T0 
2
;
0
Quanto maior for 0 , menor é T0 e maior é a rapidez de oscilação.
DEEC/ IST
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Sinais básicos: exponencial complexa contínua
Exemplos
periódicos
1. O sinal xt   cos3t  2  4 sin 5t  3 é periódico?
0  3
0  5
1
T01 
xt  periódico com
2
2
3
T0 2 

2
5

T0  mmc T01 , T02  2
periódicos
2. O sinal xt   cos t   2 sin6t  é periódico?
0  
0  6
T01  2

1
DEEC/ IST
2
T02 
3


mmc T01 , T02 não existe pelo
que xt  não é periódico
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
xn  Ce  C e e
an
j
r  j0 n
 Ce e
rn
j 0 n 
xn  C ern cos0n     j sin0n   
DEEC/ IST
C  C e j
a  r  j0
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
xn  Cean
I. 0  2 k,   0  C  C  0, a  r  j 2 k
C  C e j
xn  C e e
rn
j 2 kn
 xn  C e
rn
a  r  j0
1
DEEC/ IST
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
II. 0  2k 1,   0  C  C  0, a  r  j2k 1
xn  Cean
C  C e j
a  r  j0
xn  C ern e j 2k 1n  C ern e j 2kne jn  xn   1 C e rn
n
1
DEEC/ IST
  1
n
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
j
III. r  0  C  C e , a  j0
xn  C e j 0n   C cos0n     j sin0n   
DEEC/ IST
xn  Cean
C  C e j
a  r  j0
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
As exponenciais complexas x1 n  e j0n e x2 n  e j 0 2 k n k  Z
representam o mesmo sinal.
x2 n  e
j 0  2k n
j n
 e j0n e j 2 kn  e 0  x1 n
1
DEEC/ IST
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
j n
Quando 0 aumenta, a rapidez de oscilação de e 0 aumenta para
2k  0  2k 1 , e diminui para 2k 1  0  2k k inteiro.
 
Exemplo: xn  Re e j0n  cos0n
0  0, 2 ...
0 
 3 5
2
,
0   ,
DEEC/ IST
2
,
2
...
3 ...
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Sinais básicos: exponencial complexa discreta
O sinal xn  e j0n  cos0 n  j sin0 n é periódico?
xn  e j0n  e j0 n N   xn  N 

e
j 0 N
 1  0 N  2 k , k  Z 
O sinal xn  e
j0 n
0 k
 , k Z
2 N
0
é periódico sse
for um número racional;
2
O período fundamental é o menor inteiro positivo tal que N 0 
2 k
;
0
2 0
A frequência fundamental é
, em que k e N 0 não têm

N0
k
factores comuns.
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
1. O sinal xn  e j 4 n é periódico?
0  4 
0 2 k
 
2  N
0 
xn não é periódico
3. O sinal xn   e
0 
j
19
n
8
2. O sinal xn   e
Exemplos
j
3
n
8
é periódico?

3
3
k
 0 

8
2 16 N
xn é periódico
Período fundamental: N0  16
é periódico?
Frequência fundamental:

19
19 k
 0 

8
2 16 N
xn é periódico
Mesmo sinal:
2 

N0 8
19 3

 2
8
8
Período fundamental: N0  16
Frequência fundamental:
DEEC/ IST
2 

N0 8
A frequência fundamental é
definida no intervalo   ,  
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Sinais e Sistemas
Sinais básicos: exponencial complexa discreta
 3

 3
n  4    sin
 5

 2
4. O sinal xn   3  4 cos
N01  1
3
5
 02
3
k


2 10 N
N 02  10
 02 
Exemplos

n  é periódico?

3
2
 03 3 k
 
2 4 N
N 03  4
 03 
xn periódico com


N0  mmc N01 , N02 , N03  20


n  3 é periódico?
2

5. O sinal xn   cos5n   sin
01  5
01
2

5
k

2 N
não periódico
DEEC/ IST
Basta que uma das componentes não seja
periódica para que xn seja não periódico
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Sinais e Sistemas
Sistemas
sinal entrada
sistema
sinal saída
 Sistema contínuo: transforma sinais de entrada contínuos em sinais de saída contínuos;
 Sistema discreto: transforma sinais de entrada discretos em sinais de saída discretos.
Diagrama de blocos
paralelo
x
S1
S2
DEEC/ IST
série
+
S3
realimentação
S4
+
S5
y
S6
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Propriedades dos sistemas
1. Memória
Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempo
depende apenas da entrada nesse instante de tempo.
Exemplos:
vt 


i t  R
vt 
 

i t  C
DEEC/ IST

i t 
vt   Rit 
sistema sem memória
i t 
xn
yn  xn  1
sistema com memória
1 t
vt    i d
C 
sistema com memória
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Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
2. Causalidade
Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo depende
apenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.
Exemplos:
vt 


i t  R
vt 
 

i t  C
DEEC/ IST

i t 
vt   Rit 
Todos os sistemas sem memória
são causais.
sistema causal
i t 
1 t
vt    i d
C 
sistema causal
xn
yn  xn  1
sistema não causal
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Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
3. Invertibilidade e sistema inverso
Um sistema diz-se invertível quando sinais de entrada distintos conduzem a
sinais de saída distintos.
Exemplos:
yt   2 xt 
xt 
1
xn
sistema wt   y t   x t 
2
inverso
yn  x 2 n
sistema não invertível
sistema invertível
xn   yn
d
yt    x d sistema wt   y t   xt 

dt
xt 
t
inverso
sistema invertível
DEEC/ IST
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Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
4. Estabilidade
Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer
entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,
t, Bx  0 : xt   Bx  t, By  0 : yt   By
xn
Exemplos:
yn  nxn
n
1
yn    xn
2
xn
xn 1 n  yn  n
limitado
sistema estável
1
xn  Bx  y n    
2
1
n
xn   Bx
 Bx
xt 
não limitado
yt    x d
t

sistema
instável
xt   u1 t   yt    u1  d tu1 t 
t

limitado
DEEC/ IST
sistema
instável
não limitado
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Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
5. Invariância temporal
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal
de entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
xt   yt   xt  t0   yt  t0 
Exemplo:
xt 
yt    x d
t
Sistema invariante no tempo

x1 t   y1 t    x1  d  y1 t  t0  


t
t t 0

x2 t   y2 t    x2  d  
 x1 t  t0 
DEEC/ IST
t
t


 x1   t0 
x1  d
t t 0
x1   t0 d   x1  d
y2 t   y1 t  t0 

Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
5. Invariância temporal
Um sistema diz-se invariante no tempo quando uma translação temporal no sinal
De entrada conduz à mesma translação temporal no sinal de saída, i.e.,
xn  yn  xn  n0   yn  n0 
Exemplo:
xn
n
1
yn    xn
2
sistema variante no tempo
n
1
1
x1 n  y1 n    x1 n  y1 n  n0    
 2
 2
n
n
1
1
x2 n  y2 n    x2 n    x1 n  n0 
 2
2
 x1 n  n0 
DEEC/ IST
n  n0
x1 n  n0 
y2 n  y1 n  n0 
 x1 n  n0 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
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Propriedades dos sistemas
6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
xk t   yk t 
k  1,2,, K 
K
K
xt    ak xk t   yt    ak yk t 
k 1
k 1
Exemplos:
n
1
yn    xn
2
xn
xn   a1 x1 n   a2 x2 n 
sistema não linear
xt   a1 x1 t   a2 x2 t 
xt 
yt   sinxt 
yt   sina1 x1 t   a2 x2 t 
a1 y1 t   a2 y2 t   a1 sinx1 t   a2 sinx2 t 
n
1
yn     a1 x1 n   a2 x2 n 
sistema linear
2 n
n
1
1
 
 
 a1   x1 n  a2   x2 n  a1 y1 n  a2 y2 n
2
 2
DEEC/ IST
yt   a1 y1 t   a2 y2 t 
Isabel Lourtie
Sistemas e Sinais
Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
6. Linearidade
Um sistema linear é aquele que possui a propriedade da sobreposição, i.e.,
xk t   yk t 
k  1,2,, K 
K
K
xt    ak xk t   yt    ak yk t 
k 1
k 1
Propriedade: sistema linear  x(t )  0
t  yt   0 t 
Exemplo:
xt 
wt   3 t
yt   2 xt   3
xt   0 t  yt   3 t
sistema não linear
DEEC/ IST

xt 
sistema
linear
zt   2 xt 

 yt   2xt   3
sistema incrementalmente linear
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Sinais e Sistemas
Propriedades dos sistemas
1. Sistema com memória porque existe pelo menos um
instante de tempo para o qual o sinal de saída depende do
sinal de entrada num instante diferente, e.g.,y2  x3 .
3. Sistema não invertível porque x0 nunca é usado na
determinação de yn , e.g.,
x1 n   n 
x2 n  2 n 
y1 n  0 n
Exemplo
xn
xn  1; n  0
y n   
 xn  ; n  1

2. Sistema não causal porque existe pelo menos um
instante de tempo para o qual o sinal de saída
depende do sinal de entrada num instante
posterior, e.g., y2  x3 .
y2 n  0 n
4. Sistema estável porque yn  é limitado sempre que xn
é limitado, i.e.,
 xn  1 ; n  0
5. Sistema variante no tempo porque uma translação
xn   Bx n  yn   
 Bx n
no sinal de entrada não conduz à mesma translação
 xn  ; n  1
no sinal de saída, i.e.,
 x n  n0  1; n  n0
 x n  1; n  0
x1 n   y1 n    1
 y1 n  n0    1
 x1 n  ; n  1
 x1 n  n0  ; n  n0  1
 x n  1; n  0  x1 n  1  n0 ; n  0
x2 n   x1 n  n0   y2 n    2

 y1 n  n0  6. Sistema linear porque
 x2 n  ; n  1  x1 n  n0  ; n  1
satisfaz o princípio da
sobreposição, i.e.,
xn  a1 x1 n  a2 x2 n
a x n  1  a2 x2 n  1; n  0
 x n  1; n  0
 x n  1; n  0
yn    1 1
 a1  1
 a2  2
 a1 y1 n  a2 y2 n
; n  1
a1 x1 n  a2 x2 n 
 x1 n ; n  1
 x2 n ; n  1
DEEC/ IST
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