Mapa Logístico
Tiago A. Almeida
Walter Furloni
DT-FEEC-UNICAMP
Introdução
x( n1)  .xn (1  xn )
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1845 – Verhulst introduziu um modelo
populacional discreto para uma espécie
mantida em uma área fechada;
xn assume valores entre 0 e 1;
Um dos sistemas mais analisados e discutidos
dentro da área de caos;
1º Modelo Malthusiano de População
x( n1)  .xn
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Para µ < 1: redução contínua da população;
Para µ > 1: crescimento exponencial da desenfreado;
Necessidade: levar em conta limitações de recursos e de
espaço;
Solução: introdução do termo (1-xn) que conduz a uma
diminuição da população para valores altos da mesma, o que
contemplaria uma possível luta por recursos escassos,
doenças, etc.
Diagrama de Bifurcação
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0 < µ < 1 : extinção;
1 < µ < 3 : equilíbrio;
µ > 3 : ocilação periódica,
primeiro com período 2,
depois com período 4, 8, 16
e assim até um ponto de
acumulação onde começa a
ocorrer caos. Dentro da faixa
do caos, existem zonas onde
o sistema volta a ter
comportamento periódico;
µ > 4 : o sistema diverge;
Pontos de Equilíbrio e
Análise de Estabilidade
Pontos de Equilíbrio:

 xe1  0
xe  .xe (1  xe )  
1
x

2  1 
 e
Análise de Estabilidade:

 J ( xe1 )  J (0)  
J ( x)   (1  2 x)  
1
J
(
x
)

J
(
1


)  2

 e2
Em ambos os casos, o ponto fixo só será estável se:
| J ( xe ) | 1
, o que ocorre para o primeiro ponto na faixa: 0 < µ < 1
e para o segundo ponto na faixa: 1 < µ < 3
Diagrama de Teia
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Poderosa ferramenta para análise de mapas
unidimensionais;
Possibilita acompanhar a evolução da variável de
estado do sistema através das sucessivas iterações;
A base do diagrama consiste da: Função F(.), que
nada mais é que o campo vetorial discreto da
equação (seu papel é determinar as características
dinâmicas do mapa) e da função identidade (usada
como referência para a realização das iterações,
introduzindo a realimentação inerente aos mapas
discretos);
Diagrama de Teia
Cerne do diagrama para µ = 3
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Eixo x: valor presente no estado;
Eixo y: valor após uma iteração;
O diagrama nos dá a idéia de
como realizar uma vez o processo
iterativo. Mas, e depois?
Aí entra a função identidade:
através dela pode-se
“transformar” um valor de x(n+1) do
eixo y em um valor xn no eixo x;
Diagrama de Teia
Fixando µ = 3 e x(0) = 0.1 foram traçadas as duas primeiras iterações do mapa
Diagrama de Teia
Fixando µ = 0.5 e x(0) = 0.1
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Os pontos onde ocorrem
cruzamentos entre F(.) e a
função identidade são os
pontos de equilíbrio do mapa;
Neste caso, o cruzamento
ocorre apenas na origem, ou
seja, xe = 0 é o único ponto de
equilíbrio para este valor de
µ;
Diagrama de Teia
Fixando µ = 2.5 e x(0) = 0.1
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Encontramos dois pontos de
equilíbrio;
O primeiro, xe = 0, é instável.
Podemos verificar no
diagrama, verificando que
uma reta tangente à parábola
F(.), na origem, tem
coeficiente angular de
magnitude maior que a
unitária. Isto quer dizer que
|J(0)| > 1;
O segundo, xe = 0.6, é
estável;
Diagrama de Teia
Fixando µ = 3.3 e x(0) = 0.1
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Comportamento periódico
como esperado;
O estado não mais converge
para um ponto fixo, mas
tende a oscilar entre dois
valores (vértices do
quadrado);
Diagrama de Teia
Fixando µ = 4 e x(0) = 0.1
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Comportamento caótico
(natureza aperiódica);
Figuras como esta explicam
o fato de a nomenclatura
destes diagramas estar
associada à idéia de uma
teia de aranha.
Mapa Logístico
Simulação Virtual da evolução de
uma população conforme o passar
das gerações