ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Estimativa do Intervalo de Confiança para a Proporção
Equações:
p(1 p)
pZ
n
p  Z
ou
p(1 p)
p(1 p)
 π  p  Z
n
n
Premissa:
 As equações são válidas se n.π  5 e n.(1–π)  5
(distribuição binomial aproximada à distribuição
normal).
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exemplo
Uma amostra aleatória de 100 pessoas mostrou que 25 delas adquiriram algum plano de
aposentadoria neste ano, nos EUA. Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 95%
da verdadeira proporção da população americana que adquiriu algum plano de aposentadoria
neste ano.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Solução:
p  Z p(1 p)/n
 25/100  1,96 0,25(0,75)/100
 0,25  1,96 (0,0433)
(0,1651 ; 0,3349)
0,1651 ≤ π ≤ 0,3349
Pode-se afirmar com 95% de confiança que, neste ano, a proporção da população americana que adquiriu algum plano de
aposentadoria ficou entre 16,51% e 33,49%.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exercício
Um grande jornal deseja determinar a proporção de jornais impressos que
possuem algum atributo de não-conformidade, como excesso de tinta,
montagem inadequada de páginas, páginas faltando ou duplicadas. Uma
amostra aleatória de 200 jornais foi selecionada dentre todos os jornais
impressos durante um único dia. No que diz respeito a essa amostra, 35
continham algum tipo de não-conformidade. Construa uma estimativa do
intervalo de confiança de 90% para a proporção de jornais impressos
naquele dia que apresentou algum atributo de não-conformidade.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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INTERVALO DE CONFIANÇA
Exercício
Uma pesquisa realizada junto a 750 trabalhadores indagou sobre quanto os
mesmos utilizavam a internet no trabalho: 243 afirmaram utilizá-la dentro de
limites estipulados no local de trabalho e 183 afirmaram não utilizá-la no
local de trabalho.
 Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 90% para a
proporção de todos os trabalhadores que utilizaram a internet dentro de
limites estipulados no local de trabalho.
 Construa uma estimativa do intervalo de confiança de 99% para a
proporção de todos os trabalhadores que não utilizaram a internet no
local de trabalho.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Tamanho da Amostra para a Média Aritmética da População
O tamanho da amostra deve ser definido antes da coleta de dados para assegurar
que o intervalo de confiança seja extenso o bastante para ser efetivo em processos
decisórios.
Na prática, trata-se de um procedimento sujeito a restrições orçamentárias, prazos
exíguos e tolerâncias a erros.
Erro de Amostragem:
(Margem de Erro)
σ
XZ
n
eZ
σ
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Determinação do Tamanho da Amostra para a Média Aritmética da População
Equação:
Z2 σ 2
n
e2
onde:
Z = a partir do nível de confiança desejado
σ = desvio-padrão da população
e = erro de amostragem aceitável (margem de erro)
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Na maioria dos casos, o desvio-padrão da população σ é desconhecido. Para
contornar esse problema, pode-se escolher dentre os seguintes procedimentos:
 O desvio-padrão pode ser estimado a partir de dados do passado.
 Uma suposição bem fundamentada pode ser feita, levando em consideração a
amplitude e a distribuição da variável. Por exemplo, se for admitida uma
distribuição normal, σ é estimado como sendo igual à 1/6 da amplitude.
 Um estudo piloto pode ser conduzido e o desvio-padrão pode ser estimado a
partir dos resultados desse piloto.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Exemplo
Uma empresa necessita determinar um tamanho de amostra para apoiar estudos
sobre suas vendas. Deseja-se um erro de amostragem das vendas não superior a $
5, com 90% de confiança. Dados anteriores indicaram que o desvio-padrão das
vendas tem sido aproximadamente igual a $ 25 para períodos substanciais de
tempo.
 Determine o tamanho mínimo da amostra.
 É necessário supor normalidade da população?
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Solução:
Z2 σ 2 (1,645)2 (25)2
n

 67,65
2
2
e
5
Deve-se
arredondar o
resultado
obtido para o
valor inteiro
imediatamente
superior.
O tamanho mínimo da amostra é de 68 notas fiscais de vendas. Como n ≥
30, não é necessário supor normalidade da população (Teorema do Limite
Central).
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Exercício
Um alto gestor da área de energia necessita estimar a média
aritmética anual de todas residências consumidoras de óleo
para calefação. Será tolerado um erro de ±10 galões em
relação ao verdadeiro valor almejado, com uma estimativa de
95% de confiança. Com base em um estudo realizado no ano
anterior, acredita-se que o desvio-padrão pode ser estimado
em 325 galões. Encontre o tamanho da amostra necessário.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Determinação do Tamanho da Amostra para a Proporção
Equação:
Z 2 π (1 π)
n
e2
Erro de Amostragem:
(Margem de Erro)
σ
π (1 π )
eZ
Z
n
n
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Na maioria dos casos, a proporção da população π é
desconhecida. Na prática, esse valor pode ser obtido por meio
de um dos seguintes procedimentos:
 Um estudo piloto pode ser conduzido e a proporção pode ser
estimada a partir dos resultados desse piloto.
 Informações oriundas de passado recente.
 Na falta de informações, o valor estimado de π = 0,5 é a
forma mais garantida, pois gera o maior tamanho de amostra
possível.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Exemplo
Determine o tamanho de amostra necessário para que se saiba
a proporção de funcionários administrativos que respondem
mensagens de correio eletrônico em até uma hora. O resultado
deve atender a uma estimativa de 95% de confiança e um erro
tolerável de ±5%. Como não foi realizada pesquisa desse tipo
anteriormente, não há outras informações disponíveis para dar
suporte aos trabalhos.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Deve-se
Solução:
arredondar o
resultado
obtido para o
Z2 π (1 π ) (1,96)2 (0,5)(1 0,5)
valor inteiro
n


384,16
imediatamente
e2
(0,05)2
superior.
O tamanho mínimo da amostra é 385 funcionários.
ANÁLISE ESTATÍSTICA II
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TAMANHO DA AMOSTRA
Exercício
Um procedimento de auditoria em uma empresa exige 99% de
confiança ao estimar a proporção de todas as faturas de vendas
com erros, dentro dos limites de ±7% em relação à verdadeira
proporção da população. Resultados recentes indicaram que a
maior proporção de faturas com erros não foi maior do que
15%. Determine o tamanho da amostra necessário para
satisfazer os requisitos da auditoria.