INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA
MB-210: Probabilidade e Estatística
Lista 10:
Testes de Hipóteses
Prof. Denise Beatriz Ferrari
[email protected]
2o Sem/2013
1. Suponha que um alergista deseja testar a hipótese de que pelo menos 30% da população é alérgica
a lactose. Explique de que maneira o alergista poderia cometer:
(a) um erro do tipo I;
(b) um erro do tipo II.
2. Suponha que desejamos testar a hipótese:
Ho : µ = µo
Ha : µ > µo
com nível de significância α, e considerando a variância populacional σ 2 conhecida.
Mostre que o tamanho da amostra necessário para garantir que o poder do teste seja de 1 − β,
quando a média populacional é, de fato, µ = µo + δ, deve ser
n=
(zα + zβ )2 σ 2
δ2
3. Considere, agora, que desejamos comparar as médias de duas populações através do teste:
Ho : µ1 − µ2 = do
Ha : µ1 − µ2 > do
com nível de significância α, e considerando a variâncias populacionais σ12 e σ22 conhecidas.
Mostre que o tamanho da amostra necessário para garantir que o poder do teste seja de 1 − β, para
a hipótese alternativa, µ1 − µ2 = do + δ, deve ser
n=
(zα + zβ )2 (σ12 + σ22 )
δ2
4. Estima-se que proporção de alunos que escolheram Engenharia Aeronáutica como a primeira opção
para o vestibular do ITA do próximo ano seja p = 0,6. Para testar esta hipótese, uma amostra
aleatória de 15 alunos que prestarão o vestibular do ITA é selecionada. Se o número de optantes
por Engenharia Aeronáutica na amostra estiver entre 6 a 12, decidimos não rejeitar a hipótese nula
de que p = 0,6. Caso contrário, podemos concluir que p 6= 0,6.
(a) Determine o valor de α.
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(b) Calcule o valor de β para as alternativas p = 0,5 e p = 0,7.
(c) Explique se este é ou não um bom procedimento.
(d) Repita os itens (a)–(c), considerando que uma amostra de 200 candidatos foi entrevistada e
que não se pode rejeitar a hipótese nula para 110 ≤ x ≤ 130, em que x é o número de optantes
por Engenharia Aeronáutica na amostra. Explicite as considerações/aproximações adotadas
para a resolução do problema.
(e) O que se pode concluir comparando-se os resultados dos itens (a)–(c) e (d)?
5. Estudos revelam que a ingestão de grandes quantidades de sódio pode estar associada à ocorrência
de úlceras, câncer de estômago e enxaquecas. A quantidade máxima de sódio recomendada é de
220mg/dia, que é normalmente ultrapassada em uma única porção da maioria dos alimentos industrializados. Suponha que uma amostra de 20 porções de macarrão instantâneo tem quantidade
média de sódio de 244mg e desvio-padrão de 24,5mg. Este resultado sugere, a um nível de significância 0,05, que a quantidade média de sódio por porção de macarrão instantâneo é superior que a
recomendada? Considere população normalmente distribuída.
6. A capacidade de absorção de água é uma propriedade importante em fibras utilizadas na indústria
textil. A taxa de absorção de fibras de algodão foi medida com base em uma amostra de tamanho
25, resultando em média 20 e desvio-padrão 1,5. Uma amostra de 25 peças de acetato também
foi avaliada, observando-se taxa de absorção média de 12 e desvio-padrão 1,25. Com base nestes
dados, é possível concluir que a taxa média de absorção de fibras de algodão é significativamente
maior que a média para as fibras de acetato? Considere populações normais com variâncias iguais.
7. Um fabricante afirma que a carga média de ruptura de uma determinado material A excede a
carga média de ruptura do material B em, pelo menos, 12kg. A fim de testar esta conjectura, são
coletadas amostras de cada material, cada uma contendo 50 elementos. Estes são, então testados sob
as mesmas condições. A carga média observada para o material A é de 86,7kg com desvio-padrão
6,28. O material B apresentou média 77,8kg e desvio-padrão 5,61kg.
(a) A que conclusão se pode chegar a respeito da conjectura do fabricante, utilizando nível de
significância 0,05?
(b) Qual deve ser o tamanho das amostras a fim de que o poder do teste seja de 0,95 quando a
diferença real entre as cargas for de 8kg?
8. Um estudo foi conduzido a fim de determinar se o aumento da concentração de substrato apresenta
efeito significativo na velocidade de uma determinada reação química. A reação química foi realizada
15 vezes utilizando concentração de 1,5mol/l e apresentou velocidade média de 7,5µmol por 30
minutos e desvio-padrão de 1,5. A mesma reação foi realizada 12 vezes utilizando concentração
de 2,0mol/l e resultou em média 8,8µmol por 30 minutos e desvio-padrão de 1,2. Existe evidência
suficiente para acreditar que este aumento na concentração do substrato provoca um aumento na
velocidade média da reação maior que 0,5µmol por 30 min? Utilize nível de significância 0,01 e
assuma populações aproximadamente normalmente distribuídas com variâncias iguais.
9. Os dados na tabela abaixo representam os tempos de duração de filmes produzidos por duas companhias cinematográficas:
Companhia
A
B
102
81
Tempo (minutos)
86 98 109 92
165 97 134 87
114
Teste a hipótese de que o tempo médio de duração dos filmes produzidos pela companhia B excede
o tempo médio de duração dos filmes produzidos por A em 10 minutos. Utilize nível de significância
0,01 e assuma distribuições aproximadamente normais com variâncias diferentes.
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10. Um estudo foi realizado para estimar a proporção de residentes de duas cidades vizinhas que são
favoráveis à construção de uma usina nuclear em sua vizinhança. Observou-se que 63 dos 100
residentes da cidade A entrevistados são favoráveis enquanto que, para a cidade B, apeas 59 dos
125 entrevistados são favoráveis. É possível afirmar que existe uma diferença significativa nas duas
proporções? Utilize o valor-p do teste para chegar a uma conclusão.
11. Um experimento foi conduzido a fim de comparar a quantidade de álcool no molho de soja produzido
por duas fábricas de uma mesma companhia. A produção foi monitorada oito vezes por dia,
resultando nas seguintes observações:
A
B
0,48
0,38
0,39
0,37
0,42
0,39
0,52
0,41
0,40
0,38
0,48
0,39
0,52
0,40
0,52
0,39
Assuma populações normalmente distribuídas. Suspeita-se que a fábrica A não esteja produzindo
tão consistentemente quanto a fábrica B, em termos da concentração alcoólica do molho. Teste a
hipótese de que σ1 = σ2 contra σ1 6= σ2 , utilizando a abordagem do valor-p.
12. Suponha que num teste de hipóteses Ho : µ = µo seja rejeitada em favor de Ha : µ > µo a um
nível de significância α = 0,05. A hipótese nula será necessariamente rejeitada para α = 0,01?
Agora considere o mesmo teste, com Ho sendo rejeitada para α = 0,01. Isto significa que deverá
necessariamente ser rejeitada para α = 0,05? Justifique.
13. Sejam X1 , X2 , . . . , Xn e Y1 , Y2 , . . . , Ym a.a.’s independentes coletadas de populações normails com
variâncias σ 2 . É possível mostrar que
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V ar(SX
)=
2σ 4
n−1
e
V ar(SY2 ) =
2σ 4
m−1
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+ bSY2 .
Considere os estimadores não-viesados de σ 2 , dados pelas combinações lineares aSX
(a) Mostre que a e b devem satisfazer a + b = 1.
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(b) Mostre que V ar[aSX
+(1−a)SY2 ] é minimizada para a = (n−1)/(n+m−2) e, equivalentemente,
b = (m − 1)/(n + m − 2).
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