TESTES UNICAUDAIS DA MÉDIA DA POPULAÇÃO: O CASO DA
GRANDE AMOSTRA
Exemplo: A Confederação Federal de Comércio(CFC) realiza estudos para testar as declarações
de fabricantes sobre os seus produtos. Usaremos o exemplo de uma empresa que fabrica café, e
no rótulo do produto está a afirmação de que o recipiente contém pelo menos 3 quilos de café.
Vamos testar esta afirmação usando o teste de hipóteses.
1ª etapa: desenvolver as hipóteses nula e alternativa;
H0: μ≥3 quilos
Ha: μ<3 quilos
Se os dados da amostra indicam que H0 não pode ser rejeitado, nenhuma ação contra a empresa
deverá ser tomada.
Se os dados da amostra indicam que H0 pode ser rejeitado, há evidência de subenchimento e uma
multa seria apropriada.
Suponha uma amostra de 36 recipientes seja selecionada e que a média da amostra seja menor
que 3 quilos e começa a pairar uma dúvida com relação a hipótese de afirmação da empresa.
Quanto deverá ser menor a média da amostra para que a hipótese da empresa seja rejeitada?
O valor de z indica a distância que a média da amostra está da média da população que é igual a
3, em desvios-padrões, σ x , ou seja
σ
x
O valor de z = ( x - 3)/ x é o número de desvios-padrões que
está de μ = 3.
Para testes de hipóteses ao redor da média da população, usaremos z como uma estatística do
teste para determinar se
nula.
x
se desvia o suficiente de μ = 3 para justificar a rejeição da hipótese
x
está um desvio-padrão abaixo de μ = 3, um valor de z
Note que um valor de z = -1 significa que
= -2 significa que está 2 desvios-padrões abaixo de μ = 3 e assim por diante.
Obter-se um valor de z < -3 é improvável se a hipótese nula é verdadeira.
A questão-chave é: De que tamanho a estatística do teste z precisa ser antes que tenhamos
suficiente evidência para rejeitar a hipótese nula?
A Figura mostra que a probabilidade de se observar um valor para x de mais do que 1,645
desvios-padrões abaixo da média de μ = 3 é 0,05.
Por isso, se fôssemos rejeitar a hipótese nula sempre que o valor da estatística do teste
z = ( x - 3)/ σ fosse menor do que -1,645, a probabilidade de se cometer um erro do Tipo I seria
0,05.
x
σ
-1,645
x
Em conseqüência, estabelecemos a seguinte regra de rejeição.
Rejeitar Ho se z = (
x
σ
- 3)/
x
< - 1,645
Suponha que uma amostra de 36 recipientes forneça uma média de x = 2,92 quilos e que nós
sabemos por estudos prévios que o desvio-padrão da população é σ = 0,18. Com
, o valor da estatística do teste é dado por
z=
X −3
σ
X
=
=
2,92 − 3
=
0,18 / 36
σ
x
= 0,18/ 36
- 2,67
logo, este valor do teste está abaixo de –1,645, o que nos leva a rejeitar H0, e concluir que μ < 3.
Logo a estatística de teste é
zc =
x−μ
σx
onde
σx =
σ
n
Valor p
O valor p é a probabilidade de se observar uma média da amostra menor ou igual àquela que é
observada. O valor p é freqüentemente chamado de nível de significância observado.
Anteriormente, mostramos que a estatística de teste z = -2,67 corresponde a x = 2,92.
Assim, o valor p é a área na extremidade da distribuição normal-padrão de probabilidade para z = 2,67.
Usando a tabela da distribuição normal-padrão de probabilidade, encontramos que a área entre a
média e z = -2,67 é 0,4962.
Por isso, há uma probabilidade de 0,5000 - 0,4962 = 0,0038 de se obter uma média de amostra
que é menor ou igual ao observado
x = 2,92.
O valor p é, em conseqüência, 0,0038.
Critério do Valor p para o Teste da Hipótese
Rejeitar Ho se o valor p < α.
Logo α=0,05 e o valor p = 0,0038, nos leva à conclusão de rejeição de Ho.
Lista 9 – Teste de hipóteses para a média – grande amostra
1. Considere o seguinte teste de hipóteses.
Ho: μ ≥ 10 Ha: μ < 10
Uma amostra com n = 50 fornece uma média de amostra de 9,46 e um desvio-padrão da
amostra de 2.
a. Com α = 0,05, qual é o valor crítico para z? Qual é a regra de rejeição?
b. Calcule o valor da estatística de teste z. Qual é a sua conclusão?
2. Considere o seguinte teste de hipóteses.
Ho: μ ≤ 15 Ha: μ > 15
Uma amostra de 40 fornece uma média de amostra de 16,5 e um desvio-padrão de 7.
Com a = 0,02, qual é o valor crítico para z e qual é a regra de rejeição?
Calcule o valor da estatística de teste z.
Qual é o valor p?
Qual é a sua conclusão?
3. Considere o seguinte teste de hipóteses.
Ho: μ ≥ 25 Ha: μ < 25
Uma amostra de 100 é utilizada e o desvio-padrão da população é 12. Forneça o valor da
estatística de teste z e sua conclusão para cada um dos seguintes resultados da amostra. Use α
= 0,05.
a.
x = 22,0
b.
x = 24,0
c.
x = 23,5
d.
x = 22,8
4. Considere o seguinte teste de hipóteses.
Ho: μ ≤ 5 Ha: μ < 5
Considere as seguintes estatísticas de teste. Calcule os correspondentes valores p e tire as
apropriadas conclusões baseadas em α = 0,05.
a. z = 1,82. b. z = 0,45. c. z = 1,50.
d. z = 3,30.
e. z = -1,00.
5. Os americanos que deram entrada na declaração do imposto de renda de 1994 antes de 31
de março de 1995 têm uma restituição média de US$ 1.056 (USA Today, 5 de abril de 1995).
Considere a população de entregadores de "última hora" que despacharam suas declarações
durante os últimos cinco dias do período de entrega do imposto de renda (praticamente 10 de
abril até 15 de abril). .
a.Um pesquisador sugere que uma das razões para que os indivíduos esperem até os últimos
cinco dias para entregar suas declarações é que em média eles têm uma restituição mais baixa
do que os primeiros entregadores. Desenvolva hipóteses apropriadas tais que a rejeição de Ho
confirme a alegação do pesquisador.
b.Para uma amostra de 400 indivíduos que entregaram a declaração entre 10 de abril e 15 de
abril, a restituição média da amostra foi de US$910 e o desvio-padrão da amostra foi de US$
1.600. Com α= 0,05, qual é a sua conclusão?
c.Qual é o valor p para o teste?
6. Um levantamento da Nielsen forneceu a estimativa de que o número médio de horas gastas
diante da televisão por família é de 7,25 horas por dia (New York Daily News, 2 de novembro de
1997). Considere que o levantamento da Nielsen envolveu 200 famílias e que o desvio-padrão
da amostra foi de 2,5 horas por dia. Há dez anos o número médio de horas gastas diante da TV
por família da população foi relatado como sendo 6,70 horas. Sendo μ = o número médio da
população de horas gastas diante da televisão por família, teste as hipóteses Ho: μ ≤ 6,70 e Ha:
μ > 6,70. Use α = 0,01. Qual é a conclusão sobre qualquer mudança no tempo gasto diante da
televisão?
Respostas
1. a.-1,65 Rej. Ho se Zc<-1,65. b. Zc=-1,91, Rej. Ho.
2. a.2,05 Rej. Ho se Zc>2,05; b. Zc=1,36 c. vp=0,0869 d. Ac. Ho.
3. a.Zc=-2,50 Rej. Ho b. Zc=-0,83 Ac. Ho c. Zc=-1,25 Ac. Ho d. Zc=-1,83 Rej. Ho
4. a.0,0344 Rej. Ho b. 0,3264 Ac. Ho c. 0,0668 Ac. Ho d. 0,001 Rej. Ho e. 0,8413 Ac. Ho
5. a. Ho:μ≥1056 e Ha: μ<1056 b. Zc= -1,825 e Z= -1,65 Rej. Ho d. vp=0,0336
6. a. Ho:μ≤6,7 e Ha: μ>6,7 b. Zc= 3,107 e Z= 2,33 Rej. Ho