Mecânica e Ondas
fascı́culo 18
c 2008 Mario J. Pinheiro
Copyright °
All rights reserved
May 17, 2010
Contents
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
Oscilações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Movimento harmónico simples . . . . . . . . . .
Propriedades do MHS . . . . . . . . . . . . . .
Sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . .
Energia no movimento harmónico simples . . .
Circuito LC e o papel das analogias em Fı́sica .
Pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solução exacta do problema do pêndulo simples
Percussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mario J. Pinheiro
Departamento de Fı́sica e Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear
Instituto Superior Técnico
email: [email protected]
476
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
477
479
481
481
483
490
493
496
504
“All sciences are now under the obligation to prepare the ground for
the future task of the philosopher, which is to solve the problem of
value, to determine the true hierarchy of values. ”
- Friedrich Nietzsche, filósofo alemão (1844-1900)
18.1
Oscilações
Os fenómenos periódicos são todos aqueles que repetem a intervalos regulares
alguma variaável independente:
• movimento orbital dos planetas;
• relógio pendular;
• sistema massa-mola;
• vibrações atómicas.
O movimento oscilatório é todo o fenómeno periódico no tempo. O movimento ondulatório resulta de perturbações periódicas que se propagam no espaço
(ex.: ondas electromagnéticas, ondas sonoras, ondas em lı́quidos,...). Estes exemplos sugerem que o movimento ondulatório é o método natural de transmissão
de energia.
É conveniente classificar os movimentos periódicos em duas categorias:
Vibração : o objecto em movimento permanece em torno de um estado médio
ou, em particular, de um estado de equilı́brio ⇒ vibração
Oscilação : o objecto pode deslocar-se de um ponto do espaço para outro,
como acontece numa onda sonora. É um tipo de fenómeno que ocorre
em sistemas fı́sicos, mas que também ocorre frequentemente em sistemas
biológicos (ex., ritmos circadianos 1 ) e nas próprias sociedades humanas
(ex., conflitos étnicos).
O domı́nio coberto por estes tipos de fenómenos é muito vasto e constitui um objecto de estudo para o cientista e engenheiro e tem inúmeras aplicações técnicas.
As vibrações podem ser um fenómeno provocado, por exemplo dedilhando as
cordas de uma guitarra, ou gerando uma corrente eléctrica alternada. Pode
também ser um fenómeno que se procura evitar, por exemplo, as vibrações
1 Ritmo (ou ciclo) circadiano, designa em Latim “circa diem”, o que significa “cerca de
um dia”. É o perı́odo de aproximadamente 24 horas constituindo o ciclo biológico do corpo
humano e de todos os seres vivos, influenciado pela luz solar e por fenémenos astronómicos
em geral.
477
numa viatura devido a uma peça excêntrica, os ruı́dos indesejáveis do motor de
uma aeronave, etc.
O movimento ondulatório mais simples - e igualmente o mais importante na
compreensão deste tipo de fenómenos - consiste na vibração de uma partı́cula
em torno de uma posição de equilı́brio, por exemplo, actuada pela força elástica
de Hooke. Esta força é proporcional ao deslocamento da partı́cula e é “restauradora”, no sentido em que dá origem a um movimento para cá e para lá em
torno da posição de equilı́brio. Este tipo de vibração, a que está associada uma
só frequência (onda monocromática), é chamado de “Movimento harmónico simples” (com frequência abrevia-se com as siglas MHS). No movimento mais simples, uma partı́cula oscila entre duas posições espaciais num perı́odo indefinido
de tempo sem perda de energia mecânica.
Em sistemas reais as forças de atrito reduzem (dissipam) a energia mecânica e
as oscilações são atenuadas. Se uma força externa é aplicada de tal modo que a
perda de energia é equilibrada pela energia que entra no sistema, o movimento
é dito forçado.
Todas as oscilações que resultam da elasticidade da matéria são MHS, ou compostos de MHS, como por exemplo:
• pêndulo;
• diapasão;
• instrumento de cordas;
• oscilação dos edifı́cios, pontes,...
As forças dissipativas (atrito) estão na origem do movimento quase-periódico
fazendo com que as oscilações decaiam com o tempo.
Uma oscilação pode apresentar-se na forma de uma função periódica simples,
uma função trigonométrica seno ou co-seno. Mas o matemático francês Joseph
Fourier mostrou que:
qualquer movimento finito periódico pode ser representado como
o somatório de um número apropriado de movimentos harmónicos
simples.
São as séries de Fourier.
Um princı́pio básico muito importante afirma que em qualquer fenómeno
periódico, deslocamentos suficientemente pequenos a partir dum ponto de
equilı́brio estável resulta em movimentos harmónico simples em torno do
valor mı́nimo do potencial.
Começaremos então o estudo das oscilações pelo estudo do movimento harmónico
simples.
478
Figure 1: Deslocamento versus tempo para uma partı́cula descrevendo o movimento harmónico simples. A amplitude do movimento é A e o perı́odo T .
18.2
Movimento harmónico simples
Uma partı́cula movendo-se ao longo do eixo Ox descreve MHS quando o seu
deslocamento a partir do estado de equilı́brio varia com tempo na forma geral:
x(t) = A cos(ωt + δ),
(18.1)
onde A, ω e δ são constantes. A Fig. 1 apresenta o gráfico dessa função do tipo
co-seno.
A : Amplitude do movimento - é o deslocamento máximo do movimento em
ambas as direcções;
ω : Frequência angular do movimento (em unidades de rad/s);
δ : constante de fase (ou “ângulo de fase”) (quantidade adimensional).
A e δ são determinados pelo deslocamento inicial e velocidade inicial da
partı́cula, em t = 0 (as chamadas condições iniciais). Chama-se a (ωt + δ) a fase
do movimento. x(t) é uma função peródica que se repete quando ωt aumenta
de 2π. Portanto, um processo estritamente periódico satisfaz a relação:
F (t) = F (t + T ).
(18.2)
O perı́odo T é o tempo necessário para a partı́cula descrever um ciclo completo
do seu movimento:
ωt + δ + 2π = ω(t + T ) + δ
T = 2π
ω (s)
(18.3)
ω
f = ν = T1 = 2π
(Hz)
−1
ω = 2πf = 2pi
)
T (s
479
Figure 2: Representação gráfica do movimento harmónico simples: a) deslocamento versus tempo; b) velocidade versus tempo, c) aceleração versus tempo.
Repare que a velocidade encontra-se 90o fora de fase com o deslocamento e a
aceleração está 180o fora (em oposição) de fase com o deslocamento.
A velocidade de uma partı́cula sujeita ao MHS é dada por:
v=
dx
= −ωA sin(ωt + δ),
dt
(18.4)
e a aceleração da partı́cula é dada por:
a=
dv
dt
= −ω 2 A cos(ωt + δ)
a = −ω 2 x(t).
(18.5)
Os valores extremos de v são ±ωA.
Os valores extremos de a são ±ω 2 A.
vmax = ωA
amax = ω 2 A
(18.6)
Seja x = A cos(ωt + δ). A amplitude A e a constante de fase δ devem ser
apropriadamente escolhidas de modo a verificarem as condições iniciais do
movimento.
Suponha assim que essas condições iniciais em t = 0 são x = xo e v = vo .
Obtém-se:
x = A cos(ωt + δ) ⇒ xo = A cos δ
v = −ωA sin(ωt + δ) ⇒ vo = −ωA sin δ
(18.7)
vo
∴ tan δ = − ωx
o
480
É fácil verificar que:
x2o + ( vωo )2 = A2 p
cos2 δ + A2 sin2 δ = A2
∴ A = x2o + ( vωo )2 .
18.3
(18.8)
Propriedades do MHS
O estudo anterior permite-nos concluir o seguinte:
1. O deslocamento, a velocidade e a aceleração variam sinusoidalmente com
o tempo, mas não estão em fase;
2. A aceleração da partı́cula é proporcional ao deslocamento, mas dirigem-se
em sentidos opostos;
3. A frequência e o perı́odo do movimento são independentes da amplitude.
Se x(t) representa o movimento da partı́cula de massa m, então:
F = ma(t)
= −mω 2 x
18.4
(18.9)
Sistema massa-mola
Considere um sistema constituı́do por uma massa m ligada a uma mola com
constante elástica k e movendo-se numa superfı́cie horizontal sem atrito (Fig. 3).
Se a mola estiver esticada de uma quantidade x a partir da sua posição de
equilı́brio, a massa é actuada por uma força restauradora linear proporcional
ao deslocamento (lei de Hooke) e sempre dirigida para o ponto de equilı́brio,
oposta ao deslocamento:
F (x) = −kx.
(18.10)
Sob a acção desta força, a equação do movimento de m é imediatamente obtida:
m
d2 x
= −kx,
dt2
(18.11)
ou ainda, numa forma mais conveniente,
d2 x
k
+ x = 0.
dt2
m
(18.12)
Seja ω 2 = k/m. A equação do movimento pode-se assim escrever na forma
usual:
d2 x
(18.13)
+ ω 2 x = 0.
dt2
481
Figure 3: Sistema massa-mola
Vamos agora assumir uma solução da forma:
x = A cos(ωt + δ)
v = dx
dt = −ωA sin(ωt + δ)
d2 x
a = dt2 = −ω 2 A cos(ωt + δ) = −ω 2 x
(18.14)
Verificamos logo que a solução proposta verifica de facto a equação diferencial
2
de segunda ordem ( ddt2x + ω 2 x = 0), onde
q
k
ω= m
pm
T = 2π
(18.15)
ω = 2πq k
f=
1
T
=
1
2π
k
m.
Note que a solução matemática da Eq. 18.87 pode ser escrita na forma assinalada, ou nas duas seguinte formas equivalentes:
x(t) = A sin(ωt + δ)
x(t) = A cos ωt + B sin ωt.
(18.16)
Podemos em seguida considerar alguns casos particulares.
18.4.1
Caso particular I:
A massa m é colocada na posição A, distante de A da posição de equilı́brio e
libertada a partir daı́, dessa posição em que a mola se encontra esticada (Fig. 4):
x(t = 0) = A
v(t = 0) = 0
∴ x(t) = A cos ωt
v = dx
dt = −ωA sin ωt
2
a = ddt2x = −ω 2 A cos ωt
482
(18.17)
Figure 4: Sistema massa-mola que parte do repouso em xo = A. Neste caso
δ = 0 e x = A cos ωt.
A Fig. 5 mostra os gráficos respectivos afectos a esse movimento.
18.4.2
Caso particular II:
A massa m parte da posição relaxada movendo-se para a direita com velocidade
inicial vo (Fig. 6).
x(t = 0) = 0
(a)
v(t = 0) = vo
(b)
0 = A cos(δ)
(c)
vo = −ωA sin(δ) (d)
(18.18)
Da Eq. 18.18-(c), obtém-se: δ = ± π2
Da Eq. 18.18-(d), concluı́mos que a escolha acertada é: δ = − π2 e A = vo /ω.
∴ x = vωo cos(ωt − π2 )
x = vωo sin ωt.
(18.19)
e, da mesma forma obtemos ainda:
v = vo cos ωt
a = −ωvo sin ωt
18.5
(18.20)
Energia no movimento harmónico simples
Vamos agora calcular os valores instantâneos da energia cinética e potencial,
assim como os seus valores médios.
Supondo que não há atrito, a energia mecânica total conserva-se:
K=
1
1
mv 2 = mω 2 A2 sin2 (ωt + δ).
2
2
483
(18.21)
Figure 5: Deslocamento, velocidade e aceleração versus tempo para uma
partı́cula submetida a um MHS, sob as condições iniciais, xo (t = 0) = A e
vo (t = 0) = 0.
Figure 6: Sistema massa-mola começa o seu movimento da posição de equilı́brio,
xo (t = 0) = 0. Se a velocidade inicial é vo para a direita, então x = vωo sin ωt.
484
A energia potencial elástica armazenada na mola para qualquer posição x é
U=
1 2
1
kx = mA2 cos2 (ωt + δ).
2
2
(18.22)
Usando ω 2 = k/m, a energia total é dada por
E =K +U =
1 2
kA [sin2 (ωt + δ) + cos2 (ωt + δ)].
2
(18.23)
Obtemos finalmente a expressão geral da energia do movimento harmónico simples:
1
E = kA2 .
(18.24)
2
A energia do MHS é uma constante do movimento e é proporcional ao
quadrado da amplitude do movimento. A Fig. 7 mostra K e U em função do
tempo e da amplitude.
Na sequência do curso necessitamos de introduzir o conceito de média temporal de uma dada função f (t):
hf (t)i ≡
1
T
Z
T
f (t)dt.
(18.25)
0
A média temporal de sin2 (ωt + δ) ou de cos2 (ωt + δ), tem o valor de 1/2 para
cada um dos integrais temporais:
1
hcos (ωt + δ)i ≡
T
Z
T
2
ou
hsin2 (ωt + δ)i ≡
1
T
cos2 (ωt + δ)dt =
1
,
2
(18.26)
sin2 (ωt + δ)dt =
1
.
2
(18.27)
0
Z
T
0
A Fig. 8 resume as definições e equações do movimento harmónico simples
(MHS).
Como a energia mecânica total é E = K + U , verificamos também que
1
1
1
2
2
2
E = K + U =q
2 mv + 2 kx = 2 kA
k
v=± m
(A2 − x2 ).
(18.28)
A energia cinética instantânea e o seu valor médio são dados por
K =R 12 mẋ2 = 12 m[ωA cos(ωt + δ)]2
< K >=
T
0
K(t)dt
T
= 12 mω 2 A2
485
R 2π/ω
0
cos2 (ωt+δ)
2π
ω
.
(18.29)
Figure 7: (a) Energia cinética e energia potencial versus tempo para o caso
do movimento harmónico simples com δ = 0; (b) K e U versus deslocamento.
Verifica-se sempre E = K + U = Const.
Figure 8: Definições e equações do movimento harmónico simples (MHS).
486
Figure 9: Movimento harmónico simples do sistema massa-mola e a sua analogia
com o pêndulo simples. Os parâmetros na Tabela à direita referem-se ao sistema
massa-mola, assumindo-se que x(t = 0) = A, donde x = A cos ωt.
Como calculamos o valor do integral sobre um perı́odo completo, o valor da fase
é irrelevante e podemos pôr δ = 0:
R 2π/ω 1
ω
< K >= 12 mω 2 A2 2π
2 (1 + cos(2ωt))dt
0R
2π/ω
ω 2π
= 21 mω 2 A2 2π
(ω + 0
cos(2ωt)dt)
(18.30)
1
= 12 mω 2 A2 [ 12 + 2ω
(sin 4π − sin 0)]
< K >= 14 mω 2 A2 .
Aplicando o mesmo tipo de procedimento à energia potencial, obtemos o valor
médio da energia potencial:
< U >=
1
mω 2 A2 .
4
(18.31)
Assim, concluı́mos que:
(18.32)
< K >=< U > .
Isto é, a energia cinética média iguala a energia potencia média, sendo que a
energia mecânica total permancece constante e igual a
E =< K > + < U >=< E >=
1
mω 2 A2 .
2
(18.33)
Exemplo 1: Sistema massa-mola horizontal, sem atrito.
m = 0.50 kg, F = 7.5 N é a força exercida quando a mola é esticada 3.0 cm a
partir da sua posição de repouso.
a) Qual é a constante elástica da mola?
k=
7.5N
−F
=
= 250N/m.
x
0.03
487
(18.34)
b) Qual é a frequência angular de vibração do sistema?
q
q
k
ω= m
= 250
0.5 = 22.36rad/s
ω
ν = 2π
= 3.56Hz
T = ν1 = 0.281s.
(18.35)
Suponha que no instante inicial t = 0 o sistema massa-mola é comprimido 5.0
cm e depois liberto.
c) Qual é a equação do movimento, o valor máximo de v(t) e a(t)?
QuadroNegro 1
Exemplo 2: Sistema massa-mola no campo gravı́tico (Fig. 10).
A equação do movimento é dada por
P
2
Fy = −ky + mg
m ddt2x =
= −k(y − mg
k )
488
(18.36)
Figure 10: Sistema massa-mola no campo gravı́tico.
Figure 11: Massa entre duas molas no plano horizontal.
Quando a mola está em repouso, em equilı́brio com a massa suspensa, a aceleração é nula:
X
mg
Fy = 0 = −kyo + mg ⇒ yo =
(18.37)
,
k
sendo yo = mg/k o ponto de equilı́brio da massa medido no eixo vertical. Podemos tirar partido deste facto de modo a fazer uma apropriada mudança de
variável que simplifica a equação do movimento oscilatório para a forma usual:
ξ = y − mg
k
2
m ddt2ξ = m ddt2y = −kξ
ξ = A cos(ωt + δ)
y(t) = ξ + mg
k
y(t) = A cos(ωt + δ) + mg
k .
2
(18.38)
Como vemos, obtemos o MHS com o deslocamento y medido a partir da posição
de equilı́brio quando a mola está esticada da quantidade d = mg/k (Fig. ??).
A frequência das oscilações é igual à que foi encontrada no problema anterior.
Exemplo 3: Massa entre duas molas em movimento horizontal (Fig. 11).
QuadroNegro 2
489
18.6
Circuito LC e o papel das analogias em Fı́sica
Nas oscilações a variável x representa um deslocamento. Vamos em seguida
mostrar que noutros sistemas fı́sicos , usando outras grandezas fı́sicas, poderemos obter equações matematicamente equivalentes. Podemos estabelecer analogias entre diferentes tipos de fenómenos estabelecendo uma correspondência
biunı́voca entre as diferentes variáveis.
Apresentamos na Tabela 1 as analogias entre variáveis.
Exemplo 4: À equação do sistema massa-mola:
m
d2 x
+ kx = 0
dt2
(18.39)
corresponde a equação análoga do circuito eléctrico LC:
L
d2 q
1
+ q = 0,
dt2
C
(18.40)
donde concluı́mos com base nesta analogia que os perı́odos respectivos de oscilação são dados por
√
p
(18.41)
T = 2π LC; T = 2π m
k
Exemplo 5: De modo semelhante podemos inferir da equação do oscilador
harmónico com atrito a equação matematicamente análoga:
L
d2 q
dq
q
+R +
=0
dt2
dt
C
(18.42)
e, no caso de o sistema eléctrico se encontrar sob a acção de oscilações sinusoidais
forçadas da diferença de potencial eléctrica (ou tensão) de pulsação ω:
L
d2 q
dq
q
+R +
= V cos(ωt).
dt2
dt
C
(18.43)
Vejamos o circuito LC ilustrado na Fig. 12. Sabemos que a tensão nos polos da
bobina é dada pela expressão
di
VL = L
(18.44)
dt
e a tensão eléctrica nos polos do condensador é dada por
Z
Q
1
VC =
=
i(t)dt
(18.45)
C
C
Segundo a Primeira Lei de Kirchoff (lei das malhas) 2 :
V − VL − VC = 0.
2 Esta
matéria será estudada em Electromagnetismo no 2o ano.
490
(18.46)
Figure 12: Circuito oscilante LC.
A lei das malhas diz-nos que num circuito fechado a soma algébrica de todas as
tensões num circuito qualquer fechado é igual a zero. Portanto, temos a seguinte
equação:
Z
di
1
−L −
idt = −V,
(18.47)
dt C
R
ou então, servindo-nos da expressão Q = − idt:
L
d2 Q
1
+ Q = −V
dt2
C
(18.48)
Por analogia com o problema do sistema massa-mola podemos desde já adivinhar
que a solução será do tipo
i(t) = io sin ωt
(18.49)
q
1
onde ω = LC
. Podemos assim determinar a diferença de potencial nos terminais da inductância (bobina) e do condensador:
q
L
VL = −Li̇ = −Lωio cos ωt = − C
i
q
(18.50)
R
1
L
i= C
i.
VC = − C1 i(t)dt = C1 iωo cos ωt = ωC
Em particular, verificamos que as amplitudes são iguais, mas de sinais contrários.
É importante referir que os sistemas mecânicos podem ser representados e estudados pelos seus circuitos eléctricos equivalentes, daqui a importância das analogias. Torna-se mais fácil e económico construir um pequeno circuito eléctrico
491
Table 1: Analogias mecânicas-eléctricas
Sistema mecânico
Sistema eléctrico
Segunda Lei de Newton
Primeira Lei de Kirchoff
Grau de liberdade (x, θ,...)
Circuito (Q,...)
Força aplicada
Interruptor fechado
Força
V - voltagem
Massa
Inductância (Henry)
x - deslocamento
q - carga (C)
ẋ - velocidade
i - corrente do circuito (A)
h - amortecimento
R - resistência (Ω)
1
k - constante elástica da mola
C - capacitância (1/F )
equivalente do que construir o model do sistema mecânico correspondente. Na
Tabela 1 mostramos as analogias referidas.
Exemplo 6: Determine o lagrangeano e o hamiltoniano de um pêndulo
movendo-se na vertical com massa m e comprimento L.
As energias cinética e potencial são dadas por:
K = 12 mv 2 = 12 mL2 θ̇2
U = −M gL cos θ
(18.51)
Donde se pode escrever o lagrangiano:
L=T −U =
1
mL2 θ̇2 + mgL cos θ
2
(18.52)
Por sua vez, o hamiltoniano é:
H = pq̇ − L
H = E = θ̇ ∂L
−L
∂ θ̇
(18.53)
O momento conjugado é dado por:
p=
∂L
= mL2 θ̇.
∂ θ̇
(18.54)
e daqui resulta a expressão completa do hamiltoniano
1
1
H = mL2 θ̇2 − mL2 θ̇2 − mgL cos θ = mL2 θ̇2 − mgL cos θ.
2
2
(18.55)
As equações do movimento obtêm-se a partir da sucessão calculatória:
d ∂L
∂L
dt ∂ θ̇ − θ = 0
∂L
∂θ = −mgL sin θ
∂L
= mL2 θ̇
∂ θ̇
d ∂L
2
dt ∂ θ̇ = mL θ̈
2
∴ M L θ̈ + mgL sin θ = 0
θ̈ + Lg sin θ = 0.
492
(18.56)
Como se obtém o momento conjugado, p?
Repare que L = pq̇ − H, onde q̇ é a velocidade generalizada.
∂L
∂ q̇
=p−
∂H ∂q
∂q ∂ q̇
+ q̇ ∂p
∂ q̇ = p + (q̇ −
∴ p = ∂L
∂ q̇
∂H ∂p
∂p ) ∂ q̇
(18.57)
onde usámos a segunda equação de Hamilton, q̇ = ∂H/∂p.
18.7
Pêndulo simples
Resolvemos na Secção precedente o problema do pêndulo simples aplicando o
método dos lagrangianos. Iremos agora obter a solução do movimento usando a
equação fundamental do movimento rotacional e aplicando o método da energia
mecânica total.
18.7.1
Método do torque
Considere uma massa pontual m suspensa num ponto O de um fio de massa
desprezável e comprimento L. O movimento ocorre no plano vertical alimentado
pela força gravı́tica (Fig. 13).
→
−
→
As forças actuantes sobre a massa m são a tensão da corda T e o peso m−
g. A
→
−
componente tangencial de m g constitui uma força restauradora, sempre agindo
na direcção da vertical em θ = 0. Podemos escrever as equações seguintes:

2
Ft = −mg sin θ = m ddt2s

s = Lθ


v
= L dθ
dt

 τ = Io α = −F L = −mgL sin θ


mL2 θ̈ = −mgL sin θ
g
d2 θ
dt2 + L sin θ = 0.








(18.58)
Para pequenos ângulos θ ¿ 1, (θ em radianos):
sin θ ≈ θ −
θ3
+ ...,
3!
(18.59)
e a equação do movimento toma a forma simplificada
d2 θ
g
+ θ ' 0.
2
dt
L
(18.60)
A solução geral desta equação apresenta-se na seguinte forma:
θ = θo cos(ωt + δ),
493
(18.61)
Figure 13: Quando θ é pequeno, o pêndulo simples tem um movimento
harmónico simples em torno do equilı́brio (θ = 0). A força restauradora é a
componente tangencial ao cı́rculo, mg sin θ.
onde a frequência angular é determinada pela equação:
r
g
ω=
.
L
(18.62)
Basta substituir a Eq. 18.61 na Eq. 18.60 para confirmarmos que essa é de facto
uma solução possı́vel.
Concluimos de imediato que, na aproximação das pequenas amplitudes angulares, o perı́odo ou a frequência natural do pêndulo simples depende apenas
do comprimento do fio e da aceleração da gravidade.
Podemos alternativamente resolver o mesmo problema por um método diferente,
usando a noção de torque. Se o eixo vertical for Oz e para a direita orientarmos
o eixo Oy, podemos fazer o cálculo anterior usando os vectores com todo o
cuidado:
−
→
−
→
−
→
→
r = L−
u r = L sin θ j − L cos θ k .
(18.63)
−
→
−
→
→
τ = [−
r × F ].
→
A fim de calcularmos −
τ , podemos usar a notação matricial:
 →
−
i
−
→
−
→
−
τ = [→
r × F]= 0
0
→
−
j
L sin θ
0
→
−
→
−
τ = i (−mgL sin θ)
494

−
→
k
−L cos θ 
−mg
(18.64)
(18.65)
→
−
Ora, o momento angular L o em relação ao eixo que passa por O é dado por:
 →

−
→
−
−
→
i
j
k
−
→
→
→
(18.66)
L o = [−
r ×−
p]= 0
L sin θ
−L cos θ 
0 mLθ̇ cos θ mLθ̇ sin θ
−
→
−
→
−
→
L o = i (mL2 θ̇ sin2 θ + mL2 θ̇ cos2 θ) = i L2 θ̇m.
(18.67)
Recorrendo agora à lei fundamental da dinâmica rotacional, obtemos a
equação do movimento harmónico simples (MHS):
→
−
dL
dt
−
=→
τ
−mgL sin θ = mL2 θ̈
∴ θ̈ + Lg sin θ = 0.
18.7.2
(18.68)
Método da energia mecânica total
Por último, poderı́amos resolver o mesmo problema clássico da mecânica através
do método mais sofisticado da energia mecânica total. Trata-se em primeiro
lugar de obter as expressões da energia potencial e energia cinética, somando
ambas as partes no termo de energia mecânica total, E. Resolvemos a equação
da energia em ordem a θ̇:
U (h) = mgL(1 − cos θ)
K = 12 mv 2 = 12 mL2 θ̇2
E = H = K + U = 12 mL2 θ̇2 + mgL(1 − cos θ)
2
cos θ ' 1 − θ2 + ...
1
1
2 2
2
E
2 mgLθ
q= 2 mL θ̇ + p
q
2
2E−mgLθ
2E
∴ dθ
= Lg mgL
− θ2
dt =
ml2
(18.69)
A amplitude máxima do movimento de oscilação é θo , sendo os pontos de retorno
θo e −θo . Nesses pontos o pêndulo está momentaneamente em repouso, isto é,
θ̇ = 0.
2E
E = 12 mgLθo2 ⇒ θo = mgL
pgp
dθ
θo2 − θ
dt =
L p
g
√ dθ
=
L dt
θo2 −θ 2
p Rt
Rθ
√ dθ
= Lg 0 dt
(18.70)
2 −θ 2
θ1
θ
o
³ ´
¡
¢
p
∴ arcsin θθo − arcsin θθ1 = Lg t
¤
£p g
θ1
⇒ θθo = sin
L t + arcsin θ
∴ θ = θo sin(ωt + δ).
Nesta última equação estão identificadas a pulsação angular ω e a fase δ:
³ ´
p
ω = Lg ; δ = arcsin θθo1 .
(18.71)
As três quantidades θo , θ1 e δ são importantes e o seu significado é o seguinte:
495
Figure 14: Energia potencial versus amplitude.
1. θo é a amplitude máxima da oscilação;
2. θ1 é o ângulo de onde partiu o movimento em t = 0;
3. δ é uma constante do movimento. As condições iniciais determinam δ.
18.8
Solução exacta do problema do pêndulo simples
Como já vimos, a energia do pêndulo simples é dada pela expressão:
E=
1
mL2 θ̇2 + mgL(1 − cos θ).
2
(18.72)
Esta pode ser reescrita numa forma mais conveniente por forma a construirmos
as trajectórias de fase do sistema dado no espaço de fase:
2
θ̇2 = mL
2 [E − mgL(1 − cos θ)]
2g
2g
2E
2
θ̇2 = mL
−
2
L + L cos θ = C + 2ωo cos θ.
Aqui a constante C do sistema define-se pela expressão:
¡ 2E
¢
2g
C ≡ mL
; ωo2 ≡ Lg .
2 − L
(18.73)
(18.74)
Suponhamos que se deixa cair o pêndulo inicialmente em repouso da posição
−π < θo < π. Desprezando o efeito do atrito, esperamos que para pequenos
movimentos θ̇ = 0 quando θ = ±θo . Se comunicarmos um grande impulso à
massa m, o pêndulo dará uma volta completa (ou mais voltas) e θ(t) continuará
a aumentar sem que θ̇ se anule em nenhum ponto.
496
Com efeito, a expressão anterior permite construir as trajectórias de fase do
sistema dado e traçar sobre o espaço de fase 3 um retrato geral do sistema,
como está ilustrado no QuadroNegro 3.
QuadroNegro 3
Dois tipos de trajectórias de fase correspondem a dois tipos de movimento.
Podemos depreender o seguinte da Figura traçada no QuadroNegro 3:
• Se E = 0, então C = −2ωo2 e o pêndulo fica em repouso no ponto (θ̇ =
0, θ = 0);
• Em θ = 2π, repete-se situação idêntica nas coordenadas do tipo θ̇ = 0 e
θ = 2nπ (n = ±1, ±2, ...) correspondendo aos pontos singulares do tipo
“centro”. As trajectórias fechadas em torno deste ponto representam pequenos movimentos pendulares em torno da posição de equilı́brio inferior
estável onde a energia potencial é mı́nima.
• Os pontos singulares θ̇ e θ = (2n − 1)π, do tipo “colo” correspondem à
posição de equilı́brio superior, onde a energia potencial atinge o seu valor
máximo.
• Os curvas limite correspondem a E = 2mgL.
Repare que a energia E não pode ser negativa e temos que
C ≥ −2ωo2 ,
(18.75)
que correspondem às duas situações extremas
θ̇2 = C + 2ωo2 > 0
θ̇2 = C − 2ωo2 < 0.
3 Neste
(18.76)
problema a 1 dimensão, trata-se de um espaço abstracto de dimensão N=2, (θ̇, θ).
497
As curvas fechadas correspondem aos valores de C para os quais se verifica
−2ωo2 < C < 2ωo2 ⇒ E ≤ 2mgL.
(18.77)
Calculemos o perı́odo da oscilação. A amplitude máxima é obtida quando θ̇ = 0:
⇒ cos θo = −
C
2ωo2
(18.78)
É claro que o perı́odo é 4 vezes o tempo necessário para ir de θ = 0 a θ = θo :
p
dθ
= 2ωo2 cos θ + C
dt
Rθ
R
(18.79)
dθ
∴ T = 4 0 o √ 2 dθ
= √ 4 2 0θo √cos θ−cos
.
θ
2ωo cos θ+C
2ωo
o
Transformemos este integral, introduzindo a nova variável ψ:
∴T =
4
ωo
sin ψ ≡
R π/2
√
0
sin θ/2
sin θo /2
dψ
1−sin2 ( θ2o sin2 ψ)
≡
2π
ω .
(18.80)
Mostra-se que
1 2
(18.81)
θ + ...)
16 o
Concluı́mos que, quando a amplitude é grande, a frequência do pêndulo depende
da amplitude: as oscilações do sistema são não isócronas.
ω ' ωo (1 −
Exemplo 7: Pêndulo fı́sico.
Qualquer corpo rı́gido suspenso de um eixo fixo que não passa pelo seu CM
oscilará sempre que fôr deslocado da sua posição de equilı́brio. Suponhamos
que se coloca um “pivot” a uma distância d do CM de um corpo, tal como se
encontra ilustrado na Fig. 15.
O torque fornecido pelo campo gravı́tico é dado por
τ = Iα
2
−mgd sin θ = I ddt2θ
2
mgd
d θ
dt2 + I θ = 0(θ ¿ 1)
θ = θo cos(ωt + δ)
onde
q
ω=
mgd
I
⇒T =
2π
ω
q
= 2π
(18.82)
I
mgd .
(18.83)
Curiosamente, concluı́mos que um pêndulo ideal de comprimento
L=
I
md
teria a mesma frequência de oscilação do pêndulo fı́sico.
498
(18.84)
Figure 15: O pêndulo fı́sico consiste num corpo rı́gido que pode rodar em torno
de um “pivot” colocado num ponto O, distinto do CM. No equilı́brio, o peso
passa por O, situação que corresponde a θ = 0. O torque resultante em torno
de O quando o sistema é deslocado de um ângulo θ é mgd sin θ.
Figure 16: Pêndulo ideal equivalente ao pêndulo fı́sico se L = I/md.
499
Vemos assim que o pêndulo fı́sico suspenso no ponto O oscila como se fosse um
pêndulo ideal, com toda a sua massa concentrada num ponto O0 à distância L
de O e localizado ao longo da linha que passa pelo CM no ponto C (Fig. 16).
O ponto O0 é chamado de centro das oscilações do pêndulo. O e O0 são
pontos conjugados 4 . Considere as oscilações em torno de O0 (com d = OC):
q
0
IO
0
T 0 = 2π mg(L−d)
L−d=
0
IO
0
Substituindo em T 0 :
q
T 0 = 2π
2
I
md − d
IO = Ic
= I−md
=
md
+ md2
= Ic + m(L − d)2 .
Io0 0
=
mg(L−d)
r
q
2π
I +m(
Ic
Ic
md
(18.85)
Ic +m(L−d)2
mg(L−d)
)2
c
md
T 0 = 2π
mg( Imc d)
q
q
2 +I
Io
c
= 2π mgd
T 0 = 2π mdmgd
∴ T0 = T
(18.86)
Definiu-se o momento de inércia em torno do ponto O por Io = Ic + md2 .
Concluı́mos que, nas referidas condições, os perı́odos são efectivamente iguais.
Exemplo 8: Considere o bastão apresentado na Fig. 17.
Aplicação numérica: m = 0.910 kg, TA = 1.5 s, d = 45.8 cm.
I
md
q
I
L
mgd = 2π
g
2
( T2πA )2 g = ( 1.5
2π )
L
q=
TA = 2π
2
ω =
g
L
⇒L=
g
ω2
⇒L=
(18.87)
× 9.8 = 55.9cm
Portanto, o pêndulo terá o mesmo perı́odo, seja oscilando suspenso em A ou
suspenso em B, TA = TB , pois os dois pontos A e B são pontos conjugados.
Isto é, invertendo o pêndulo e colocando-o a oscilar em torno do ponto B ele
tera o mesmo perı́odo que tinha quando posto a oscilar em torno de A. Esta é
uma propriedade especial importante.
Exemplo 9: Pêndulo de torsão.
Um corpo rı́gido está suspenso por um fio ligado ao topo de um suporte fixo.
O fio é um objecto elástico flexı́vel que armazena energia mecânica. Quando o
corpo é torcido de um pequeno ângulo θ (abaixo do limiar elástico), o fio torcido
exerce um torque restaurador proporcional ao deslocamento angular:
τ = −kθ.
k é a constante de torsão do fio com unidades em N.m/rad.
4 Isto
é, pontos que podem ser unidos por uma linha recta.
500
(18.88)
Figure 17: Bastão pendular.
501
q
ω=
d2 θ
dt2
k
I
+ kI θ = 0
⇒T =
2π
ω
q
= 2π
I
k
(18.89)
Há vários sistema oscilantes deste tipo: roda do balanço do relógio, galvanómetros, balança de torsão de Cavendish, barras de torsão que suportam
as componentes de suspensão dos automóveis.
Exemplo 10: Pêndulo de comprimento variável.
Consideremos um pêndulo simples cujo comprimento é função do tempo: L =
Lo + vt. O teorema fundamental da dinâmica rotacional dá-nos:
d
2
dt (L θ̇)
= −gL sin θ
∴ Lθ̈ + 2v θ̇ + g sin θ = 0.
(18.90)
No limite das pequenas oscilações, obtém-se a equação aproximada:
L
d2 θ
dθ
g
+2
+ θ = 0.
dL2
dL v 2
(18.91)
Fazendo a seguinte mudança de variáveis:
L=
v2 2
4g x ;
θ=
Z
x.
obtemos a seguinte equação de Bessel:
µ
¶
d2 Z
1 dZ
1
+
+
Z
1
−
= 0.
dt2
x dx
x2
(18.92)
(18.93)
O integral geral da equação é
Z1 = AJ1 (x) + BN1 (x)
(18.94)
onde J1 e N1 são respectivamente as funções de Bessel e de Neumann de ordem
um. Pode-se verificar que
dZ1
Z1 (x)
= Zo (x) −
dx
x
(18.95)
Z0 deduz-se da Eq. 18.95 substituindo o ı́ndice 1 por 0. Conhecendo os ângulos
em duas posições diferentes, θo e θo0 pode-se calular A e B. Em particular, se
θo0 = 0, pode-se usar a identidade matemática:
N0 J1 − N1 J0 =
obtendo-se
2
,
πx
A = π2 θo xo (xo No (xo ) − N1 (xo ))
B = π2 θo xo (J1 (xo ) − xo Jo (xo )).
502
(18.96)
(18.97)
Figure 18: Um pêndulo de torsão consiste num corpo rı́gido suspenso por um fio
ligado a um suporte rı́gido. O corpo oscila em torno da linha OP com amplitude
θo .
503
Suponhamos que a velocidade v é muito pequena face
√ à velocidade adquirida
por um corpo em queda de uma altura 2l, isto é, 2 gL. Neste caso, x À 1 e
podemos usar as fórmulas asimptóticas, que se podem encontrar em Tabelas:
J0 = ρ cos φ,
N0 = q
ρ sin φ, J1 = ρ sin φ,
2
N1 = −ρ cos φ,
ρ = πx
,
φ = x − π4
(18.98)
Assim, temos
θ = Zx
+ ρ cos φ]ρ sin
φ − π2 θo xo [ρ sin φ − xo ρ cos φ]ρ cos φ
√
x
x
θ = θo xo √xo cos(xo − x)
p
x = v2 g(Lo + vt).
(18.99)
p
As oscilações têm amplitude instantânea θo 3 xxo , e aumenta ou diminui quando
v < 0 e v > 0, respectivamente. Este tipo de movimento ocorre quando se tem
um objecto suspenso num cabo, por exemplo, com o fito de transportar para a
superfı́cie os detritos de uma mina.
θ=
18.9
π
2 θo xo [xo ρ sin φ
Percussão
Considere um corpo suspenso de um ponto O (Fig. 19). Suponha que num dado
instante este corpo recebe um impulso aplicado em O0 situado abaixo do CM:
Z
−
→
−
→
−
→
(18.100)
I = ∆(m v c ) =
F dt.
A velocidade resultante do CM é
−
→
I
→
−
vc=
m
(18.101)
O impulso comunica velocidade angular ao corpo que tende a rodar em torno
do CM:
Ir0
ω= c
(18.102)
Ic
pois que
∆L = ∆(Ic ω) = τ dt = Irc0 .
(18.103)
Em resultado do impacto, o corpo adquire um movimento de translacção e
−
→
rotacão em torno do CM. Se a força de impacto F fosse aplicada no CM, o
→
−
corpo teria movimento de translação para a direita, no sentido de F , sem rodar
em torno do ponto “pivot” O.
Se a força de impacto for aplicada abaixo do CM mas acima do ponto de percussão, o corpo tenderá a rodar em torno do seu CM no sentido oposto ao da
força aplicada e, ao mesmo tempo, adquire um movimento de translacção no
504
Figure 19: Movimento do pêndulo fı́sico imediatamente após receber um impulso
I em O0 , centro das oscilações quando está suspenso do ponto O.
−
→
sentido de F . O ponto O será submetido a uma força impulsiva. No caso de
um jogador de baseball, ao bater a bola neste ponto sentirá um força impulsiva
nas suas mãos. Se aplicar a força de impacto abaixo do centro de percussão, a
força impulsiva ainda será maior.
Porém, se a força de impacto actuar no centro de percussão, a aceleração de
translacção compensa exactamente a aceleração de rotação no sentido oposto.
Como veremos em seguida, a velocidade do ponto pivot O será nula. O jogador
de baseball não sentirá qualquer reacção de impacto no caso de bater a bola
neste ponto exactamente.
−
→
A velocidade linear →
v em qualquer ponto do corpo é a soma vectorial de −
vc
−
→
0
0
e da velocidade tangencial v em torno do CM devido à rotação. Em O as
−
−
velocidades →
v0 e→
v somam-se. Em O as velocidades opõem-se:
c
I
I
vo = vc − v = vc − ωrc =
− ωrc =
m
m
0
Mas
µ
¶
mrc rc0
1−
Ic
rc rc0 = Imc ⇒ vc = ωrc
∴ vo = 0.
(18.104)
(18.105)
Assim, verificamos algo surpreendentemente que os objectos quando percutidos
no ponto certo (à distância rc0 do CM) rodam em torno do eixo que passa por
O. O centro de oscilação também se chama centro de percussão.
Exemplo 11: Poço de potencial.
505
Figure 20: Partı́cula esférica de raio r oscilando num poço de potencial.
Uma partı́cula esférica de massa m rola em torno do mı́nimo de potencial de
uma superfı́cie curva de raio R. A esfera tem raio r (Fig. 20).
Assuma θ ¿ 1, de modo que x ∼ Rθ, e
U (θ) = mgR(1 − cos θ)
U (θ) ' 12 mgRθ2 .
(18.106)
Temos pela escolha apropriada da origem do potencial U (θ = 0) = 0. Seja
θ = θo a amplitude máxima do deslocamento.
- Poço de potencial.
QuadroNegro 4
506