Cálculo Diferencial e Integral II - Tagus Park
12a. Lista de exercı́cios
1o. Semestre 2009/2010
30/11 - 04/12
Integrais de Linha:
1. Seja F(x, y, z) = xi + yj + zk. Calcule os integrais de linha deste F ao longo de
(a) c(t) = (t, t, t),
0≤t≤1
(b) c(t) = (cos t, sin t, 0),
0 ≤ t ≤ 2π
2
3
(c) c(t) = (t , 3t, 2t ),
−1 ≤ t ≤ 2
2. Calcule os seguintes integrais de linha.
R
(a) c xdy − ydx, c(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π
R
(b) c xdy + ydx, c(t) = (cos πt, sin πt), 0 ≤ t ≤ 2
R
(c) c yzdx + xzdy + xydz, onde c consiste nos segmentos de recta ligando (1, 0, 0)
a (0, 1, 0) a (0, 0, 1)
R 2
(d) c x dx − xydy + dz, onde c é a parábola z = x2 , y = 0 de (−1, 0, 1) a (1, 0, 1)
3. Seja c um caminho suave.
(a) Suponha que F é perpendicular a c0 (t) em cada ponto c(t). Mostre que
Z
F·ds = 0
c
(b) Suponha que F é paralelo a c0 (t) em cada ponto c(t). Mostre que
Z
Z
F·ds = ||F||ds
c
c
4. Considere o campo da força gravitacional (com G=M=m=1) dado por
F(x, y, z) = −
(x2
1
(xi + yj + zk)
+ + z 2 )3/2
y2
para (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional quando uma partı́cula se desloca
de (x1 , y1 , z1 ) para (x2 , y2 , z2 ).
Parametrizações de superfı́cies:
5. Encontre uma equação do plano tangente à superfı́cie no ponto indicado:
(a) x = 2u y = u2 + v z = v 2 no ponto
(b) x = u2 − v 2 y = u + v z = u2 + 4v no ponto (− 41 , 12 , 2)
(c) x = u2
y = u sin ev
z = 13 u cos ev
no ponto (13, −2, 1)
6. Encontre uma expressão para um vector unitário normal à superfı́cie
x = cos v sin u
y = sin v sin u
z = cos u
na imagem do ponto (u, v) onde u ∈ [0, π] e v ∈ [0, 2π]. Identifique esta superfı́cie.
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