Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa
1302 – Cálculo II
Intersecção entre uma
Esfera e um Plano
Considere o seguinte conjunto e procure representá-lo graficamente:
B
3
x,y,z
: x2
y2
z2
1
y
x
Este conjunto é constituído pela intersecção entre a esfera de centro 0,0,0 e raio 1 e o
plano y x. Sabendo que os pontos que pertencem a B, pertencem tanto à esfera como ao
plano, respeitam as condições que definem os dois conjuntos. Por isso, podemos substituir a
equação do plano na equação da esfera, mantendo a primeira. Com isto, obtemos a seguinte
descricção do conjunto B:
B
3
x,y,z
3
x,y,z
x2
:
1
2
: x2
z2
1
x2
z2
1
1
y
y
x
x
3
x,y,z
x,y,z
3
:
:2x2
x2
√2
2
2
z2
z2
12
1
1
y
Nesta última descricção do conjunto B, temos a intersecção entre o plano y
de pontos que respeitam a condição
não em
3
x2
√2
2
z2
2
12
y
x
x
x e o conjunto
1. Se B estivesse contido no plano XOZ e
, esta última condição representaria o conjunto de pontos de uma elipse de eixos
paralelos aos eixos coordenados e com semi-eixos de comprimento
que estão mais próximos da origem do que estes:
Contudo, B está contido em
3
, pelo que a condição
x2
√2
2
z2
2
12
√2
2
e 1 e ainda os pontos
1 é satisfeita não apenas
pelos pontos que pertencem a esta elipse (pontos em que y, a ordenada, é 0), mas por
aqueles que pertencem a todas as elipses paralelas a esta, com a segunda coordenada, y, a
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Cálculo II
Intersecção entre uma Esfera e um Plano
não ter qualquer restricção. A reunião de todas estas elipses resulta num cilindro elipsoidal
não limitado (cilindro onde as bases são elipsoidais e não circulares):
O plano y x é constituído por todos os pontos cujas abcissa e ordenada, x e y, são iguais,
não impondo qualquer restricção sobre a cota dos seus pontos, z:
B resulta da intersecção destes dois conjuntos, ou seja, da secção que o plano y x produz
no cilindro elipsoidal. Caso o plano fosse outro, paralelo ao plano XOZ, a secção produzida
teria a mesma forma da base do cilindro, uma elipse. No entanto, o plano y x, normal ao
vector 1,-1,0 (e não ao vector 1,0,0 , como o plano XOZ) tem outra direcção, produzindo,
quando intersectado com o cilindro, um círculo. As imagens seguintes procuram ilustrar a
secção produzida com a intersecção:
2
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Intersecção entre uma Esfera e um Plano
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