Universidade Federal da Bahia
Faculdade de Ciências Econômicas
Departamento de Economia
ECO 166 – Introdução à Econometria
O modelo de regressão linear
simples
Professor: Gervásio F. Santos
Regressão Linear Simples
y=β0 + β1x + u
• Qual é a relação entre y e x que nos permita obter o um y médio ?
• A resposta a essa pergunta implica em obter o efetio ceteris
paribus entre y e x para inferir causalidade.
• Suposto 01: O valor médio de u na população é zero:
E(u) = 0
• X e u são variáveis aleatórios independentes (não existe
dependência linear entres as duas variáveis):
Cov(x,u) = 0
Regressão Linear Simples
• Supostos: O valor médio de u na população é zero:
E(u) = 0 e Cov(xu)=0
y
0
E(y/x) = β0 +β1x + E(u/x)
parte
explicada
(sistemática)
β0
x1
x2
…….
xn
parte
não-explicada
(não-sistemática)
x
• O intercepto “força” a reta de regressão a se situar entre a média de
x e a média de y
• A média dos valores da variável aleatória, não observável e incerta, é
zero
Regressão Linear Simples: exemplo
Salário = β0 +β1educ + u
•Aptidão
É preciso que:
E[aptidão/educ] = E[aptidão] = 0
y
x1
x2
…….
xn
x
• Diferentes níveis de aptidão afetam y, de maneira que os valores amostrais
de y se situem acima e abaixo do seu valor médio
Método de Mínimos Quadrados Ordinários
• Tomando o modelo:
y=β0 + β1x + u
• Supostos-chave:
E(u) = 0
E(x,u) = 0
(1)
(2)
• Construindo o sistema de equações
E(y - β0 - β1x ) = 0
E[x(y - β0 - β1x )] = 0
• Médias
E(.): populacional
Σ(.)/n: amostral
(3)
(4)
MQO
• Com base na amostra:
n
(y
i 1
^
i
^
 β0  β1 xi )
n
0
^
^


x
(
y

β

β
x
)

i
i
0
1 i 


 0
i 1
n
Tomando (5):
n
_
^
_
^
y  β0  β1 x  0
^
_
^
_
β 0  y  β1 x
(5)
(6)
• Tomando (6)
^
^


x
(
y

β

β
x
)

0
1 i 
 i i
 0
i 1 
n

n 
_
_
^
^
 xi [ yi  ( y  β x )  β1 xi ]

1


i 1

 0
n
n
n
n
x y x
i 1
i
i
i
i 1
_
n
^
_
n
^
y  β 1  xi x  β 1  xi xi
i 1
i 1
n
n
[x ( y
i 1
i
_
i
β1 
i 1
 x (y
i 1
n
i
n
_
i
 y)
_
 xi ( xi  x)
i 1
_
 y )] / n  β 1  [ xi ( xi  x )] / n  0
n
^
n
^
0

 (x
i
i 1
n
_
_
 x )( yi  y )
_
2
(
x

x
)
 i
i 1
MQO
Tomando (5) e (6):
n
(y
i 1
^
i
^
 β0  β1 xi )
n
0
(5)
^
^


x
(
y

β

β
x
)

i
i
0
1 i 

 0
i 1 
n
n
(6)
Os parâmetros que solucionam o sistema são os estimadores de MQO
_
^
_
^
β 0  y  β1 x
n
^
β1 
 (x
i
i 1
_
_
 x)( yi  y )
n
 (x
i 1
• Intercepto
i
_
 x)
2

Cov( xy)
Var ( x)
• Inclinação (derivada)
MQO
• Analisando
n
^
β1 
_
_
 ( xi  x)( yi  y )
i 1
n
_
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
_
2
(
x

x
)
 0, xi precisa variar
•  i
i 1
• Se xi não variar, β^1 não será
identificado
• O sinal de β^1 dependerá da covariância
entre x e y, já que var(x) é positiva
MQO
yi
y
^
^
^
y i  β 0  β 1 xi
^
β0
^
β1 
x1
^
^
x2
…….
^
xn
x
E ( y / x )
x
^
u i  yi  y  yi  β 0  β 1 xi
^
MQO __ im plica_ que __  u i  _ m ínim a
2