“Deus não joga dados com o Universo”
“Se conhecermos
“S
h
o presente
t exatamente,
t
t
podemos
d
calcular o futuro” – não é a conclusão que está errada,
mas a premissa.
premissa Heisenberg
9. Aplicações da equação de
Schrödinger
Do mesmo modo que os processos e fenômenos
macroscópicos abordados pela MC são modelados por
idealizações que permitem a determinação de soluções
aproximadas, o mesmo ocorre no domínio microscópico.
De maneira análoga, a partícula livre, o oscilador
harmônico e o sistema de dois corpos constituem os
modelos básicos para a abordagem de qualquer
problema pela MQ. Entretanto mesmo esses modelos
básicos envolvem dificuldades matemáticas de tal ordem
que inicialmente utilizam-se
que,
utilizam se modelos ainda mais
simplificados, como partículas confinadas em poços de
potenciais retangulares, ou feixe de partículas que
incidem sobre barreiras de potenciais descontínuos, para
os fenômenos reais.
Subitens
9.1
9
1P
Problemas
bl
d
de potenciais
t
i i descontínuos:poços
d
tí
e
barreiras de potenciais:
A áli do
Análise
d comportamento
t
t de
d uma partícula
tí l confinada.
fi d
Como encontrar a função de onda da partícula.
9.1.2 O poço quadrado infinito:
Determinar o espectro discreto de energia (estados ligados).
Encontrar os auto-estados normalizados.
9.1.3 A barreira de potencial retangular:
Solução da Eq de Sch. Para um potencial do tipo degrau (E<V e E>V)
Solução da Eq de Sch.
Sch Para barreira de potencial (E<V)
Cálculo da densidade de corrente de probabilidade.
9.1 – Problemas de potenciais descontínuos:
poços
p
ç e barreiras de potenciais
p
As soluções da eq.
eq de Schrödinger para problemas que
envolvem poços e barreiras de potenciais retangulares
além
de
serem
analiticamente
determinadas,
proporcionam as primeiras estimativas sobre o
comportamento de sistemas de partículas confinadas em
um campo conservativo
ti
ou espalhadas
lh d
por um outro
t
sistema.
Nesse sentido, as principais características do sistema
podem ser reveladas e compreendidas a partir da análise
do comportamento de uma partícula em um poço de
potencial do tipo:
⎧ ∞
⎪
V ( x ) = ⎨ − V0
⎪ 0
⎩
Poço de potencial retangular.
−∞< x <0
0< x <a
a<x<∞
Esse perfil é similar ao
potencial radial no qual
um elétron sofre a ação
de um campo
p de forças
ç
central
coulombiano
devido a sua interação
com um núcleo;
ú l
o
problema
de
dois
corpos.
corpos
Dependendo da energia da partícula, os auto-estados de
energia representam um movimento limitado (E<0), no qual são
ditos “estados ligados”, ou um movimento ilimitado (E>0)
como o espalhamento de um feixe de partículas por um
sistema-alvo,
i t
l
no quall são
ã chamados
h
d “estados
“ t d não
ã ligados”.
li d ”
De acordo com a MC se a energia E da partícula for negativa,
compreendida
did entre
t
–V
V0 e 0,
0 o movimento
i
t é periódico
iódi
e
confinado entre os pontos de retrocesso em x=0 e x=a, nos
quais a p
q
partícula é refletida,, sem nunca ultrapassá-los.
p
Entretanto, se a energia for positiva, o movimento é ilimitado à
direita do único ponto de retrocesso em x=0.
A estratégia para solucionar esse tipo de problema é sempre a
mesma: resolvemos a equação de Schrödinger separadamente
em cada região onde o potencial é contínuo. Depois, tentamos
ajustar as diferentes soluções, para que elas sejam
consistentes nos pontos de descontinuidade do potencial.
Os auto-estados estacionários de energia são descritos por
uma função de onda do tipo:
Ψ ( x, t ) = ψ ( x )e
E
−i t
h
Cuja parte espacial
espacial, a autofunção
autofunção, satisfaz a eq
eq. de Sch.
Sch
Independente do tempo:
− h 2 d 2ψ ( x)
+ V ( x)ψ ( x) = Eψ ( x)
2
2m dx
A maneira sistemática de solução desse tipo de problema,
que envolve descontinuidades, é inicialmente determinar as
soluções da eq. de Sch. em cada região na qual o potencial é
contínuo. Pode-se definir os domínios:
Região I: -∞<x<0 ⇒ ψ(x)= ψI
Região II: 0
0<x<a
x a ⇒ ψ(x)
ψ(x)= ψII
Região III: a<x<∞ ⇒ ψ(x)= ψIII
Como a função de onda e sua derivada, além de se anularem
no infinito, devem ser contínuas em todo o espaço, as
soluções devem satisfazer condições de contorno nas
fronteiras de cada região. Devido ao tipo singular de
d
descontinuidade
ti id d do
d potencial,
t
i l a derivada
d i d de
d psii apesar de
d
contínua em x=a, é descontínua em x=0.
ψI
ψIII
ψII
ψII (a)=ψIII (a)
ψI (0)=ψII (0)
9.1.2 – O poço quadrado infinito
• Um problema que pode ser usado para ilustrar, várias
propriedades
p
p
das funções
ç
de onda e também é um dos
problemas mais simples de confinamento é o da partícula
em um poço de potencial infinito de largura a, também
chamado de problema da partícula em uma caixa.
•Podemos “construir uma caixa” para elétrons usando
eletrodos e grades em um tubo evacuado. As paredes da
caixa são representadas pelos potenciais entre as grades e
os eletrodos.
eletrodos Para tornar as paredes altas e íngremes basta
aumentar o potencial V e diminuir a distância entre os
eletrodos e as grades respectivamente.
•No limite, a energia potencial tem o aspecto da próxima
figura que é um gráfico da energia potencial de um poço
quadrado infinito.
Para este problema, a energia
potencial é da forma:
p
I
II
III
⎧− ∞
⎪
V ( x) = ⎨ 0
⎪∞
⎩
x < 0(regiãoI )
0 ≤ x ≤ a ( II )
x > a( III )
Para as regiões I e III, temos a eq. De Schrödinger da
seguinte forma:
− h ''
ψ ( x) = (E − V )ψ ( x)
2m
2
ψ ( x) = −k 2 ψ ( x)
''
2
onde
k2
2
2 m( E − V )
=
2
h
Equação característica com raízes reais.
Logo temos as seguintes soluções:
ψ I ( x) = Ae + Be − k x
ψ III ( x ) = Ce k x + De − k x
k2 x
2
2
2
Como a energia potencial é infinita do lado de fora do poço
∴ k2 →∞, conseqüentemente a função de onda é
necessariamente nula nesta região
região. Assim a probabilidade
de encontrar a partícula fora da caixa é nula.
P
Para
a região
iã II (0,x,a)
(0
) a eq de
d Schrödinger
S h ödi
fi
fica:
− h ''
ψ ( x) = Eψ ( x)
2m
2
ψ ( x) = −k1 ψ ( x)
''
2
onde
2mE
k1 = 2
h
2
Equação característica com raízes complexas.
ψ II ( x ) = Ae
ik1 x
+ Be − ik1x
(onda estacionária)
Para encontrar as constantes A e B temos a seguinte
condição de contorno; “continuidade das funções”. As
f
funções
õ devem
d
ser contínuas
í
em x=0
0 e x=a.
ψ I (0) = ψ II (0) = 0 ⇒ 0 = Ae
ik1 0
+ Be
− ik1 0
A = −B
A c
c.c.
c em x=a dá o valor de k1:
ψ III (a ) = ψ II (a ) = 0 ⇒ 0 = Ae
(
−ik1a
)
0 = A e −e
0 = 2isenk1a ⇒ senk1a = 0
k1a = nπ
ik1 0
como
ik1 a
+ Be
− ik1a
eibx − e −ibx
sen(bx ) =
2i
n=1,2,...
n=1
2
Isto implica que o espectro discreto de energia (estado
g
) é dado por:
p
ligado
2mE
2
mE
2
k1 =
h
2
2 2
mE
n
π
2
π
h
⎛
⎞
2
2
= n E1
⎜
⎟ = 2 ⇒E=n
2
h
2ma
2ma
⎝ a ⎠
2
n=1,2,...
E1 é a chamada “energia de ponto
zero”. É a menor energia
g total p
possível
que a partícula pode ter, limitada a
este potencial. “A partícula não pode
ter energia total nula” devido à
existência de um “estado mínimo de
movimento”. Isso pode ser visto como
uma conseqüência do Princípio de
Incerteza, já que, como a incerteza na
posição é da ordem de Δx = a, não é
possível ter o valor do momento com
i
incerteza
t
nula,
l como seria
i o caso se a
energia fosse 0. Isto contrasta
extremamente com a idéia, da física
clássica que todo movimento cessa
clássica,
quando um sistema tem sua energia
mínima, à temperatura do zero
absoluto
absoluto.
Gráfico da energia em função de x para uma partícula em um poço quadrado
infinito. Classicamente a energia da partícula pode ter qualquer valor.
Precisamos ainda, encontrar os auto-estados de energia:
(
ψ II ( x) = A e − e
ψ II ( x) = Csen(k1 x )
ik1 x
−ik1 x
)
C = A2i
N
Normalizando
li
d para encontrar
t
C:
C
∫
∞
ψ ∗ II ( x)ψ II ( x)dx = 1
−∞
C
2
∫
a
0
sen (k1 x )dx = 1
2
∫
x sen(2bx )
sen (bx )dx = −
4b
2
2
a
⎡
sen(k1 x ) ⎤
2
2 x
2 ⎡a
⎤
⎥ = 1 ⇒ C ⎢ − 0⎥ = 1 ⇒ C =
C ⎢ −
4k1 0 ⎥
2 ⎦
a
⎣
⎢⎣ 2
⎦
Os auto-estados normalizados de energia da partícula
confinada no intervalo espacial (0,a)
(0 a) são dados por:
2 ⎛
x⎞
ψ n ( x) =
sen⎜ nπ ⎟
a⎠
a ⎝
Os valores médios da posição e do momentum da
partícula em qualquer auto-estado estacionário n são:
x
n
a
= ; p
2
n
=0
O valor médio nulo para o momentum expressa o fato de
que a partícula
tí l é essencialmente
i l
t livre
li
no interior
i t i do
d poço,
deslocando-se com a mesma probabilidade em ambos os
sentidos.
sentidos
O valor médio da posição, devido a uniformidade da
densidade de probabilidade de presença,
presença decorre da total
simetria do potencial com relação à coordenada espacial.
A função de onda completa incluindo a parte temporal será:
En
2
− iω n t
onde ωn =
Ψn ( x, t ) =
sen(k n x )e
h
a
1 2 i (kn x −ωnt ) −i (kn x +ωnt )
ou
Ψn ( x, t ) =
e
−e
2i a
[
]
Podemos considerar esta função de onda estacionária como
a superposição de duas ondas de mesma freqüência e
amplitude uma se propagando para a direita e outra para a
esquerda.
→
←
ψII
9.1.3 – A barreira de potencial retangular
A propriedade
i d d
d
de
penetração
t
ã
em uma região
iã
classicamente proibida permite a compreensão de
fenômenos como tunelamento de elétrons,
elétrons a partir da
análise do comportamento de uma partícula que incide
sobre uma barreira de p
potencial retangular
g
onde ela p
possa
ser transmitida e refletida.
⎧0
⎪
V ( x) = ⎨V0
⎪0
⎩
x < 0(regiãoI
ã I)
0 < x < a ( II )
x > a( III )
No caso clássico uma partícula que está se movendo da
esquerda para a direita na região I,
I com E>V0, continua a
se mover para a direita na região II, mas com menor
velocidade, ao chegar à região III recupera a velocidade
inicial.
Se E<V0 ela não consegue penetrar na região II,
II mas é
refletida na fronteira entre as regiões I e II e passa a se
para a esquerda
q
na região
g
I.
mover da direita p
No caso quântico, veremos que o comportamento das
partículas
pa
t cu as é muito
u to d
diferente,
e e te, ta
tanto
to pa
para
ae
energias
e g as menores
e o es
quanto maiores que V0.
Primeiramente vamos resolver a Equação de
Schrödinger na presença de um potencial do tipo
degrau.
E>V0
⎧0
V ( x) = ⎨
⎩V0
x < 0(regiãoI )
x > 0(regiãoII )
E<V0
Se E<V0 em x<0 a partícula está se movendo com uma velocidade
v=(2E/m)
(
)1/2, em x=0 é submetida a uma força
ç impulsiva. Como E<V0 a
partícula continua se movendo para a direita, mas com velocidade
menor: v=[2(E-V0)/m]1/2. Por exemplo: uma bola rolando sobre uma
superfície plana e encontra uma rampa de altura y0=V
V0/mg. Se a Ec da
bola é menor que V0 a bola sobe parcialmente a rampa e rola de volta
para a esquerda, chegando a superfície plana com v igual a inicial. Se
Ec>V0 a bola chega ao alto da ladeira e continua a rolar para a direita
com menor velocidade.
O resultado da MQ é semelhante ao resultado clássico p
para E<V0, mas
bem diferente para E>V0.
Vamos analisar o que ocorre para E<V0.
E<V0
Vamos analisar o que ocorre para E<V0. Podemos imaginar que V(x) é
uma representação idealizada da função energia potencial para uma
partícula carregada se movendo ao longo do eixo x de um sistema de
dois eletrodos ligeiramente separados que são mantidos a voltagens
diferentes. À medida que a separação diminui, a função potencial se
aproxima da idealização. A energia potencial de um elétron se
movendo próximo à superfície de um metal é muito parecida com um
degrau
deg
au de pote
potencial,
c a , po
pois
s e
ela
a c
cresce
esce rapidamente
ap da e te na
a supe
superfície,
c e, a
partir de um valor essencialmente constante no interior, até um valor
constante e maior no exterior.
a) Considerando o estado estacionário com E<V0. É claro
que em x=0 há uma divisão do eixo em duas regiões,
q
g
, tal
que o movimento clássico é permitido à esquerda e
proibido à direita.
Para x<0, a eq de Sch fica:
ψ ( x) = −k1 ψ ( x)
2
''
2mE
2mE
k1 = 2
h
2
onde
Equação
E
ã característica
t í ti com raízes
í
complexas.
l
A solução
l ã
será:
ψ I ( x) = Ae
A
ik1 x
+ Be
B
− ik1 x
= A cos k1 x + B senkk1 x
'
'
Para x>0,, a eq
q de Sch fica:
ψ ( x) = −k 2 ψ ( x)
''
2
onde
k2
2
2m(E − V0 )
=
h2
Equação característica com raízes reais. A solução será:
ψ II ( x) = De
k2 x
+ Ce − k2 x
Somente a solução e-k2x permanece finita para x→∞ (não há
nada que limite a partícula) então D=0:
ψ II ( x) = Ce
− k2 x
Para determinar as constantes utilizamos as condições
ç
de
continuidade das funções de onda e sua derivada em x=0:
ψ I (0) = ψ II (0) ⇒ A = C
'
'
ψ I (0) = ψ II (0)
(− Ak1senk1x + Bk1 cos k1x ) x =0 = − k 2Ce −k x x =0
2
k2
Bk1 = −k 2C ⇒ B = − C
k1
A auto-função fica em termos de C:
⎧ ⎛
⎞
k2
k1x ⎟⎟
⎪C ⎜⎜ cos k1x − senk
ψ (x) = ⎨ ⎝
k1
⎠
−k 2 x
⎪
C
Ce
⎩
X<0
X>0
X
0
Em termos de exponenciais X<0 fica:
⎡ 1 ik1x
k 2 ik1x
− ik1x
− ik1x ⎤
−
ψ (x) = C⎢ e + e
e −e
⎥
2ik1
⎣2
⎦
C ⎡⎛ ik 2 ⎞ ik1x ⎛ ik 2 ⎞ −ik1x ⎤
⎟⎟e + ⎜⎜1 −
⎟⎟e
ψ ( x ) = ⎢⎜⎜1 +
⎥
2 ⎣⎝
k1 ⎠
k1 ⎠
⎝
⎦
(
)
(
)
A função de onda estacionária fica:
C ⎡⎛ ik 2 ⎞ i (k1x −ωt ) ⎛ ik 2 ⎞ −i (k1x +ωt ) ⎤
⎟⎟e
⎟⎟e
Ψ( x, t ) = ⎢⎜⎜1 +
+ ⎜⎜1 −
⎥
k1 ⎠
k1 ⎠
2 ⎣⎝
⎝
⎦
X<0
Esta função de onda é uma superposição de uma onda se
propagando
p
p g
para
p
a direita e outra para
p
a esquerda
q
cujos
j
auto-valores de momento valem ±(h/2π)k1. Por outro lado
a onda incidente e a refletida se combinam e produzem
uma onda estacionária.
Para a região x>0 a função de onda fica:
Ψ( x, t ) = Ce − k 2 x e − iωt
X>0
Esta
E
t expressão
ã exibe
ib uma penetração
t ã e atenuação
t
ã na
região proibida classicamente.
Densidade de probabilidade para uma partícula em um degrau de potencial. A
partícula incide da esquerda com E<V0.
Perceba, pela Figura, que a probabilidade de encontrarmos a
partícula em x > 0 decai exponencialmente à medida que nos
afastamos da origem.
origem Este fenômeno não-clássico
não clássico é chamado
“penetração de barreira”. Note ainda que esse efeito não é
inconsistente com o fato de que a partícula é refletida, com 100% de
probabilidade,
b bilid d
pela
l
b
barreira.
i
P d í
Poderíamos
f
formular
l
a seguinte
i t
analogia clássica para descrever o movimento da partícula: ela vem
da esquerda, penetra um pouco na região proibida e, depois, com
certeza, retorna para o lugar de onde veio.
Apesar de parecer bastante exótico pela visão da MC, o efeito de
penetração de barreira já era um velho conhecido da física
ondulatória. Por exemplo, quando uma onda luminosa incide de um
meio de índice de refração maior para outro com índice de refração
menor, dependendo
d
d d do
d ângulo
â
l de
d incidência,
i idê i pode
d ocorrer o efeito
f it
de reflexão total da luz. Porém, em perfeita analogia com o efeito
quântico de penetração de barreira, o campo eletromagnético
ondulatório da luz penetra um pouco na região com índice de
refração menor, decaindo exponencialmente quando a distância até
a interface entre os dois meios aumenta. Dessa forma,, o efeito de
penetração de barreira pode ser entendido como mais uma
manifestação da natureza ondulatória da matéria.
b) E>V0. As soluções serão do tipo ondas progressivas
E V0
E>V
2mE
⎧
2
ik1x
− ik1x
⎪ Ae + Be ; k1 = h 2
ψ (x) = ⎨
2m(E − V0 )
2
ik 2 x
− ik 2 x
⎪Ce + De ; k 2 =
h2
⎩
X<0
X>0
Considere a partícula vindo da esquerda para a direita.
Classicamente em x=0 a partícula irá sofrer um potencial retardador,
mas a probabilidade dela passar para a região x>0 é máxima.
Entretanto devido as propriedades ondulatórias da partícula existe
uma certa probabilidade de que ela seja refletida em x=0. Assim, para
a região x<0 devemos ter uma superposição de ondas caminhando
para a esquerda e para a direita.
Entretanto para x>0 devemos ter apenas ondas se
propagando para a direita, uma vez que não existe nessa
região nada que possa refletir a onda e fazer com que
apareça uma onda propagando para a esquerda. Assim,
d
devemos
f
fazer
D 0
D=0.
As constantes A, B e C devem ser obtidas a partir de
propriedades de continuidade da função
f
de onda e seu
gradiente. Assim:
ψ I (0) = ψ II (0) ⇒ A + B = C
ψ ' I (0) = ψ ' II (0)
k2
ik1A − ik1B = ik 2C ⇒ A − B = C
k1
k1 − k 2
2k1
A⇒C =
A
B=
k1 + k 2
k1 + k 2
As auto-funções ficam em termos de A:
⎧ ⎛ ik1x k1 − k 2 −ik1x ⎞
⎟⎟
e
⎪ A⎜⎜ e +
⎪ ⎝
k1 + k 2
⎠
ψ (x) = ⎨
2k1 ik2 x
⎪
e
A
⎪⎩
k1 + k 2
X<0
X>0 (onda plana)
Densidade de probabilidade para uma partícula sob ação do degrau potencial
quando k1=2k2.
A teoria prevê que a partícula tem uma possibilidade
apreciável de ser refletida pelo degrau de volta para a
região x<0, mesmo tendo energia suficiente para
ultrapassar o degrau e ir para a região x>0.
x>0 Um exemplo
disto é encontrado no caso de um elétron no cátodo de
uma célula fotoelétrica, que recebeu energia ao absorver
um fóton, e que está tentando escapar da superfície do
cátodo metálico. Se sua energia não for muito maior do
que a altura do degrau no potencial existente na
superfície do metal, ele pode ser refletido e não
conseguir escapar.
escapar
O fato do degrau de potencial refletir partículas para as quais E >V0,
onde classicamente seriam transmitidas, é mais uma manifestação
das propriedades ondulatórias das partículas quânticas. O fenômeno
que acabamos de estudar é completamente análogo ao que acontece
na ótica ondulatória clássica, da reflexão p
parcial da luz na fronteira de
duas regiões com índice de difração diferente. No meio à esquerda o
comprimento de onda de de Broglie é λ1 = 2π/k1, enquanto à direita é
λ2=2π/k
2π/k2.
É tentador explicar o fenômeno que acabamos de descrever da seguinte
forma: “A
A partícula quântica é parcialmente refletida e parcialmente
transmitida pelo degrau de potencial.” Afinal, na ótica ondulatória, dizemos
algo semelhante com relação às ondas. No entanto, essa explicação não é
muito precisa quando nos referimos ao fenômeno quântico; é preciso
esclarecer que a partícula não se fragmenta quando incide no degrau. O que
acontece é que, numa dada colisão da partícula com o degrau de potencial,
ela p
pode ser refletida com p
probabilidade R e transmitida com p
probabilidade
T. Sendo assim, em um único evento, não podemos medir os valores de R e
T. Esses só poderiam ser determinados se realizássemos um número muito
grande de colisões idênticas, de modo q
g
que R e T seriam p
proporcionais
p
ao
número de eventos de reflexão e transmissão, respectivamente. Na próxima
aula veremos como calcular tais coeficientes.