2FIS026 –Sexta lista de exercícios
1. Se uma partícula está no estado inicial
(x; t = 0) =
N
X
cn
n
n=0
com valores de cn dados. Onde
independente do tempo.
n
(x) ; cn 2 C ;
(1)
(x) são soluções da equação de Schrödinger
~2 d 2
+ V (x)
2m dx2
n
(x) = En
n
(x) :
Veri…que que a seguinte evolução temporal
(x; t) =
N
X
cn exp
n=0
i
En t
~
n
(x) ;
(2)
obedece a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ou seja, o
estado (2) acima é a evolução temporal do estado inicial (1).
2. Uma partícula numa caixa unidimensional está con…nada na região x 2
[0; L] e sujeita a um potencial constante V . Ou seja, o operador hamil^ do sistema vale
toniano H
2
^ = p^ + V ; V = const: ; p^ =
H
2m
i~
d
dx
(3)
onde m é a massa da partícula.
(a) Encontre as energias e as funções de onda normalizadas deste problema, i.e., resolva a equação de Schrödinger independente do tempo
^
H
e encontre
n
n
(x) = En
n
(x) :
(x) e En .
(b) Para uma partícula nesta caixa no estado inicial
(x; t = 0)
1
(x) = p [
2
0
(x) +
1
(x)] ;
^ com 0 o estado fundaonde n são auto-estados do hamiltoniano H,
mental e 1 o primeiro estado excitado. Qual a probabilidade desta
partícula ser encontrada na no meio da caixa no instante
t=
1
2m
~
L
2
?
(c) Calcule o valor esperado (ou o valor médio) da energia do estado
inicial (x), i.e., calcule
^j i?
hEi = h j H
onde
^j i=
h jH
Z
1
^ (x) dx
(x) H
1
(d) Se for realizada uma medida da energia deste sistema quando você
espera encontrar E0 , E1 ou hEi ?
3. Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial atrativo na forma
V (x) =
0 ; jxj a
V ; jxj < a
:
(a) Se está partícula é atirada da direita para a esquerda (i.e., ela vem
de +1) com uma energia E > 0 qual a probabilidade dela ser re‡etida pelo potencial? (Observe que classicamente uma partícula
jamais é re‡etida por um potencial atrativo. Este efeito quântico se chama Ramsauer ).
(b) Determine também a corrente incidente e transmitida associada a
esta partícula.
4. Elétrons num feixe com densidade = 1015 elétrons/m são acelerados por
uma diferença de potencial de 100 V. Estes elétrons são então atirados
contra uma barreira de potencial de 50 V.
(a) Qual a fração destes elétrons é transmitido e qual é re‡etido pela
barreira?
(b) Faça um desenho esquemático de como este experimento poderia ser
realizado.
(c) Qual o maior valor de energia do estado ligado do potencial acima?
2