Espaços Lineares reais e complexos
Nota: Resolva todos os sistemas de equações lineares pelo método de eliminação
de Gauss.
1. Considere os vectores
u = (2, −3, 1, 0), v = (0, 1, 1, 0), w = (2, 5, 1/2, 3).
Determine:
(a) v − w, 2u − 1/2w, (6v − w) + (v − 4u)
(b) Encontre o vector x que verifica 4x − w = 3(w − x/2)
2. Determine quais dos conjuntos seguintes são subespaços do espaço vectorial real das matrizes reais 2 × 2, M2×2 (R):
a
a+b
(a) Todos os vectores da forma
a+b
b
a b
(b) Todos os vectores da forma
, com a + b + c + d = 0.
c d
(c) Todas as matrizes A tais que tr(A) = 0. Chama-se traço de A à soma
dos elementos na diagonal principal de uma matriz A.
(d) Todas as matrizes A tais que AT = −A.
3. Determine quais dos conjuntos seguintes são subespaços de C3 :
(a) Todos os vectores da forma (z, 0, 0).
(b) Todos os vectores da forma (z, i, i).
(c) Todos os vectores da forma (z1 , z2 , z3 ) com z3 = z1 + z2 .
4. Determine quais dos conjuntos seguintes são subespaços do espaço vectorial real das funções reais de variável real:
(a) O conjunto de todas as funções f tais que f (2) = 0.
(b) O conjunto de todas as funções f tais que f (x) ≤ 0 para todo o x ∈ R.
(c) O conjunto de todas as funções f tais que f (x) = k1 + k2 sen(x), com
k1 , k2 ∈ R.
1
5. Determine quais dos conjuntos seguintes são subespaços do espaço vectorial real das funções complexas de variável real:
(a) O conjunto de todas as funções f tais que f (0) = i.
(b) O conjunto de todas as funções f tais que f (x) = f (x).
6. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços vectoriais dos espaços
vectoriais indicados:
(a) F = {(x, y, z, w) : x = 0, y = −z} em R4 ;
(b) F = {(x1 , . . . , xn ) : x1 + . . . + xn = 0} em Rn ;
(c) F = {x + yi ∈ C : 2x + y = 0} no espaço vectorial real C;
(d) F = {x + yi ∈ C : 2x + y = 0} no espaço vectorial complexo C;
(e) F = {(x, y, 1) : x, y ∈ R} em R3 ;
(f) F = {(x, y, z, w) : x + y = 2z − w = 0} em R4 ;
7. No espaço vectorial R3 , considere o conjunto A = {(x, y, k) : x, y ∈ R},
onde k é uma constante real. Que valores pode tomar k para que A seja um
subespaço vectorial de R3 ?
8. Determine o núcleo (espaço nulo) das seguintes matrizes:
2 1 −2 0
(a) A =
4 2 −4 0


2 6 0 2
(b) B =  0 1 2 0 
1 3 0 1


0 1 0 0
(c) C =  0 0 2 0 
0 0 0 −3
9. Nos espaços vectoriais indicados, verifique se os vectores considerados são,
ou não são combinações lineares (C.L.) dos vectores dados:
(a) em R2 , (3, 1) C.L. de (1, 2), (−3, 1);
(b) em R2 , (2, 3) C.L. de (2, 1), (−1, 1), (1, 2);
(c) em R2 , (3, −1) C.L. de (2, 1), (4, 2);
2
(d) em R3 , (1, −1, 2) C.L. de (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0);
(e) em R3 , (2, 1, 1) C.L. de (−1, 1, 1), (1, −1, 3), (0, 0, 1), (1, 1, 2);
(f) em R3 , (1, −1, 2) C.L. de (1, −1, 1), (−1, 1, 1), (−1, 1, 5);
(g) em R2 [x], 3 + x + 2x2 C.L. de 1 + x, 1 + x + x2 , x + x2 .
10. Considere o espaço vectorial R3 .
(a) Escreva o vector (−4, −18, 7) como combinação linear dos vectores
(1, −3, 2) e (2, 4, −1).
(b) Para que valor de k real, o vector (1, −2, k) é uma combinação linear
dos vectores (3, 0, −2) e (2, −1, 5)?
(c) É possı́vel escrever o vector (1, 2, 3) como combinação linear dos vectores (1, −3, 2)e(2, 4, −1)?
11. Considere, no espaço vectorial R2 [x] de todos os polinómios de coeficientes
reais de grau não superior a 2, os vectores p1 (x) = x2 + 2x + 1, p2 (x) =
ax2 +x+2e p3 (x) = x+1. Determine a de modo que p2 (x) seja combinação
linear de p1 (x) ep3 (x).
12. A que condições devem obedecer os números reais a, b e c para que o vector
(a, b, c) de R3 seja combinação linear dos vectores (2, 1, 0) e (1, −1, 2)?
13. Verifique quais dos seguintes sistemas de vectores são linearmente independentes, nos espaços vectoriais indicados:
(a) (1, 2, 3), (0, 2, 3), (0, 0, 3), em R3 ;
(b) (1 − i, i), (2, −1 + i), em C2 ;
(c) 1 + x + x2 + x3 , x + x2 + x3 , x2 + x3 , x3 em R[x];
(d) e2x , x2 , x, no espaço das funções reais definidas em R;
(e) senx, cosx, x, no espaço das funções reais definidas em R;
(f) sen2 x, 2x − cos2 x, 2 − 2cos2 x, no espaço das funções reais definidas
em R.
14. Diga quais os valores reais do parâmetro a que tornam independentes os
seguintes sistemas de vctores, nos espaços indicados:
(a) (a, 1, 0), (1, a, 1), (1, 0, 0), em R3 ;
3
(b) (1, 0, 0), (a, 1, a), (0, a, 1), em R3 ;
(c) a + x, 1 + ax − x2 , 2 + x2 em R2 [x];
(d) 1 + ax, a + x − (a + 1)x2 , 2 + x2 em R2 [x].
15. No espaço vectorial real formado pelas funções reais definidas em R, considere umafunção f que nunca se anule e funções g e h definidas por:
g(x) = xf (x), h(x) = x2 f (x).
Verifique que f , g e h são linearmente independentes.
16. No espaço vectorial R2 [x] de todos os polinómios de coeficientes reais de
grau não superior a 2, escreva o polinómio p(x) = x2 + 4x − 3 como
combinação linear dos polinómios p1 (x) = x2 − 2x + 5,p2 (x) = 2x2 − 3x
e p3 (x) = x + 3. Estabeleça uma relação entre a, b e c de modo que o
polinómio ax2 + bx + c seja uma combinação linear de q1 (x) = x + 2 e
q2 (x) = 2x2 − x. É possı́vel escrever x2 − 2x + 1 como combinação linear
dos polinómios q1 (x) e q2 (x)?
17. Determine quais dos vectores são combinação linear de u = (2, 1, 4) e v =
(1, −1, 3):
(a) (5, 1, 11);
(b) (2 + i, 1 − i, 4 + 3i);
(c) (−3, 0, 7);
(d) (5, 1).
18. Determine quais dos vectores são combinação linear de u = (i, −i, 3i) e
v = (2i, 4i, 0) do espaço linear C3 , considerado como espaço linear real:
(a) (4i, 2i, 6i);
(b) (i, 5i, 6i);
(c) (0, 0, 0);
(d) (−1, 1, 6);
(e) (2 − i, 1, i).
19. Se v1 , v2 e v3 são vectores linearmente independentes num certo espaço vectorial real, que pode dizer-se sobre a dependência ou independência linear
dos vectores v1 + v2 , v1 + v3 e v2 + v3 ?
4
20. Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K. Sejam u, v e w vectores
linearmente independentes de E. Mostre que u + v, u − v e u − 2v + w
também são linearmente independentes.
21. Considere v1 = (2, 1, 0, 3), v2 = (3, −1, 5, 2), v3 = (−1, 0, 2, 1) vectores
em R4 .
Quais dos vectores seguintes pertencem à expansão linear Span(v1 , v2 , v3 )?
(a) (2, 3, −7, 3)
(b) 0, 0, 0, 0)
(c) (1, 1, 1, 1)
(d) (−4, 6, −13, 4)
22. Diga quais das seguintes afirmações são verdadeiras:
(a) R2 = h(1, 2), (2, 1)i;
(b) R2 = h(−1, 1), (1, 3), (2, 5)i;
(c) R3 = h(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)i;
(d) R3 = h(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, −1, 0), (0, 1, −1)i;
(e) R3 = h(1, 1, −1), (1, 1, 2), (2, 2, 1)i;
(f) R4 = h(1, −1, 1, 0), (0, 1, −1, 1), (1, 1, 1, 1)i;
(g) R3 [x] = h1 + x, 1 − x, 1 + x2 , x + x2 − x3 i;
(h) R2 [x] = h1 + x, 1 + 2x, 1 + 3xi.
23. Diga quais os valores do parâmetro real a que tornam verdadeiras as afirmações:
(a) R3 = h(1, −1, a), (1, 2, 1), (2, 1, 1)i;
(b) R3 = h(1, 1, a), (a, 1, 1), (−1, 1, a)i.
24. Indique condições sobre os parâmetros reais αi , βi , i = 1, 2 que garantam a
independência linear dos vectores v1 e v2 do espaço vectorial real, em cada
um dos seguintes casos:
(a) v1 = (α1 , β1 , 0), v2 = (α2 , β2 , 1);
(b) v1 = (α1 , β1 , 3), v2 = (α2 , β2 , 9).
25. Considere em R4 os vectores a = (1, 0, 1, 0), b = (1, 0, 0, 1), c = (1, 1, 1, 1).
5
(a) Mostre que (a, b, c) é um sistema linearmente independente.
(b) Diga se (a, b) é ou não um sistema independente.
(c) Indique todos os subsistemas independentes de (a, b, c).
(d) Dê exemplo de um vector d, não nulo, tal que (a, b, c, d) seja linearmente independente.
26. Diga se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações acerca de vectores
arbitrários de um espaço vectorial E:
(a) Se u, v, w são vectores independentes, não se pode ter z = 2u − w,
z = u + v − 3w.
(b) Se u, v, w são vectores independentes, então u é combinação linear de
u e w.
(c) Se u, v, w são vectores independentes e se u, v, w, z são vectores dependentes, então z é combinação linear de u, v, w.
27. Verifique se os seguintes sistemas de vectores constituem ou não bases dos
espaços vectoriais indicados:
(a) (1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 0), (1, 2, 0, 0) em R4 ;
(b) 1 + 2x − 3x2 , 2 − 3x, 3 − x − 3x2 em R2 [x];
(c) 1, x, x2 em R2 [x];
(d) 1, 1 + x, 1 + x2 , 1 + x3 , 1 + x4 em R4 [x].
28. Diga para que valores do parâmetro real a os vectores
(1, 2, 3, a), (0, 1, 1, a), (2, 1, 2, 0), (a, 1, 0, 1)
constituem uma base do espaço vectorialR4 .
29. Sabendo que cada um dos seguintes sistemas de vectores gera o espaço
vectorial indicado em cada caso, determine em cada um, um subsistema
que seja uma base do espaço:
(a) (2, 1), (−6, 3)(1, 4), em R2 ;
(b) (−2, 3, 1), (3, −1, 2), (1, 2, 3), (−1, 5, 5), em R3 ;
(c) x2 − 1, x2 + 1, 4x, 2x − 3, em R2 [x];
6
(d) 1, 4x + 3, 3x − 4, x2 + 2, x − x3 , em R3 [x];
(e) (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 0), em R3 .
30. Determine as componentes de:
(a) 2 − x em relação à base 1 + x, 1 − x de R1 [x];
(b) 2 − 3i em relação à base 1 + i, 1 − i de C, considerado como espaço
vectorial real;
(c) (2, 1, 3) em relação à base (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1) de R3 .
31. Considere em R3 [x] o polinómio f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a não
nulo. Verifique que f (x), f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), onde f 0 (x) designa como
habitualmente a derivada do polinómio f (x), formam uma base de R3 [x].
Dado f (x) = 1 − 2x + 3x2 + 5x3 , considere a base referida anteriormente
e escreva as componentes de g(x) = 37 − 18x − 21x2 + 15x3 , em relação
a essa base.
32. Encontre um sistema de geradores para cada um dos seguintes subespaços
vectoriais do espaço vectorial R4 :
(a) {(x, y, z, w) : x = 0, y = −z};
(b) {(x, y, z, w) : x + 2y − z = 0, x + y + 2w = 0, y − z + w = 0}.
33. Defina, por meio de condições, os seguintes subespaços vectoriais:
(a) h(1, 0, 1), (0, 1, 0), (−2, 1, −2)i de R3 ;
(b) h(1, 1, 2, 1), (0, 1, 0, 1)i de R4 ;
(c) hx, 1 + x, 2 + 3x + 4x2 i de R2 [x].
34. Sendo A uma matriz com m linhas, mostre que as colunas de A geram Rm
se e só se a caracterı́stica de A é igual a m.
35. Mostre, com base no exercı́cio anterior, que em Rm qualquer conjunto com
menos de m vectores não gera Rm .
36. Determine a dimensão e uma base para o espaço das colunas e das linhas da
matriz
3 1
.
−6 2
Descreva geometricamente esses espaços.
7
37. Determine as dimensões e indique bases para o espaço das colunas, das linhas e para o espaço nulo das matrizes dadas. Calcule ainda a caracterı́stica
e a nulidade.


0 2 1 1
 0 0 3 1 

(a) 1 0
(b) 
 0 0 0 0 
0 0 0 0


−1 3 0 2
3 0 −6 0
(c)
(d)  0 2 2 0 
1 0 −2 0
−1 3 0 2




1 0 0
0 1 0 0
 0 1 0 


0 0 1 0 
(e)
(f) 
 0 0 1 .
0 0 0 1
0 0 0




1 2 3 4
1 4 −2 3
 2 1 2 3 


3 6 0 3 
(g)
(h) 
 3 2 1 2 .
3 4 2 1
4 3 0 1
38. Estenda o conjunto das linhas da matriz
1 2 3
A=
0 0 1
de forma a obter uma base de R3 . Dê uma base para R2 constituı́da por
colunas de A.
39. Seja A uma matriz 4 × 4. Responda às questões seguintes:
(a) Se o espaço das colunas de A não é R4 , o que pode dizer a respeito do
núcleo de A?
(b) Se o núcleo de A não é o subespaço {0}, o que pode dizer a respeito
do espaço das colunas de A?
(c) Se o espaço das colunas de A é R4 , o que pode dizer a respeito das
soluções do sistema Ax = b, para b ∈ R4 ?
(d) Se o núcleo de A é o subespaço {0}, o que pode dizer a respeito das
soluções do sistema Ax = b, para b ∈ R4 ?
8
40. Considere o subespaço vectorial
F = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = 0, y + 2z − w = 0}
do espaço vectorial real R4 . Verifique se os vectores
(0, 3, 0, 3), (0, −1, 1, 1), (0, 1, 1, 3)
são ou não geradores de F . Determine uma base de F .
41. Determine as intersecções dos seguintes subespaços, nos espaços vectoriais
indicados, e indique uma base para cada um dos subespaços encontrados:
(a) F = {(x, y, z) : x+y−z = 0, x+y = 0} e G = h(1, 0, 1), (−1, 1, 2)i,
em R3 ;
(b) F = {(x, y, z, w) : x + y − z + w = 0, x + 2y − z + 2w = 0} e
G = h(1, 1, −1, 1), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 1, 1)i, em R4 ;
(c) F = h(1, −1, 1), (0, 1, 1)i, G = h(1, 1, 2), (−1, 1, 1)i, em R3 .
42. Considere no espaço vectorial R3 os subespaços
F = {(x, y, z) : 3x + y = x − z = 0}, G = {(x, y, z) : kx + 2y − z = 0}.
Determine os valores reais do parâmetro k que fazem com que F ∪ G seja
um subespaço vectorial do espaço considerado.
43. Prove que, num espaço vectorial E qualquer, se x ∈ hx1 , . . . , xm i(com
m > 1) e x ∈
/ hx1 , . . . , xm−1 i, então xm ∈ hx1 , . . . , xm−1 , xi.
44. Considere no espaço vectorial R4 os subespaços vectoriais
F = h(1, 0, 1, 0), (0, 1, −1, 0), (1, 1, 1, 1)i
e
G = {(x, y, z, w) : x + y − w = x + 2z + w = 0}.
(a) Determine a intersecção e a soma dos dois subespaços.
(b) Diga se a união dos dois subespaços é ou não um subespaço vectorial
de R4 .
(c) Determine uma base de R4 que inclua vectores de G.
9
45. Considere no espaço vectorial R3 [x] os subespaços vectoriais
F = h1 + x, 1 − x3 i, G = h1 + x + x2 , x − x3 , 1 + x + x3 i.
Determine a intersecção de F com G, indicando uma base.
46. Considere no espaço vectorial R3 o subespaço
F = {(x, y, z) : x − y = 0, x − 2y + z = 0}.
(a) Determine a dimensão de F e indique uma base.
(b) A partir da base indicada na alı́nea anterior, determine, se possı́vel,
uma base do subespaço
G = {(x + y, x − y, x + y) : x, y ∈ R}.
(c) Averigue se existem valores reais de α, β para os quais o vector (x, x, z)
pertença ao subespaço gerado pelo vector (−1, −1, 1) e pelos vectores
da base de F indicada na alı́nea anterior.
47. Considere no espaço vectorial R4 o conjunto
F = {(x, y, z, w) : x + y + z = y + 2z − w = 0}
e o subespaço vectorial
G = h(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, −1i.
(a) Verifique que F é um subespaço de R4 .
(b) Indique uma base para F .
(c) Determine F + G. Indique uma base.
10