Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Álgebra Linear
Cursos: MEBiol, MEAmbi
1 Semestre — 15 de Janeiro de 2014
T1+T2
Nome:
Número:
Curso:
Prob.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Nota Final
1.8
0.8
0.8
0.7
1.3
1.0
B C D Classificação
• A prova que vai realizar tem a duração de 90 minutos.
• Não é permitido o uso de dispositivos electrónicos de transmissão ou recepção de dados,
nem calculadoras ou computadores.
• As respostas deverão ser dadas a caneta (e não a lápis).
• As perguntas de escolha múltipla devem ser respondidas no quadro acima, assinalando
uma única resposta. As cotações de cada pergunta de escolha múltipla são:
Certa: 0.6 val. Errada: - 0.1 val. Branco: 0.0 val.
• As perguntas que não são de escolha múltipla devem ser respondidas neste caderno
de folhas no espaço em branco após o enunciado da respectiva pergunta. Não deve
desagrafar o caderno de respostas.
15 Janeiro 2014
2
[0.6]
1. O sistema linear

+ z + 2w = 0

x

2x − y + 3z + 3w = 0
y
+ 2w = 2



x − y + 2z + w = 0
A.)
B.)
C.)
D.)
Não tem solução.
Tem uma solução única.
Tem uma infinidade de soluções com uma variável livre.
Tem uma infinidade de soluções com duas variáveis livres.
Indique qual a afirmações verdadeira.
2. Seja A uma matriz 3 × 3 e B, E1 , E2 , E3 matrizes invertı́veis que verificam a relação
[0.6]
E1 A = E2 E3 B.
I)
II)
III)
IV
A matriz A é invertı́vel.
A matriz A não tem linhas nulas.
A−1 = (E1 E2 E3 B)−1 .
Se B é a matriz identidade, a matriz inversa de A é (E1−1 E2 E3 )−1 .
Indique a lista completa de afirmações verdadeiras.
A) I, III e IV.
B) IV.
C) I, II e IV.
D) I e II.
3. Para que valor do parâmetro c o vector (4c, 7 + c, 3, 65 ) pertence ao espaço vectorial gerado
pelos vectores v1 = (1, 3, 1, 0) e v2 = (4, 6, 2, 13 )?
A)
B)
C)
D)
c = 2.
c = − 65 .
c = −3.
c = 52 .
Indique a afirmação verdadeira.
[0.6]
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3
4. Seja U um subespaço vectorial de R3 de dimensão 2 e
[0.6]
V = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + y − 2z = 0}.
I)
II)
III)
IV)
A dimensão de V é igual a 1.
V é o núcleo de uma matriz.
Uma base para V é {(2, 0, 3), (−1, 3, 0)}.
U ∩ V = {0}.
Indique a lista completa de afirmações verdadeiras.
A) I e II.
B) I, II e IV.
C) II e III.
D) III e IV.
[0.6]
5. Considere as matrizes:
1 2
,
M=
0 1
I)
II)
III)
IV)
0 −1
N=
3 −1
[M N T ]2,1 = −1.
[M N T ]2,1 = 1.
[M N −1 ]1,2 = −1.
[M N −1 ]1,2 = 31 .
Indique a lista completa das verdadeiras.
A) I e III.
B) I e IV.
C) II e IV.
D) I.
[0.6]
6. Considere as seguintes afirmações:
I) Se AB = C e C tem 2 colunas então A tem duas colunas.
II) Se BC = BD então C = D.
III) Se A e B são matrizes do tipo m × n então os produtos AB T e AT B estão ambos bem
definidos.
IV) Se AB = 0 então A = 0 ou B = 0.
Indique a lista completa das verdadeiras.
A) I e III.
B) I, II e IV.
C) III e IV.
D) III.
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7. Considere a matriz
4


2 1 0 4
A = 2 1 1 2
4 2 3 2
a) Calcule a forma reduzida em escada por linhas da matriz.
[0.3]
b) Determine a caracterı́stica e uma base do espaço das colunas de A.
[0.5]
c) Determine a nulidade e uma base do espaço nulo de A.
[0.5]
d) Para que valores de α é o sistema Ax = [2 3 α]T possı́vel?
[0.5]
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8. Calcule, usando o método de Gauss-Jordan, a

3
0
−1 1
2 −1
5
matriz inversa de

1
−1
0
9. No espaço vectorial P4 (dos polinómios de grau menor ou igual a 4) considere a base
canónica C = {1, t, t2 , t3 , t4 }. Prove que o conjunto B = {2, 3t, 1 − t2 , 3t3 − 1, 2t4 } é uma base
de P4 e indique a matriz de mudança de base de B para C.
[0.8]
[0.8]
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6
10. O conjunto
E = {(x, y, z) ∈ R3 x + 3y + 2z − 2 = 0}.
[0.7]
é um espaço vectorial? Justifique.
11. Considere os subespaços vectoriais de R3 :
U = L{(2, 0, 0)},
V = L{(0, −1, 0), (1, 1, 0)},
[0.5]
a) Determine uma base do espaço vectorial U ∩ V .
[0.5]
b) Determine uma base do espaço vectorial U + V .
[0.3]
c) O conjunto U ∪ V é um espaço vectorial? Justifique.
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7
12. Em relação à base {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, −1)} de R3 , a matriz da transformação linear
T : R3 → R3 é


2 0 1
1 0 2 .
0 1 1
Determine a expressão analı́tica de T .
[1.0]