VARIÁVEL REAL. LISTA 3
ESPAÇOS DE HILBERT
1) Provar que se f, g são funções reais em L2 (R), então f ⊥ g, se e só se, kf + gk22 = kf k22 + kgk22 . Mostrar que a
implicação “⇐=”não é necessáriamente certa se f, g são funções funções complexas. Dar uma condição necessária e
suficiente para f ⊥ g neste caso.
p
2) Seja h., .i um producto escalar num espaço vectorial real E, e kf k = hf, f i quando f ∈ E.
(i) Demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwartz |hf, gi| ≤ kf kkgk.
(ii) Demonstrar a desigualdade triangular kf + gk ≤ kf k + kgk, e deduz que k · k é uma norma em E.
(iii) Saberias provar (i) quando E é um espaço vectorial sobre C? Sugesto: En (i) estuda as raizes do polinmio
p(λ) = hf + λg, f + λgi, e en (ii) escreve kf + gk como hf + g, f + gi e usa a desigualdade (i).
3) Provar que a igualdade |hf, gi| = kf kkgk s se d quando f = cg para algum escalar c ∈ C (ou se f ou g so
identicamente zero.) Sugesto: Reduzir primeiro o caso hf, gi = kf k = kgk = 1. Neste caso usar que f = (f − g) + g
com f − g⊥g, para concluir f = g.
4) (i) Seja E um espaço de Hilbert. Demonstrar a identidade de polarização
hf, gi =
kx + yk2 − kx − yk2 + ikx + iyk2 − ikx − iyk2
.
4
(ii) Sea U : E1 −→ E2 uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert. Provar que U um operador unitário, quer
dizer hU (x), U (y)iE2 = hx, yiE1 , ∀x, y ∈ E.
5) Se (H, h., .i) um espaço de Hilbert, demonstrar que para todo x ∈ H se cumpre
kxk = sup |hx, yi|.
kyk=1
6) Num espaço de Hilbert H, dado um conjunto de vectores E ⊂ H se define
E ⊥ = {f ∈ H : f ⊥ g, ∀g ∈ E}
a) Demonstrar que E ⊥ um subespaço vectorial fechado de H.
d) Provar que E ∩ E ⊥ = {0}.
d) Se E um subespaço vectorial fechado de H, demonstrar que H = E ⊕ E ⊥ , onde a soma ortogonal.
d) Se E um subespaço fechado, provar que (E ⊥ )⊥ = E.
Sugestão: Em (c), utilizar a existencia de BON (base ortonormal) em E e E ⊥ .
7)(i) Seja H um espaço de Hilbert e S um subconjunto fechado e convexo. Demonstrar que para toda função
f ∈ H existe um único elemento s ∈ S tal que
dist(f, g) = kf − gk.
Esta propriedade é certa num espaço normado arbitrário?
Sugestão: Em (i), tomar uma sucessão sn ∈ S tal que dist(f, S) = lı́m kf − sn k, demonstrar que tal sucessão é de
Cauchy usando a lei do paralelogramo e a convencidade de S. Em (ii), tentar como exemplo a bola unidade de `1 e
o ponto f = (1, 1, 0, . . .).
8) (i) Demonstrar que se E é um espaço vectorial topológico com a propriedade de ser separável (i.e, existe um
subconjunto denso numerável), então E tem um sitema linealmente independente {h1 , h2 , . . .} tal que lin{hj } é denso
em E. 9) Considerar os espaços de Hilbert (separáveis) L2 (X, µ) e L2 (Y, ν), com bases ortonormais {fi (x)}i∈I e
{gj (y)}j∈J . Demonstrar que as funções hij (x, y) = fi (x)gj (y), i ∈ I, j ∈ J formam uma base BON de L2 (X×Y, µ×ν).
10) Encontrar fórmulas para cos(A) cos(B), sin(A) sin(B), utliza-as para demonstrar que o sistema trigonométrico
{sin(2πmx), cos(2πmx)}n,m∈N é ortogonal em L2 [0, 1). Calcula as constantes apropriadas que tormam o sistema
ortonormal. 11) Las funções de Rademacher de definem com rn (t) = sign[sin(2n tπ)], n = 0, 1, 2, . . .
(i) Desenha as funções rn (t) para t ∈ [0, 1) para 0 ≤ n ≤ 3.
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(ii) Demonstra que {rn (t)}∞
n=0 é um sistrma ortonormal em L [0, 1).
(iii) Demonstra que o sistema de Rademacher não é uma base BON de L2 [0, 1). Saberias completar o sistema para
obter uma BON?
12) O sistema de Haar en [0, 1) : Para cada intrvalo diádico Ij,k = [k2−j , (k + 1)2−j ), com 0 ≤ k < 2j e
j = 1, 2, 3, . . . , se define por

se x está a metade esquerda de Ij,k ,
 1,
−1, se x está na metade direita de Ij,k ;
hj,k (x) =

0,
para o resto.
(i) Demonstrar que hj,k (x) = h(2j x − k), onde h(x) = χ[0, 12 ) (x) − χ[ 21 −1) (x).
(ii) Provar que {hj,k }j,k é um sistema ortogonal em L2 [0, 1).
j
(iii) Provar que {h0 = 1} ∪ {2 2 hj,k (x)}j,k é uma BON de L2 [0, 1). 13) Demonstrar que cada um dos conjuntos
{1, cos(rnx)}∞
n=1
e {sin(rnx)}∞
n=1
forma uma base ortogonal de L2 [0, 1).
Sugestão: Extender f ∈ L2 [0, 1) de forma par ou ı́mpar e expressarla em termos da expressão trigonométrica usual
de L2 [−1, 1) (podes supor que esta última é uma BON).
14) Considera o sistema LI dos polinómios p = {1, x, x2 , . . .} em L2 [−1, 1]. Calcula mediante o procedimento de
Gram-Schmidt os trés os primeiros vectores da BON {Pn (x)}n≥0 gerada por P.
nR
o
1
15) Calcular mı́n −1 |x0 − a − bx2 |2 dx : a, b, c ∈ R (Indicação: usar uma BON dos polinómios de grau 2 em
L2 [−1, 1); ver o exemplo anterior.)
16) Os polinómios de Legendre se podem definir mediante a regra
p0 (x) = 1,
pn (x) =
dn 2
(x − 1)n , n = 1, 2, 3, . . .
dxn
a) Demonstrar (integrando por partes) que
Z
1
f (x)
−1
i
dn h 2
n
(x
dx = (−1)n
−
1)
dxn
Z
1
f (n) (x)(x2 − 1)n dx
−1
e deduzir que {pn (x) : n = 0, 1, 2, . . .} é um SOG (sistema ortogonal) de L2 [−1, 1].
(b) Provar que
Z 1
(n)2 22n+1
(x2 − 1)n dx = (−1)n
2n!(2n + 1)
−1
c) Determinar as constantes ak para que {Pn = ak pn (x)}n≥0 seja um SON de L2 [−1, 1].
Sugestão: en (ii) usa a mudança de variáveis xa = y e a função beta de Euler.
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