6a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
1) Seja A uma matriz n × n com entradas num corpo K e seja T : K n → K n a função que
a cada vector (x1 , ..., xn ) associa o vector (y1 , ..., yn ) tal que
 
 
y1
x1
 .. 
 .. 
 .  = A .  .
yn
xn
Supondo que A é não-singular, mostre que T é um isomorfismo e que o seu inverso T −1
é obtido de forma semelhante multiplicando pela matriz A−1 .
2) Considere a lista B = ((1, 2, 0), (1, 1, 1), (1, −1, 1)) de vectores de R3 .
a) Mostre que B é uma base (ordenada) de R3 .
b) Qual é a matriz de mudança de base (i.e., da base canónica para B)?
c) Descreva explicitamente o isomorfismo C : R3 → R3 que é determinado por B, ou
seja, tal que para cada (x, y, z) ∈ R3 o vector C(x, y, z) é o vector de coordenadas de
(x, y, z) em relação a B, escrito como função de x, y e z.
d) Descreva, também explicitamente em função de x, y e z, o isomorfismo C −1 .
3) Dados um espaço linear V sobre um corpo K e uma base ordenada (v1 , . . . , vn ) de V ,
seja C : V 7→ K n o isomorfismo que a cada vector x ∈ V associa o vector C(x) das
coordenadas de x na base (v1 , . . . , vn ). Mostre que para cada i o vector C(vi ) é o i-ésimo
vector da base canónica de K n .
4) a) Mostre que {i + (1 + 2i)x, ix + 2x2 , 3 + 5ix2 } é uma base de P2 (C).
b) Qual é a dimensão de P2 (C) enquanto espaço vectorial real? Dê um exemplo de uma
base.
5) Mostre que no espaço vectorial complexo CR as funções eix , e2ix e e3ix são vectores
linearmente independentes.
(Sugestão: Construa uma matriz 3 × 3 com valores das três funções em três números
reais distintos.)
6) Mostre que os conjuntos de polinómios p(x) que satisfazem cada uma das condições
indicadas a seguir são subespaços lineares de Pn (R), e para cada um deles indique a
dimensão e uma base.
a) p(0) = 0
b) p0 (0) = 0
7) a) Mostre que o conjunto V das sucessões de números reais u para as quais o conjunto
{n ∈ N : u(n) 6= 0}
é finito é um subespaço de RN .
b) Mostre que V ∼
= P(R).
8) Determine as dimensões e indique bases para o núcleo, para o espaço das linhas e para
o espaço das colunas de cada uma das matrizes seguintes. Para cada matriz obtenha as
três bases pretendidas recorrendo a uma só eliminação de Gauss.
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6a Lista de Exercı́cios
Álgebra Linear
a)
3 0 −6 0
1 0 −2 0


−1 3 0 2
b)  0 2 2 0 
−1 3 0 2


0 1 0 0
c)  0 0 1 0 
0 0 0 1


1 0 0
 0 1 0 

d) 
 0 0 1 
0 0 0
9) Seja S o conjunto das funções de R em R com segunda derivada contı́nua que são soluções
da equação diferencial ty 00 (t)−y 0 (t) = 0, e seja P ⊂ S o conjunto das soluções polinomiais
desta equação.
a) Prove que S e P são espaços lineares, relativamente às operações usuais.
b) Determine a dimensão e uma base de P .
(Observação: Na verdade, prova-se que P = S.)
10) Seja V o subespaço de P4 gerado pelos vectores:
1 + x3 + x4
1 + x + x3 + 2x4
1 + x2 + 2x3 + x4
3x + x2 + x3 + 3x4
2 − x + x2
3 + x3 + x4
Calcule a dimensão de V e uma base de V contida no conjunto anterior.
11) a) Obtenha uma descrição paramétrica do subconjunto V de R3 que é descrito pelas
seguintes equações cartesianas:
(
x+y+z =3
x − y + 2z = 1
b) V é um plano-k para que valor de k?
c) V é um hiperplano de R3 ?
12) Uma linha recta em R3 passa pelo ponto (1, 1, 1) e é paralela ao vector (1, 2, 3). Outra
recta passa por (2, 1, 0) e é paralela ao vector (3, 8, 13). Determine a intersecção das
duas rectas.
13) Determine uma equação cartesiana para cada um dos seguintes planos em R3 :
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Álgebra Linear
a) O plano que passa por (1, 2, 1) e é paralelo ao plano que passa pela origem e é gerado
pelos vectores (1, 0, −1) e (1, 1, 1).
b) O plano que passa pelos pontos (1, 2, 1), (−2, −1, −1) e (4, 2, −1).
14) Um plano M em R3 tem equação cartesiana x + 2y − 3z = 1. Determine vectores
u, v ∈ R3 e um ponto P ∈ R3 tais que M = P + L(u, v).
15) Determine uma equação cartesiana para o plano que passa pelo ponto (1, 2, 1) e é paralelo
ao plano de equação 2x + y − z = 4.
16) Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K. Assuma ainda que V tem dimensão
infinita. (Recorde que isto significa, por definição, que V não contém nenhuma base
finita.) Mostre que para cada n ∈ N existe um conjunto linearmente independente
S ⊂ V contendo exactamente n vectores.
17) Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K e seja W ⊂ V um subespaço. Mostre que
se W tiver dimensão infinita então V também tem dimensão infinita. (Sugestão: recorra
ao exercı́cio anterior.)
18) Seja A um conjunto qualquer e K um corpo.
a) Definindo, para cada a ∈ A, a função fa : A → K tal que fa (a) = 1 e fa (b) = 0
para qualquer b 6= a, mostre que o conjunto formado por estas funções é linearmente
independente.
b) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: o espaço vectorial
K A sobre K tem dimensão infinita se e só se o conjunto A for infinito.
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