XV ONM - Categoria B (10o , 11o , 12o anos)
Final Nacional 1997 - 2o dia
19/4/97
Justifica convenientemente as tuas respostas e indica os principais
cálculos. Não é permitido o uso de calculadoras.
Duração: 3 horas
Cada questão vale 10 pontos
Soluções
4. O dódó era um animal estranho. Como já se extinguiu, apenas se podem fazer conjecturas acerca
do seu modo de vida. Uma das conjecturas mais singulares está ligada ao modo como o dódó se
deslocava. Ao que parece, um animal adulto deslocava-se apenas aos saltos, que podiam ser de dois
tipos:
tipo I: 1 metro para Este e 3 para Norte;
tipo II: 2 metros para Oeste e 4 para Sul.
a) Mostra que era possı́vel ao dódó chegar a um ponto situado a 19 metros para Este e 95 para Norte
dele e determina o número de saltos de cada tipo que ele necessitava de efectuar.
b) Mostra que era impossı́vel ao dódó chegar a um ponto situado a 18 metros para Este e 95 metros
para Norte dele.
Solução
5. Uma região quadrada de lado 12 contém uma fonte de água que abastece um sistema de irrigação
constituı́do por diversos canais rectilı́neos formando linhas poligonais. Considera a fonte como um
ponto e cada canal como um segmento de recta.
Sabendo que um ponto é irrigado se estiver a uma distância não superior a 1 de algum canal e que
o sistema foi desenhado de modo a que toda a região seja irrigada, prova que o comprimento total
dos canais de irrigação excede 70.
Solução
6. Pintaram-se n linhas paralelas de comprimentos a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an para sinalizar um átrio
de um aeroporto. Entretanto o arquitecto decidiu que as n linhas deveriam ter igual comprimento.
Se o custo por metro de prolongar as linhas for igual ao custo de reduzi-las, com que comprimento
devem ficar as linhas de modo a serem minimizados os custos?
Solução
Arquivo de Provas
Sociedade Portuguesa de Matemática