Universidade Federal de Santa Maria
Departamento de Matemática
Curso de Verão 2011
Lista 9
Integral
1. Considere f : [0, 1] → R dada por

/ 13 , 23 ,
 0, x ∈
f (x) =

1, x ∈ 13 , 23 .
Para cada > 0, exiba uma partição P de [0, 1] tal que S(f, P ) −
s(f, P ) < .
2. Fixado n ∈ N, considere f : [0, 1] → R dada por

/ n1 , . . . , n−1
,
 0, x ∈
n
f (x) =

1, x ∈ n1 , . . . , n−1
.
n
Para cada > 0, exiba uma partição P de [0, 1] tal que S(f, P ) −
s(f, P ) < .
3. Seja A = n1 ; n ∈ N e considere f : [0, 1] → R dada por

/ A,
 0, x ∈
f (x) =

1, x ∈ A.
(a) Para cada > 0, exiba uma partição P de [0, 1] tal que S(f, P ) −
s(f, P ) < .
R1
(b) Mostre que f (x) dx = 0.
0
4. Fixado b > 0, defina f : [0, b] → R por f (x) = x2 , x ∈ [0, b].
(a) Para cada > 0, exiba uma partição P de [0, b] tal que S(f, P ) −
s(f, P ) < .
1
(b) Mostre que
Rb
f (x) dx =
0
b3
.
3
5. Considere f : [0, 1] → R dada por

 x, x ∈ Q,
f (x) =

0, x ∈
/ Q.
Rb
Rb
Calcule f (x) dx e f (x) dx .
a
a
6. Suponha que f : [a, b] → R é limitada e c é um ponto qualquer de (a, b).
Mostre que f é integrável em [a, b] se, e somente se, f é integrável em
[a, c] e em [c, b]. Nesse caso
Zb
Zc
f (x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
f (x) dx .
c
7. (propriedades da integral) Suponha que f, g : [a, b] → R são integráveis e c ∈ R. Mostre que:
(a) f + g é integrável e
Zb
Zb
f (x) + g(x) dx =
a
Zb
f (x) dx +
a
g(x) dx,
a
(b) cf é integrável e
Zb
Zb
cf (x) dx = c
a
(c) se f ≥ 0 então
Rb
f (x) dx,
a
f (x) dx ≥ 0,
a
(d) se f ≤ g então
Zb
Zb
f (x) dx ≤
a
g(x) dx,
a
2
(e) |f | é integrável e
Zb
a
b
Z
|f (x)| dx ≤ f (x) dx .
a
8. Dê um exemplo de função não integrável mas tal que |f | seja integrável.
9. Dê um exemplo de f integrável com f ≥ 0, f (x) > 0 para algum
Rb
x ∈ [a, b], mas f (x) dx = 0.
a
10. Mostre que se f : [a, b] → R é contı́nua, f ≥ 0, f (x) > 0 para algum
Rb
x ∈ [a, b] então f (x) dx > 0.
a
11. Considere f : [a, b] → R integrável e para cada x ∈ [a, b] defina
Zx
F (x) =
f (t) dt .
a
Mostre que F é contı́nua e, portanto, uniformemente contı́nua.
12. Considere f : [a, b] → R integrável e para cada x ∈ [a, b] defina
Zx
F (x) =
f (t) dt .
a
Seja c ∈ (a, b). Para cada uma das seguintes afirmações, dê uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) Se f é diferenciável em c então F é diferenciável em c.
(b) Se f é diferenciável em c então F 0 é contı́nua em c.
(c) Se f 0 é contı́nua em c então F 0 é contı́nua em c.
13. Suponha que g1 , g2 : I → R são primitivas da f no intervalo I de R.
Mostre que ∃c > 0 tal que g2 = g1 + c.
14. Enuncie e demonstre a fórmula de integração por partes.
15. Encuncie e demonstre a fórmula de integração por substituição.
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