Troncos de Cone e de Pirâmide
1. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular
reto de eixo vertical recebe água na razão constante de
1 cm3 s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base
mede 3 cm.
Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no
recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica
aberta. A medida de h corresponde à distância entre o vértice
do cone e a superfície livre do líquido.
Admitindo π  3, a equação que relaciona a altura h, em
centímetros, e o tempo t, em segundos, é representada por:
a) h  43 t
b) h  23 t
c) h  2 t
d) h  4 t
2. (Unesp 2014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente,
de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de altura R e raios das bases
medindo R e r. A forma do copo é, aproximadamente, de um tronco de cone de altura 3R e
raios das bases medindo R e 2r.
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios
1
das bases B e b é  π  h  (B2  B  b  b2 ) e dado que 65  8,
3
determine o raio aproximado da base do copo, em função de R,
2
para que a capacidade da taça seja
da capacidade do copo.
3
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3. (Uel 2014) Uma empresa que produz embalagens plásticas está elaborando um recipiente
de formato cônico com uma determinada capacidade, conforme o modelo a seguir.
Sabendo que o raio desse recipiente mede 36
cm e que sua altura é de 48 cm, a que
distância do vértice deve ser feita uma marca
na superfície lateral do recipiente para indicar
a metade de sua capacidade?
Despreze a espessura do material do qual é
feito o recipiente.
Apresente os cálculos realizados na
resolução desta questão.
4. (Ita 2014) Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles
ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0, 25 cm do vértice A e 0, 75 cm da
base BC. Se o lado AB mede
a)
b)
c)
d)
e)
π2  1
3
cm, o volume desse sólido, em cm , é igual a
2π
9
.
16
13
.
96
7
.
24
9
.
24
11
.
96
5. (Mackenzie 2014) Para construir um funil a partir de um disco de alum‫ي‬nio de centro O e raio
R  16 cm, retira-se do disco um setor circular de ângulo central θ  225.
Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r  1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC
e BD. O processo de construç.oxiaba sarugif san odatneserper ‫ل‬tse linuf od o‫م‬
A medida da altura do funil é
a) 2 39 cm
b)
15 39
cm
8
c)
55
cm
8
d) 2 55 cm
e)
15 55
cm
8
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6. (Espm 2014) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma
exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se
em cada garrafinha brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da
garrafa original é de:
a) 875 ml
b) 938 ml
c) 742 ml
d) 693 ml
e) 567 ml
7. (Uem 2014) A superfície de uma piscina tem o formato de um círculo de raio 4 metros. A
profundidade abaixo de cada ponto na superfície da piscina é descrita pela função


 x  3 se 0  x  3
p(x)  
 3
 3 se 3  x  4
em que x é a distância, em metros, do ponto na superfície da piscina até a borda da piscina.
Assinale o que for correto.
01) A profundidade da piscina em um ponto que está a 2 metros da borda é de 2,5 metros.
02) Uma pessoa que não deseje ir a uma parte da piscina que tenha profundidade acima de
1,5 metro pode afastar-se, no máximo, 1,5 metro da borda.
04) Se dois pontos estão a distâncias distintas da borda da piscina, então as profundidades
abaixo deles também são distintas.
08) O sólido que descreve a piscina é a união de dois cilindros com um tronco de cone.
16) O volume de água que cabe dentro da piscina é 24πm3 .
8. (Ufg 2013) Uma fábrica de embalagens resolveu produzir um copo no formato de tronco de
cone circular reto, com diâmetros superior e inferior de 6 cm e 4 cm, respectivamente. A parte
central do fundo do copo é côncava, em formato de semiesfera, com 1,5 cm de raio, como
indica a figura a seguir.
Considerando-se o exposto, desenvolva a expressão que fornece o volume do tronco de cone
em função da altura e dos raios das bases e calcule a altura aproximada desse copo para que
ele tenha capacidade de 157 mL.
Dados: π  3,14, Vcone 
πR2H
4πr 3
, Vesfera 
.
3
3
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9. (Esc. Naval 2013) A Marinha do Brasil comprou um reservatório para armazenar
combustível com o formato de um tronco de cone conforme figura abaixo. Qual é a capacidade
em litros desse reservatório?
a)
b)
c)
d)
e)
40 2
10 π
3
19 5
10 π
2
49
10 π
3
49 4
10 π
3
19 3
10 π
3
10. (Espcex (Aman) 2013) Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e
altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre
os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira
que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for
aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do
óleo, medida a partir do vértice será
3
7
h
2
3
7
h
b)
3
a)
3
12
h
2
3
23
h
d)
2
3
23
h
e)
3
c)
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11. (Ufg 2013) Em um período de festas, pretende-se decorar um poste de uma praça com fios
de luzes pisca-piscas. A estrutura da decoração possui o formato de tronco de cone circular
reto com 2,4 m de altura e diâmetros de 2 m na base e 0,6 m no topo. Os fios de luzes serão
esticados, do aro superior ao inferior, ao longo de geratrizes do tronco de cone e, para distribuílos de maneira uniforme, marcam-se na circunferência da base pontos igualmente espaçados,
de modo que o comprimento do arco entre dois pontos consecutivos seja no máximo 10 cm.
De acordo com os dados apresentados, determine o número mínimo de fios de luzes
necessário para cobrir a superfície lateral do tronco de cone e a soma total de seus
comprimentos.
Dado: π  3,14.
12. (Fgv 2013) Um cilindro circular reto de base contida em um plano α foi seccionado por um
plano β, formando 30° com α, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são,
respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em β, e raio da circunferência de
centro Q contida em α. Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em β, e os pontos A, C,
Q e E são colineares e estão em α.
Sendo BC = 1 m e CQ  3m, o menor caminho pela superfície lateral do tronco ligando os
pontos C e D mede, em metros,
a) 3 1  3π2
b) 3 3π
c) 3 1  π2
d)
9  3π2
e)
9  π2
13. (Enem 2013) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato
representado na figura:
Nela identifica-se a representação de duas figuras
geométricas tridimensionais.
Essas figuras são
a) um tronco de cone e um cilindro.
b) um cone e um cilindro.
c) um tronco de pirâmide e um cilindro.
d) dois troncos de cone.
e) dois cilindros.
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14. (Fgv 2013) No poliedro ABCDEFGH, as arestas AE , BF , CG e DH são perpendiculares
ao plano que contém a face retangular ABCD, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que
AE  1, AB  DH  4 e 2AD  2BF  CG  6.
a) Calcule a distância entre os pontos A e G.
b) Calcule o volume do poliedro ABCDEFGH.
15. (Udesc 2013) Se a geratriz, a altura e o raio menor de um tronco de cone reto são,
respectivamente, 13 cm, 3 cm e 3 cm, então o volume do cone original é:
a) 98π cm3
b) 49π cm3
c) 13,5π cm3
d) 62,5π cm3
e) 76π cm3
16. (Ufmg 2012) Um funil é formado por um tronco de cone e um cilindro circular retos, como
representado na figura abaixo
Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e h  4 3 cm .
Considerando essas informações,
a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do corpo do
funil.
b) Calcule o volume total do funil.
c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a receber
água a 127 ml/s. Sabendo que a vazão do funil é de 42
ml/s, calcule quantos segundos são necessários para que
o funil fique cheio.
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17. (Uem 2012) Um determinado funil de plástico tem a forma de um tronco de cone cujas
circunferências dos furos que o delimitam possuem raios 2 cm e 0,5 cm, e a altura do funil é de
6 cm. Considerando essas informações, e desprezando a espessura do funil, assinale o que for
correto.
01) O volume (capacidade) do funil é maior do que 30 cm3.
02) A área lateral do funil é superior a 60 cm2.
04) Se o funil estiver em posição vertical, com o furo menor voltado para baixo e tampado, para
encher o funil até metade da altura com água, serão necessários menos de 10 cm3 de
água.
08) Se o funil foi obtido de um cone, removendo-se sua ponta, a altura do cone original era de
10cm.
16) A razão entre as áreas respectivas do círculo maior e menor que formam os furos do funil é
igual a 8.
18. (Ufg 2012) Pretende-se instalar, em uma via de tráfego intenso, um redutor de velocidade
formado por 14 blocos idênticos em forma de tronco de pirâmide. Cada tronco de pirâmide é
obtido a partir de uma pirâmide de base retangular após seccioná-la por um plano paralelo à
base e distante do vértice 2 3 da altura da pirâmide. Ao término da instalação, a face superior
(base menor) de cada tronco de pirâmide será pintada com tinta amarela. Cada litro de tinta
custa R$10,00, sendo suficiente para pintar 10 m2 .
Sabendo-se que a área da base maior de cada tronco de pirâmide utilizado na construção do
redutor é de 630 cm2 , calcule o custo da tinta amarela utilizada.
19. (Enem PPL 2012) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos
descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura
igual a 3,6cm;
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura
igual a 8,0cm.
Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo
para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura
igual a 6cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas
tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são
respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
Vtroncodecone 
πh 2 2
(R  r  Rr)
3
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y 2 seja, no mínimo, igual a
a) 2,664 cm.
b) 7,412 cm.
c) 12,160 cm.
d) 14,824 cm.
e) 19,840cm.
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20. (Udesc 2012) Um recipiente de uso culinário com 16 cm de altura possui o formato de um
tronco de cone reto (conforme ilustra a figura) e está com água até a metade da sua altura.
Sabendo que a geratriz desse recipiente é igual a 20 cm e que o diâmetro de sua base é igual
a 4 cm, classifique as proposições abaixo e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa.
(
(
(
) O volume de água no recipiente corresponde à quarta parte da quantidade necessária
para enchê-lo totalmente.
) Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28 cm3 por segundo, então o
tempo necessário para esvaziá-lo será superior a 20 segundos.
) Para aumentar 4 cm do nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais 364 π
cm3 de água.
A alternativa correta, de cima para baixo, é:
a) V – F – F
b) F – V – F
c) F – V – V
d) F – F – V
e) V – V – F
21. (Udesc 2012) Uma caixa de um perfume tem o formato de um tronco de pirâmide
quadrangular regular fechado. Para embrulhá-la, Pedro tirou as seguintes medidas: aresta
lateral 5 cm e arestas das bases 8 cm e 2 cm. A quantidade total de papel para embrulhar
esta caixa, supondo que não haja desperdício e nem sobreposição de material, foi:
a) 88 cm2
b) 168 cm2
c) 80 cm2
d) 68 cm2
e) 148 cm2
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22. (Ufu 2012) Considere um balde para colocação de gelo no formato de um tronco de cone
circular reto apresentando as medidas indicadas na figura a seguir.
Considerando que esse balde esteja com 25% de sua capacidade ocupada com gelo derretido
(água) e, consequentemente, com um volume de água igual a 0,097π litros, qual é o valor (em
cm) do raio da base maior R?
a) 8,5
b) 9
c) 8
d) 7,5
2 3
é interceptado por um plano
3
paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha
23. (Ita 2012) Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz
13
 π 
o mesmo volume de um cubo de aresta 

 243 
base do cone original seja, em cm, igual a
1
a)
4
1
b)
3
1
c)
2
2
d)
3
3
e)
4
cm, é necessário que a distância do plano à
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura
24cm e altura 3cm. Logo, temos
r
3
h

r  .
h 24
8
O volume desse cone é dado por
2
V
1
h3
h
 π   h 
cm3 .
3
64
8
Por outro lado, como a vazão da torneira é igual a 1cm3 s, segue-se que
V  1 t  t cm3 ,
com t em segundos.
Em consequência, encontramos
h3
 t  h  43 t cm.
64
Resposta da questão 2:
Utilizando a fórmula dada temos:
Capacidade da Taça: VT 
4π  R3  π  R2  r  π  R  r 2
3
Capacidade do copo: Vc  π  R3  2π  R2r  4  πR  r 2
Fazendo VT = 2/3(VC), temos:
7R  r 2  3  R2  R  2  R3  0
Resolvendo a equação na incógnita r, temos:
r
3  R2  65  R4 5  R

14  R
14
ou
r
3  R2  65  R4 11 R

(não convém)
14  R
14
Portanto, o raio do copo será:
2  5 R 5 R

.
14
7
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Resposta da questão 3:
Seja G a geratriz da embalagem. Como 36  3  12 e 48  4  12, segue-se que
G  5  12  60cm. Portanto, se g é o resultado pedido, então
3
1
60
 g 
 60   2  g  3


2
 g  303 4 cm.
Resposta da questão 4:
[C]
No triângulo AMC, temos:
2
2 
π2  1 
1
1
 1
x    
x
e h 


2
2
π
2
π
π
 


2
2
3 1 9
cm3
Volume do cilindro: VC  π    
 4  π 16
Volume de cada tronco de cone: VT 
  1 2 1 3  3 3  13
1 1

 π          
cm3
 4 
3 2π
4 4  4   96


Portanto, o volume pedido será dado por:
9
13 14
7
V  VC – 2  VT 
 2


cm3
16
96 48 24
Resposta da questão 5:
[E]
Tem-se que
AOB  360  θ  360  225  135 
3π
rad.
4
Logo,
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AB  AOB  AO 
3π
 16  12π cm
4
e
CD  AOB  OC 
3π
3π
1 
cm.
4
4
Daí, se R é o raio maior do funil e r é o raio menor do funil, então
2πR  12π  R  6cm
e
3π
3
2πr 
 r  cm.
4
8
Portanto, sendo h a altura do funil e AC  OA  OC  15cm a sua geratriz, pelo Teorema de
Pitágoras, vem
2
3
2025

h2  152   6    h2  225 
8
64

22375
64
h
h
15 55
cm.
8
Resposta da questão 6:
[A]
Seja c a capacidade da garrafa original, em mililitros.
Como os sólidos são semelhantes, tem-se que
3
c  1 

 c  875mL.
7  0,2 
Resposta da questão 7:
02 + 08 + 16 = 26.
[01] Falsa, pois p(2)  (2  3) / 3  5 / 3  2, 5.
[02] Verdadeira, pois p(1,5)  (1, 5  3) / 3  1,5m.
[04] Falsa, pois f(3)  f(4)  3 m.
[08] Verdadeira, de acordo com o texto a figura abaixo representa tal piscina.
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[16] Verdadeira, pois
Volume do cilindro maior: V1  π  42  1  16π m3
Volume do tronco de cone: V2 


1
 π  1 42  4  1  1  7π m3
3
Volume do cone menor: V3  π  12  1  π m3
Volume total: V  V1  V2  V3  16π  7π  π  24π m3
Resposta da questão 8:
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altura h e raios das bases R e r é dado por
h 2
(R  Rr  r 2 ), segue que o volume do copo é dado pela expressão
3
h 2
2 3
(R  Rr  r 2 ) 
re ,
3
3
com re sendo o raio da esfera.
Portanto, considerando a aproximação fornecida, a altura pedida é tal que
3,14  h
2  3,14
 (32  3  2  22 ) 
 (1,5)3  157 
3
3
3,14
 (19h  6,75)  157 
3
156,75
h

19
h  8,25cm.
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Resposta da questão 9:
[D]
ΔADE ~ ΔABC 
x
3
  x  15
x  10 5
O volume V pedido (em m3) é a diferença entre os volumes dos cones de raios 5m e 3m,
respectivamente.
V
1
1
490π 3 49 4
 π  52  25   π  33  15 
m 
10 πL.
3
3
3
3
Resposta da questão 10:
[A]
Como a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone,
segue que a razão entre o volume de água e a capacidade V do recipiente é tal que
vH2 0
V
3
V
 1
    vH2 0  .
8
2
Desse modo, o volume de óleo é dado por
V  vH2O  V 
V 7V

.
8
8
Portanto, quando toda a água e nenhum óleo escoar, a altura x atingida pelo óleo é tal que
7V
3
8 x  x  3 7
 
V
h
8
h
x
3
7
h.
2
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Resposta da questão 11:
Comprimento da base maior:
C  2  3,14  1  6,28m  628cm
Número de fios:
628 : 10  62,8  63 fios 
Tamanho de cada fio:
x2  2,42  0,72  x  2,5m
Logo, a soma dos comprimentos será dada por:
63  2,5  157,5m
Resposta da questão 12:
[D]
Planificando a metade da superfície lateral do tronco, obtemos a figura abaixo.
O resultado procurado é a hipotenusa do triângulo CDE.
O cateto EC é o semiperímetro da base do tronco. Logo, EC  3 π m.
Dado que CQ é raio da circunferência de centro Q, temos EQ  3 m.
Sabendo que BC  1m, do triângulo retângulo ABC, vem
tg30 
BC
AC
 AC  3 m.
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Da semelhança dos triângulos ADE e ABC, obtemos
DE
BC

AE
AC

DE 3 3

1
3
 DE  3 m.
Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, encontramos
2
2
2
2
CD  DE  EC  CD  32  ( 3 π)2
 CD  9  3 π2 m.
Resposta da questão 13:
[D]
É fácil ver que o sólido da figura é constituído por dois troncos de cone.
Resposta da questão 14:
a) Como ABCD é retângulo, AB  4 e AD  3, é imediato que AC  5. Logo, aplicando o
Teorema de Pitágoras no triângulo ACG, obtemos
2
2
2
2
AG  AC  CG  AG  52  62
 AG  61.
b) Decompondo o poliedro ABCDEFGH em dois troncos de prisma triangular, ADCGEH e
ABCGEF, temos
[ABCDEFGH]  [ADCGEH]  [ABCGEF]

AD  CD  AE  DH  CG  AB  BC  AE  BF  CG 




2
3
2
3





3  4  1 4  6 1 3  6 



2 
3
3

 2  (11  10)
 42 u.v.
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Resposta da questão 15:
[D]
Sabendo que g  13 cm, h  3cm e r  3cm, e sendo R o raio maior do tronco de cone,
pelo Teorema de Pitágoras, vem
g2  h2  (R r)2  ( 13 )2  32  (R  3)2
 (R  3)2  4
 R  5cm.
H
R
H
5
 

Hh r
H3 3
Seja H a altura do cone original. Logo,
15
H
cm
2
e, portanto, segue-se que o volume do cone original é igual a
1
15
 π  52 
 62,5π cm3 .
3
2
Resposta da questão 16:
a)
(8)2  (4)2  H2  H  4 3 cm


VTronco 
H
πR2  πr 2  πRr
3
VTronco 
4 3
π(5)2  π(1)2  π(5)(1)
3
VTronco 
124π 3
cm3
3


b) VFunil  Vtronco  Vcilindro



VFunil 
4 3
π(5)2  π(1)2  π(5)(1)  π(1)2 4 3
3
VFunil 
124π 3
136π 3
 4π 3 
cm3
3
3

c) Se o funil recebe 127 ml/s de água e a sua vazão é de 42 ml/s, então: 127 - 42 = 85 ml/s
ficam em acumulo por segundo. Para encher o funil, temos:
V
Tempo para encher o funil  Funil 
85
136π 3
3
 2,9 s .
85
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Resposta da questão 17:
01 + 04 = 05.
Dados Iniciais
(01) Verdadeiro.
h
V  πr 2  πR2  πrR
3
6
V
π(0,5)2  π(2)2  π(0,5)(2)
3




V  10,5 πcm3  30cm3
(02) Falso.
Sl   πr  πR  at
Sl   π(0,5)  π(2)  ( 38,25)
Sl   2,5 π  ( 38,25)
Sl  48,6cm2  60cm2
(04) Verdadeiro.
x
0,5  2
 1,25 cm
2
Portanto,
h
V  πr 2  πR2  πrR
3
3
V  π(0,5)2  π(1,25)2  π(0,5)(1,25)
3
V  1 π(0,25)  π(1,5625)  π(0,5)(1,25) 




V  2,4375 π  10cm3
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(08) Falso.
x
x6

 x  2cm
0,5
2
Logo, a altura do cone original era de x  6  2  6  8cm .
(16) Falso.
SM πR2
S
π(2)2

 M 
 16
Sm
Sm π(0,5)2
πr 2
Resposta da questão 18:
Seja A a área da base menor de cada tronco de pirâmide.
Sabendo que a área base maior de cada tronco de pirâmide mede 630cm2, e que a distância
2
do vértice da pirâmide à base menor do tronco é H, com H sendo a altura da pirâmide,
3
temos
2
2 
 H
A
  3   A  280cm2 .
630  H 
Portanto, como 1m2 de área pintada custa R$ 1,00, o resultado é dado por
1 14 
280
 R$ 0,39.
10000
Resposta da questão 19:
[C]
Supondo que o raio da base das canecas deve ser tal que a capacidade de uma caneca seja
maior do que ou igual à capacidade de um copo grande, temos
π  y2  6 
π8
4
 (2,42  3,62  2,4  3,6)  y 2   1,22  (4  9  6)
3
9
 y 2  0,64  19
 y 2  12,16cm2 .
Observação: Se o raio das canecas estiver expresso em centímetros, então y 2 será expresso
em centímetros quadrados.
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Resposta da questão 20:
[C]
Considere a figura.
Sabendo que AD  16cm e que o recipiente está com água até a metade da sua altura, segue
que AE  ED  8cm. Além disso, como AC  20cm e EB é base média do triângulo ACD,
vem AB  BC  10cm. Desse modo, BE  6cm e CD  12cm.
Sabendo ainda que AO  DF  2cm, temos que o volume do recipiente é dado por
2
2
π  AD
π  16
 (BG  BG  AO  AO ) 
 (142  14  2  22 )
3
3
 1216π cm3 .
Por outro lado, o volume de água no recipiente é
2
2
π  AE
π8
 (BG  BG  AO  AO ) 
 (82  8  2  22 )
3
3
 224π cm3 .
Assim, a quantidade necessária de água para encher totalmente o recipiente é
1216π  224π  992π cm3 .
Portanto,
224π 7
1

 .
992π 31 4
Se a água do recipiente for retirada à taxa constante de 28cm3 por segundo, então o tempo
necessário para esvaziá-lo será
224π 224  3

 24  20 s.
28
28
Para aumentar 4cm o nível de água no recipiente, é necessário acrescentar mais
π4
 (112  11 8  82 )  364 π cm3 de água.
3
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Resposta da questão 21:
[E]
Considere a figura.
Sendo M o ponto médio de AD, e M’ o ponto médio de BC, segue que A 'B  4  1  3 cm.
Logo, como AB  5cm, vem AA '  4cm.
Portanto, a quantidade total de papel utilizada para embrulhar a caixa, supondo que não haja
desperdício e nem sobreposição de material, é igual a
2
2
AD  BC  4 
AD  BC
28
 AA '  22  82  4 
4
2
2
 148cm2 .
Resposta da questão 22:
[C]
Como 0,097π litros correspondem a 25% 
1
da capacidade do balde, temos que a
4
capacidade do balde é igual a 4  0,097π L  0,388π L  388π cm3 .
Portanto, sabendo que a altura do balde mede 12cm e o raio da base menor mede 3cm, vem
388π 
12π 2
(R  3R  32 )  R2  3R  88  0
3
 R  8cm.
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Resposta da questão 23:
[D]
Seja v o volume do cone determinado pelo plano.
13
 π 
Sabendo que o volume desse cone é igual ao volume do cubo de aresta 

 243 
cm, obtemos
3
 π 1 3 
π
v  
cm3 .
  
243
 243  
Considere a figura abaixo.
Como AO  1cm e AB 
2 3
cm, do Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo AOB segue
3
que
3
2 2 3 
4
1
2
OB  
  1   1  .
3
3
3


O volume do cone maior é dado por
V
2
1
1
1
π
 π  OB  AO   π   1  cm3 .
3
3
3
9
Daí, como os cones são semelhantes, vem
π
3
3
 AO' 
v  AO' 
1
243


 
  AO'  cm.
π
V  AO 
3
 1 
9
Portanto, o resultado pedido é
O'O  AO  AO'  1 
1 2
 cm.
3 3
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