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27/11/2009
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Solução:
Como V = (Ab.h)/3, devemos calcular a área da base e
a medida da altura. A base tem forma quadrada de lado
a = 4cm, temos que Ab = 42 = 16 cm2.
Aplicações
01. Um troféu para um campeonato de futebol tem a forma de uma esfera de
raio R = 10 cm cortada por um plano situado a uma distância de
cm do
centro da esfera, determinando uma circunferência de raio r cm, e sobreposta
a um cilindro circular reto de 20 cm de altura e raio r cm, como na figura (não
em escala).
O volume do cilindro, em cm3, é
a) 100 π
b) 200 π
c) 250 π
d) 500 π
e) 750 π
02. Uma pedra preciosa foi lapidada, ficando com a forma de um octaedro
regular com aresta 0,5 cm. Determine a área total e o volume dessa pedra.
Solução:
CILINDROS
CONES
02. Um paciente recebe por via intravenosa um medicamento à taxa constante de 1,5 ml/min. O frasco do
medicamento é formado por uma parte cilíndrica e
uma parte cônica, cujas medidas são dadas na figura,
e estava cheio quando se iniciou a medicação.
Após 4h de administração contínua, a medicação foi
interrompida. Dado que 1 cm3=1ml, e usando a aproximação π = 3, o volume, em ml, do medicamento restante no frasco após a interrupção da medicação é,
aproximadamente,
a) 120.
b) 150.
c) 160.
d) 240.
e) 360.
Solução:
V=Cci + Vco → V= π r2h1 + 1/3 π r2h2
V= π 42.9 + 1/3 π 42 .3 V= 144π +16π =160π cm3 ⇒ V = 480ml
Após 4 h, ou seja, 240 min o volume consumido é de 1,5. 240 = 360 ml. O
restante, então, é de aproximadamente 120 ml.
Área de base: πr2
Área de lateral: 2πrh
Área de total: 2π(h + r)
Volume: 2πr2h
Se o cilindro é equilátero, temos h = 2r daí:
• Al= 4πr2
• At = 6πr2
• V = 2πr3
Área de base: πr2
Área de lateral: πrg
Área de total: 2π(g + r)
πr2h
Volume: ––––––
3
Se o cone é equilátero, temos g = 2r daí:
• Al= 2πr2
• At = 3πr2
• V=
πr3
Exércicios propostos
01. Considere o cubo de aresta a representado abaixo. A medida,
em graus, do ângulo AFC é:
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 90°
e) 120°
ESFERAS
02. Uma piscina com forma de um prisma reto tem como base um
retângulo de dimensões 10m e 12m. A quantidade necessária
de litros para que o nível de água da piscina suba 10 cm é de
a) 10.200
d) 12.000
b) 10.800
e) 14.000
c) 11.600
03. A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no
Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137m de
altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja
altura relativa à base mede 179m.
A área da base dessa pirâmide, em m2, é:
Área do fuso
Note que, quanto maior for o ângulo, maior será o fuso correspondente; a
área do fuso é diretamente proporcional a α.
Assim, podemos estabelecer as seguintes regras de três simples:
Para α em graus:
Para α em radianos
360° ––––––– 4πr2
2πrad ––––– 4πr2
α° ––––––– Afuso
α rad ––––– Afuso
↓
↓
πr2a
Afuso = –––––
Afuso = 2r2α
90
a) 13.272
d) 53.088
b) 26.544
e) 79.432
c) 39.816
04. O diâmetro da base de um reservatório cilíndrico mede 2
metros. Sabendo-se que sua altura mede 60 centímetros, sua
capacidade aproximada, em litros, é de
a) 1.884
d) 3.140
b) 1.970
e) 3.810
c) 2.764
05. A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de
6m de raio e 1,25m de profundidade foi amontoada, na forma
de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana.
Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a
vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o
volume da piscina.
Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de
Cunha Esférica
Se um semicírculo com o diâmetro num
eixo gira a graus (0° < α ≤ 360°) em torno
do eixo, ele gera um sólido que é chamado
cunha esférica.
a) 2,0
d) 3,8
12
b) 2,8
e) 4,0
c) 3,0