Instituto de Física, UFRJ
Transições de Fase e Fenômenos Críticos
PG – 2º Semestre de 2007
Ementa:
1. Fenomenologia de transições de fase.
2. Modelos magnéticos simples.
3. Universalidade e scaling.
4. Métodos de aproximação.
5. Teoria de escala de tamanhos finitos.
6. Invariância conforme.
7. Sistemas desordenados.
8. Transições de fase quânticas.
última atualização: 16/8/2007
1. Fenomenologia de Transições de Fase
Fluidos: p, V, T
Dados para CO2 (Andrews, 1869):
• densidade média   0.5 g/cm3
• a T = 23 °C o fluido está segregado em duas fases coexistentes,
separadas por um menisco:
 líquida, de densidade liq(T )
 gasosa, de densidade gas(T )
• a T = Tc = 31.04 °C, L e G ficam
idênticas, com densidade liq=gas=c;
menisco desaparece no meio de uma
opalescência crítica
• para qq T > Tc pode-se passar de
um estado a outro continuamente
T >> Tc
~T
T>
c
T  Tc
~T
T<
c
T < Tc
T << Tc
Tc e c não universais:
• Tc depende das escalas de energia
das interações (p.ex., Tc~5K para
4He
e ~1500K para Hg);
• c depende da escala de
comprimentos relevante (p.ex.,
separação intermolecular)
figuras segundo Stanley (1971)
T = Tc
T < Tc
T > Tc
A small sealed vial contains the correct mixture of aniline and
cyclohexane to form a binary fluid when heated above its critical point,
about 95 degrees Fahrenheit. The fluid is heated by hand or using a
beaker of warm water. Then the vial is placed in the laser beam. When
the fluid cools down to its critical point it breaks into cells, becoming
cloudy, and scatters the laser beam chaotically. This is very dramatic
because it happens very quickly.
The photographs above show the scattering of the laser beam by the
fluid above the critical point (left), at the critical point, when the cells
are beginning to form (center), and well below the critical point, when
the fluid is a cloudy mixture of the two individual fluids (right).

1
 liq (T )   gas (T )
2
 0 na fase L

 0 na fase G
 0 quando T  T
c

 

Gás
Líquido
  quando T 
 parâmetro
de ordem da
transição
figura segundo Stanley (1971)
Ferromagnetos: H, M, T
http://stargazers.gsfc.nasa.gov/resources/magnetism.htm
 parâmetro
de ordem da
transição
Direção de magnetização
determinada pela aplicação de
um campo H ; p.ex., se o
sistema tiver eixo fácil de
magnetização, H quebra a
simetria M  -M
Outros arranjos magnéticos
possíveis: antiferromagnetismo,
incomensurável (espiral), etc
J. Hemberger et al., Nature 434, 364 (2005)
Arredondamento devido a H  0
Outra assinatura do ponto
crítico:    em Tc
Calor específico perto do ponto crítico
CH   A ln T  TC  B  
T TC
ou, em outroscasos,
CH  A T  TC

 se   0
 B  
T TC B se   0
 
figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)
Superfluidos: o caso do 4He
 parâmetro
de ordem da
transição
Modelo de dois
fluidos:
- fração normal
(entrópica): n
- fração
superfluida:s
http://quench-analysis.web.cern.ch/quench-analysis/phd-fs-html/node45.html
S  0 TC  T 
 parâmetro
de ordem da
transição
Perto da transição superfluida (o
chamado ponto-)...
CS   A ln T  T  B  
T T
figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)
Transição metal-isolante: p.ex., GaAs-AlGaAs two-dimensional hole system
carrier density
resistividade
Até hoje não há uma boa definição de parâmetro de ordem para a MIT
Simmons et al., Phys. Rev. Lett., 84, 2489 (2000)
http://www.phys.unsw.edu.au/QED/research/2D-MIT.htm
Supercondutividade:
Ek / F
Ek   (k ) 2  2k
 parâmetro
de ordem da
transição
( T)(0)
k/kF
k = |k| ei
onda-s  isotrópico
T/T
Características comuns:
• Parâmetro de ordem, :
  0 na fase (mais) ordenada
 = 0 na fase desordenada
 perto de TC:
  TC  T 

Funções-resposta singulares em TC
 Resposta a um pico de calor: Calor específico
C  T  TC

ou, se   0, C  ln T  TC
 Resposta associada ao parâmetro de ordem: Suscetibilidade - mais
simples de medir em alguns sistemas do que em outros, p.ex., M =  H;
  T  TC

• Outras funções (a serem definidas oportunamente) também apresentam
comportamentos singulares
Data collapse: Lei dos estados correspondentes
=1/3
Gás
Líquido
Analogia entre fluidos e
magnetos simples
• Alguns magnetos também são descritos por =1/3
• As transições superfluida, supercondutora, e algumas
magnéticas também têm mesmo valor de 
 universalidade
N.B.: os mecanismos são completamente distintos; logo
é verdadeiramente surpreendente que os valores sejam
os mesmos.
Objetivos do estudo de transições de fase e fenômenos
críticos:
• identificar as classes de universalidade
• identificar os mecanismos responsáveis pela definição
das classes de universalidade
• fazer previsões sobre diagramas de fase, etc.
Para atingir estes objetivos, faremos agora uma revisão
de Mecânica Estatística
2ª aula: 7/8/2007
Magnetos: variáveis independentes são T e h
Z (T , h)  Tr e  H   e  E ( h ) / k BT
E
 Gibbs : G (T , h)  k BT ln Z (T , h)
 G 
 M (T , h)  


h

T
Funções - resposta :
  2G 
1
Calor específico : ΔT 
ΔQ  Ch  T  2 
Ch
 T  h
Susceptibi lidade : ΔM    T Δh
 M 
  T  


h

T
N.B. : M extensiva  χT extensiva
T   quando T  Tc
Para avançar a discussão: simplificações adicionais
• isolantes magnéticos: spins localizados nos sítios de uma rede regular;
• “spins de Ising”: só nos interessa a componente z de cada spin, Si ;
• interações ferromagnéticas entre spins  ......
• interação com campo magnético uniforme se dê através de um termo – h Si .
Função de Correlação (entre flutuações)
(r )  S0  S0 S r  S r

S0 S r  S0 S r



parte descorrelacionada
A 

são médias
termodinâmicas:
fornece o grau de influência que o spin no sitio 0 exerce no spin do sítio r.
O Teorema de flutuação-dissipação estabelece uma conexão com a
susceptibilidade (1ª. Lista de Exercícios):
1
T 
k BT

1
Tr e  H A
Z
 ( r )
r
(de agora em diante, omitiremos o subscrito T da susceptibilidade)
1

k BT
 ( r )
r
divergente em Tc
  (r) sobrevive a longas distâncias
( r ) ~
r 
1
r
d  2 
, em T  Tc
: outro expoente crítico:
dimensão anômala
Na vizinhança de Tc, espera-se
(r ) ~ e r  , para T  Tc
r 
: comprimento de correlação 
mede alcance das correlações
1

k BT
1 ~
r (r )  k T (q  0)
B
Fluidos: variáveis independentes são V e T
Z (T , V )  Tr e  H   e  E (V ) / k BT
E
 Helmholtz : A(T ,V )  k BT ln Z (T , V )
 A 
 p (T ,V )  


V

T
Funções - resposta :
 2 A 
1
Calor específico : ΔT 
ΔQ  CV  T  2 
CV
 T V
ΔV
  K T Δp
V
1  V 
1   
   
 K T   
V  p T   p T
Compressib ilidade :
KT   quando T  Tc
Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts
Revisão: FY Wu (1982)
modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítio
energia de interação:
 J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos)
+J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos)
N.B.: o importante é que há um E  0 separando estes estados, e não de
quanto é a separação
 simetria discreta: {S }  {S }
Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts
(tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados,
preservando a simetria discreta?
Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq
uma de q direções:
Eij   J  i j
 i  1, 2,, q
q=2
q=3
q=4
Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões
NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos
com simetria cúbica: na ausência de
campo magnético H, a magnetização
aponta em uma das dirções cristalinas
[100], [010], ou [001].
A aplicação de um campo magnético na
direção [111] estabiliza qualquer uma das
direções igualmente.
O sistema sofre uma transição de
primeira ordem – descontinuidade na
magnetização – em Hc (T)
B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)
Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões
Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os
centros dos hexágonos
Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem
ocupar uma das 3 sub-redes q = 3
Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)
Efeitos da dimensionalidade
Modelo de Ising
MF falha até mesmo em 3D:
• Tc superestimada
• descontinuidade, ao invés de divergência
• ausência da cauda de altas temperaturas
Flutuações mais importantes quando d :
• Tc descresce
• Tc  0 em d =1
Mean - field criticaltemperatu
re :  
2
J
zS ( S  1)
3
kB
d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)
Paul Coddington, University of Adelaide, [email protected]
http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html
Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;]
LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974)
LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967)
HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967
FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E).
JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.