Instituto de Física, UFRJ
Transições de Fase e Fenômenos Críticos
PG – 2º Semestre de 2007
Ementa:
1. Fenomenologia de transições de fase.
2. Modelos magnéticos simples.
3. Universalidade e scaling.
4. Métodos de aproximação.
5. Teoria de escala de tamanhos finitos.
6. Invariância conforme.
7. Sistemas desordenados.
8. Transições de fase quânticas.
última atualização: 16/8/2007
Modelos magnéticos simples
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A origem da “interação magnética”
Modelo de Heisenberg isotrópico
Modelo de Heisenberg anisotrópico
Modelo de Ising
Modelo de Heisenberg planar
Modelo XY
Dimensionalidade da rede magnética
Simetria discreta vs. simetria contínua
O modelo de Potts
Universalidade: modelos de pseudo-spin
A origem da “interação magnética”
“Interação magnética” responsável pelo ordenamento magnético:
troca (exchange) = repulsão coulombiana + princípio de Pauli
Molécula de H2
Spins paralelos  elétrons mais
afastados  diminui atração dos
núcleos menor energia de
ligação
Energia (Ry)
Spins anti-paralelos  elétrons
mais próximos  aumenta
atração dos núcleos maior
energia de ligação
E  J S1  S 2
Separação intermolecular (a0)
acoplamento de troca:
depende do recobrimento dos
orbitais atômicos
A origem da “interação magnética”
exchange direto
superexchange: mediada por
átomos não magnéticos
exchange indireto em metais:
mediada por elétrons de condução
Modelo de Heisenberg isotrópico
• Spins-S localizados em sítios de uma rede regular: Si  magnetismo de
isolantes
• A interação entre pares de spin é isotrópica (no “espaço de spins”:

H   J ijS i  S j
i, j
• Alcance da interação: Jij decai com |i  j|
 implicações para dimensionalidade efetiva da rede
Modelo de Heisenberg isotrópico
• Com J > 0, o estado fundamental corresponde a ferromagnetismo
saturado;
• Estados excitados: ondas de spin (deslocamentos transversais
compartilhados por todos os sítios)  spin de cada sítio não está em um
estado bem definido
Modelo de Heisenberg anisotrópico
• Fontes de anisotropia de spin: campo cristalino ou campo dipolar que
atuam nos momentos magnéticos
Exemplo: Dy3+ L = 5, S = 5/2, J = 15/2
• sem campo cristalino, o estado fundamental é o
multipleto 2H15/2  degenerescência 16
• com campo cristalino uniaxial (< acoplamento spinórbita)  quebra degenerescência em oito dubletes
• Para Dy3Al5O12 (DAG), Tc  2.5K << E/kB ~ 80K
 a baixas temperaturas o spin tem apenas dois estados,
os de anisotropia máxima  spin ½ efetivo
• J|| ~ 100 J
• melhor descrito por anisotropia single-ion
H   J ijS i  S j 
i, j
 
D S
i



z 2
i
single-ion anisotropy
(efetivo apenas se S 1/2):
D  0 favorece a maior
projeção na direção z
 1/2
 13/2
80K
 15/2
Modelo de Ising
Exemplo: Co2+ [L = 3, S = 3/2] em CoCs3Cl5.
• campo cristalino mais forte que acoplamento
spin-órbita  contribuição orbital para momento
magnético é quenched
• componente axial do campo cristalino quebra
degenerescência 4 do estado fundamental
• Tc  0.52K << E/kB ~ 10K
 a baixas temperaturas o spin tem apenas dois
estados, de anisotropia máxima  spin ½ efetivo
• J|| ~ 10 J
• melhor descrito por anisotropia Ising
H   J ij Siz S jz
i, j
• Na base de autoestados de Siz , |S1 S2Sn, com Si = S, (S  1),
 +S cada spin mantém sua individualidade  pode-se substituir o
operador por seu autovalor na Hamiltoniana
No que diz respeito a classes de universalidade, diferença entre Heisenberg
anisotrópico e Ising é imaterial; discrepâncias com relação a grandezas nãouniversais serão comentadas posteriormente.
Modelo de Heisenberg planar
Exemplo: CsNiF3.
• sem exchange: campo cristalino  singleto (menor energia) e dubleto
• com exchange ~ gap singleto-dubleto  mistura 3 estados  spin efetivo S = 1
• + anisotropia single-ion favorecendo alinhamento num “plano fácil”
 
H   J ijS i  S j  D S
i, j
i



z 2
i
anisotropia single-ion (só se
S > ½) com D < 0: favorece
o alinhamento das
componentes planares
Modelo XY
É o limite extremo de anisotropia planar:
• spins confinados a um plano

H   J ij Six S jx  Siy S jy

i, j
Planar
XY
Para grandezas universais, diferença entre planar e XY é imaterial
Dimensionalidade da rede magnética
• Anisotropia espacial possível (p.ex., materiais estruturados em camadas)
 determina a dimensionalidade da rede magnética: Jij pode depender da
direção de
i  j:
Bi
Sr
Ca
O
Cu
Bi-2212
YBa2Cu3O7- (YBCO)
A distância entre átomos magnéticos entre planos distintos é bem maior
que a distância quando estão no mesmo plano  J|| << J  d = 2
Dimensionalidade da rede magnética
d=1
Simetria discreta vs. simetria contínua
Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts
Revisão: FY Wu (1982)
modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítio
energia de interação:
 J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos)
+J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos)
N.B.: o importante é que há um E  0 separando estes estados, e não de
quanto é a separação
 simetria discreta: {S }  {S }
Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts
(tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados,
preservando a simetria discreta?
Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq
uma de q direções:
Eij   J  i j
 i  1, 2,, q
q=2
q=3
q=4
Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões
NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos
com simetria cúbica: na ausência de
campo magnético H, a magnetização
aponta em uma das dirções cristalinas
[100], [010], ou [001].
A aplicação de um campo magnético na
direção [111] estabiliza qualquer uma das
direções igualmente.
O sistema sofre uma transição de
primeira ordem – descontinuidade na
magnetização – em Hc (T)
B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)
Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões
Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os
centros dos hexágonos
Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem
ocupar uma das 3 sub-redes q = 3
Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)
Efeitos da dimensionalidade
Modelo de Ising
MF falha até mesmo em 3D:
• Tc superestimada
• descontinuidade, ao invés de divergência
• ausência da cauda de altas temperaturas
Flutuações mais importantes quando d :
• Tc descresce
• Tc  0 em d =1
Mean - field criticaltemperatu
re :  
2
J
zS ( S  1)
3
kB
d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)
Paul Coddington, University of Adelaide, paulc@cs.adelaide.edu.au
http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html
Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;]
LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974)
LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967)
HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967
FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E).
JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.
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