UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Super Antiferromagneto de Ising com Campo Uniforme
Isabel Cristina Souza Dinóla
Tese
apresentada
Departamento de Física
Universidade
Federal
Amazonas, como parte
requisitos para a obtenção
Título de Mestre em Física.
Orientadora: Profª. Dra. Beatriz Maria Boechat Ponciano
Co-orientadora: Profª. Dra. Andreia Mendonça Saguia
Manaus –Amazonas
Maio de 2009
ao
da
do
dos
do
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Super Antiferromagneto de Ising com Campo Uniforme
Isabel Cristina Souza Dinóla
Orientadora: Profª. Dra. Beatriz Maria Boechat Ponciano
Co-orientadora: Profª. Dra. Andreia Mendonça Saguia
Manaus –Amazonas
Maio de 2009
Este trabalho é dedicado à
Francisco Dinóla Bisneto e Isabelle Souza Dinóla
Agradecimentos
Em primeiro lugar agradeço a Deus, que pela sua luz, sempre me
abençoa e capacita para tudo aquilo que me destina.
Esta parte de agradecimentos é uma tarefa difícil, pois muitas vezes
cometemos injustiças e por esquecimento não mencionamos nomes de
pessoas que também contribuíram para o trabalho.
Nada na vida conquistamos sozinhos. Sempre precisamos de outras
pessoas para alcançar os nossos objetivos. Muitas vezes um simples gesto
pode mudar a nossa vida e contribuir para o nosso sucesso.Várias pessoas
contribuíram para que este trabalho chegasse à esperada conclusão. Aqui
registro minha gratidão.
Agradeço à professora Beatriz Boechat, sempre com uma simpatia
contagiante, pela orientação e principalmente pelo bom convívio neste
tempo de trabalho.
À Professora Andreia, que além de ter sido minha co-orientadora, se
tornou uma grande amiga. Obrigada por suas sugestões e suporte durante a
elaboração do trabalho. Sua amizade tornou muito mais humano este
trabalho que poderia ser puramente científico.
Ao Professor Mucio Continentino, sinto-me agradecida pela
oportunidade de conviver e ser aluna deste grande físico.
Um agradecimento ao Professor José Ricardo, que me acompanha desde
a graduação, pelo estímulo à pesquisa e à vida acadêmica.
Aos meus professores na Pós-graduação, Marta Gusmão, Oleg
Grigorievch, Angsula Ghosh e Evandro Vidor.
Ao coordenador da PPG-FIS da UFAM, Prof. Puspitapallab, que sempre
que possível atendeu todos os meus pedidos.
Também sou muito grata aos professores do Instituto de Física da UFF,
João Florêncio (pela colaboração com seus resultados de Monte Carlo e
pelas sugestões na correção do trabalho), Marcelo Sarandy, Claudeutte
Cordeiro, Delfino, Vanda e Sônia Krapas, pelos agradáveis momentos de
convivência.
Aos funcionários da secretaria da Pós-graduação da UFAM e da UFF,
Vânia, Rafael, Valéria, Luana e João (em memória), sempre prestativos,
obrigada pela cortesia com que sempre fui atendida.
Aos meus pais, pelo exemplo, agradeço por terem sempre atendido meus
desejos e por estarem me ajudando a levá-los adiante.
Ao meu companheiro querido, marido, amigo e orientador Francisco
Dinóla Neto, sempre presente nos momentos de alegria e dificuldades, por
tudo. Uma importante fonte de apoio intelectual e afetivo.
Aos meus familiares pelo apoio incondicional.
Aos amigos Álvaro, Luciana, Daniel Reyes, Scheilla, Eduardo, Miguel,
Pâmela, Igor e família, D. Marta e família, Elis Regina, Marcio, Paulinho,
Robson, Deniz, Andréa, Rosana, Rodrigo, Griffith e tantos outros que
foram tão importantes durante este tempo de mestrado. Enfim à todos os
amigos, pelo incentivo e amizade.
Agradeço à agência CAPES pelas bolsas concedidas, que possibilitaram
a realização deste trabalho.
Sumário
Resumo
v
Abstract
vi
1 Introdução
1
2 Transições de fases e Expoentes Críticos
6
2.1 O ferromagneto de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2 Transições de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3 Expoentes críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4 Leis de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3 Introdução ao Grupo de Renormalização no Espaço Real
17
3.1 Equações de GR para o modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2 A transmissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4 Estudo do Super antiferromagneto de Ising com campo uniforme
25
4.1 Modelo de Ising com campo magnético uniforme . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2 O SAF de Ising em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3 Formalismo do GRER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.4 Resultados e discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5 Conclusão
38
i
A Resolução do Modelo de Ising
40
1.1 Resolução Exata em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.2 Solução Exata em Uma Dimensão na Presença de um Campo . . . . . .
43
1.3 Resultados exatos na rede quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
B Programa
50
ii
Lista de Figuras
1-1 Estados fundamentais possíveis de um SAF . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1-2 Diagrama de fases do SAF no plano H/J x kB T /J. (a) Aproximação de
Campo Médio (b) Aproximação de Cadeia Linear (c) Aproximação de
Bethe-Peierls (d) Resultado de Wang e Kim (e) Linha crítica obtida pelo
método da inteface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2-1 Esquema do modelo de spins para um ferromagneto . . . . . . . . . . . .
7
2-2 Diagrama de fases no plano campo versus temperatura (em unidades de
J) para um ferromagneto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2-3 Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da temperatura para um ferromagneto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2-4 Curva da magnetização m em função do campo magnético H . . . . . . .
12
3-1 Segmento de uma cadeia de spins. Os círculos abertos representam os
spins que serão dizimados. Os círculos fechados representam os spins remanescentes na cadeia.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3-2 Diagrama de fluxo para o ferromagneto de Ising em d=1. . . . . . . . .
21
3-3 Células utilizadas na renormalização do ferromagneto de Ising em d = 1.
22
3-4 Grafos utilizados na transformação de GR na rede quadrada (a) Cluster da
rede quadrada. (b) Célula com os spins terminais colapsados. (c) Célula
renormalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4-1 Estado fundamental do AF em d = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
iii
4-2 Células utilizadas na renormalização do antiferromagneto em d = 2 (a)
Cluster da rede quadrada (b) Células com spins colapsados (c) célula renormalizada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4-3 Diagrama de fases do sistema AF no plano campo versus tempertura (em
unidades de J). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4-4 Esquema da rede bidimensional para o modelo SAF. . . . . . . . . . . . .
31
4-5 Grafos usados na transformação de GR para o modelo SAF com |Jx | =
|Jy | = J. (a) Cluster em d = 2 (b) Célula original. (c) Célula renormalizada. 33
4-6 Diagrama de fases esquemático do modelo SAF bidimensional no plano
(H/J, kB T /J). (a) nosso resultado para o SAF (b) o resultado da aproximação de Campo Médio [12]. (c) resultado de Wang e Kim [14] (d) linha
crítica obtida com o método da interface [18]. . . . . . . . . . . . . . . .
iv
36
Resumo
Utilizamos uma técnica de grupo de renormalização no espaço real para estudar o
sistema super antiferromagneto (SAF) de Ising bidimensional sob a influência de um
campo magnético externo. Neste modelo as interações de primeiros vizinhos na direção
x são ferromagnéticas e na direção y são antiferromagnéticas. Este sistema apresenta
uma fase ordenada, para baixas temperaturas e campos nulos, com uma estrutura de
linhas ferromagnéticas e colunas antiferromagnéticas. A aplicação do campo magnético
induz uma competição entre as energias de interação do modelo e o comportamento
resultante desta competição tem sido objeto de estudo e gerado algumas controvérsias
nos últimos anos. Na presença do campo magnético observa-se, além da fase SAF, a fase
ferromagnética induzida pelo campo (FIC). Apresentamos neste trabalho o diagrama
de fases completo do sistema SAF no plano temperatura versus campo magnético. O
diagrama de fases obtido mostra uma linha de transição de segunda ordem separando a
fase SAF da fase FIC. Nossos resultados contrariam resultados anteriores que preveêm
um comportamento reentrante no diagrama de fases do sistema SAF.
v
Abstract
The phase diagram of the two-dimensional super-antiferromagnetic (SAF) Ising model
in the presence of a magnetic field is investigated within the framework of a real-space
renormalization-group approximation. We consider nearest neighbor ferromagnetic interactions along the x(y) direction and antiferromagnetic interactions in the y(x) direction.
The system presents a ordered phase at low temperatures and zero fields. The presence
of a magnetic field induces a competition between the energy interactions of the SAF
Hamiltonian. The resulting behavior has been a matter of controversy in the last years.
We depicted the main results in the magnetic field versus temperature phase diagram.
A second-order transition line separates a super-antiferromagnetic phase from a field induced ferromagnetic phase. Our study reveals that the magnetic field induces a phase
transition at a single temperature value, thus, we did not find any evidence of reentrant
behavior as claimed by some authors.
vi
Capítulo 1
Introdução
Os estudos realizados em sistemas magnéticos foram responsáveis pelo enorme progresso alcançado no entendimento de fenômenos coletivos em Matéria Condensada. Os
conceitos de quebra de simetria, escalonamento e universalidade, assim como o desenvolvimento da poderosa teoria do grupo de renormalização (GR) surgiram a partir destes
esforços. O estudo do comportamento coletivo em magnetos pode ser realizado através
da modelagem dos sistemas reais encontrados na natureza. Para este fim, diversos modelos foram propostos para descrever os sistemas magnéticos e alcançaram enorme sucesso.
Dentre estes modelos, nos concentraremos naquele que é considerado o mais simples capaz
de descrever a transição de fase que acontece no ferromagneto, denominado de modelo
de Ising[1].
O modelo de Ising original é um dos mais simples na área de física da matéria condensada que apresenta propriedades críticas. Devido a esta importante característica tem
sido utilizado como protótipo em diferentes campos, tais como, mecânica estatística[2, 3],
sistemas biológicos[4, 5] e econofísica[6, 7]. Outra valiosa utilização tem sido empregá-lo
para testar métodos aproximativos diversos já que sua solução exata em uma e duas
dimensões é conhecida[8]. O Hamiltoniano do modelo de Ising tem a forma,
H = −J
X
Si Sj
hi,ji
1
(1.1)
onde a soma é sobre todos os pares de spins primeiros vizinhos e J, que assumimos
como sendo uma grandeza positiva, é conhecida como interação de troca Se dois spins
vizinhos na rede possuem a mesma orientação, teremos uma energia de interação −J,
se são antiparalelos a energia é +J. Como assumimos J sendo positivo, a interação de
troca favorece o alinhamento paralelo dos spins vizinhos.
Quando adicionamos ao modelo de Ising original outros termos de energia de interação, podemos utilizá-lo para estudar uma grande variedade de compostos magnéticos.
Muitos destes compostos exibem diagramas de fases interessantes e muitas vezes bastante complexos (veja por exemplo[9]). Do ponto de vista teórico, as pesquisas têm
se concentrado em entender as possíveis mudanças no comportamento crítico destes
sistemas quando comparamos com os sistemas modelados pelo Hamiltoniano de Ising
original (Eq.1.1). Podemos citar como exemplo, o caso geral do modelo de Ising com
interações competitivas de primeiros (Jnn ) e segundos (Jnnn ) vizinhos, ou seja, ambas
antiferromagnéticas[10]. Neste caso o sistema exibe transição de fase de segunda ordem
na rede quadrada e transição de fase de primeira ordem na rede triangular dependendo da
razão R = Jnn /Jnnn . Apesar dos grandes esforços que têm sido empregados para estudar
estes sistemas magnéticos e outros com versões ainda mais interessantes do modelo de
Ising, muitas questões acerca de suas propriedades termodinâmicas e diagrama de fases
ainda permanecem em aberto.
Nosso interesse aqui é abordar um sistema que tem sido objeto de estudo recente, o
modelo super antiferromagnético (SAF) de Ising com campo magnético uniforme. Em
duas dimensões o sistema é representado pelo modelo de Ising com acoplamentos entre
spins primeiros vizinhos que são ferromagnéticos numa dada direção e antiferromagnéticos na direção perpendicular. O estado fundamental deste modelo está representado no
esquema apresentado na Fig.(1-1). O sistema apresenta uma estrutura de linhas (colunas) de spins ordenados ferromagneticamente, cuja orientação de ordenamento (+z ou
−z) alternam-se ao longo da direção y(x). Para campo magnético nulo, este sistema apresenta uma transição de fase de segunda ordem para um valor de temperatura dado por
2
Figura 1-1: Estados fundamentais possíveis de um SAF
kB Tc
J
= 2.269[11]. Acima desta temperatua o sistema encontra-se na fase paramagnética.
Ao aplicarmos um campo magnético externo longitudinal (+z) no sistema, aparece uma
competição entre as energias de interação do Hamiltoniano, que são, no caso, os acoplamentos entre os pares de spins e o campo magnético. Esta competição leva o sistema a
um comportamento crítico que tem sido objeto de estudo e gerado algumas controvérsias
nos últimos anos.
O diagrama de fases do modelo SAF no plano temperatura versus campo magnético
já foi estudado por diversos autores. Uma linha crítica separando duas fases distintas
pode ser observada. Uma fase é a mesma existente na ausência do campo magnético, ou
seja, a SAF. A outra é a fase ferromagnética induzida pelo campo (FIC). Para o caso
específico |Jx | = |Jy | = J, no qual concentraremos nossos estudos, os principais resultados encontrados na literatura especializada estão mostrados no diagrama apresentado
na Fig(1-2) e são descritos a seguir. A teoria de campo médio convencional[12] (CM)
prediz a existência de um ponto tricrítico conectando dois tipos de transição entre a fase
SAF e a fase FIC (curva a): a transição é de primeira
µ ordem a baixas
¶ temperaturas e
kB Tc
campos altos e de segunda ordem à altas temperaturas
< 2.269 [11]. O resultado
J
obtido com a aproximação de cadeia linear (LCA)[13], uma mistura de resultados exatos
e teoria de campo médio, fornece uma linha de transição de segunda ordem entre as
fases, SAF e FIC, e um comportamento reentrante a baixas temperaturas (curva b). No
3
comportamento reentrante um único valor de campo magnético induz a transição para
dois valores diferentes de temperatura. Este último resultado também foi encontrado
por outros autores que utilizaram diferentes técnicas da Mecânica Estatística para tratar
este problema. Primeiramente, Wang e Kim[14] com uma aproximação que envolve o
cálculo de zeros da função de partição de Ising em uma dado ciclo elementar da rede
quadrada (curva c) e, em seguida, por Neto, dos Anjos e de Sousa[15], considerando a
teoria de campo efetivo[16] e a aproximação de Bethe-Peierls[17], (curva d). Por outro
lado, Rottman[18] usando o método de interface obteve o diagrama similar ao diagrama
do modelo de Ising antiferromagnético isotrópico[19], ou seja, sem transições de primeira
ordem e sem comportamento reentrante a baixas temperaturas (curva e).
Todos esses resultados e controvérsias nos motivaram a realizar um estudo teórico
do sistema SAF em duas dimensões, utilizando a técnica de grupo de renormalização no
espaço real (GRER)[20]. Portanto, nosso interesse ao realizar este trabalho foi obter o
diagrama de fases deste modelo e acrescentar algum resultado novo a esta disussão acerca
da existência ou não da reentrância na linha crítica observada por alguns autores. Para
este estudo utilizamos uma aproximação de GRER denominada de transmissividade[21].
Esta aproximação nos permite mapear todo o diagrama de fases do modelo.
A tese encontra-se organizada na seguinte forma. Iniciamos o capítulo 2 fazendo uma
breve apresentação sobre fenômenos cíticos. Utilizaremos o modelo de Ising para ilustrar
a transição de fase ferromagnética-paramagnética.
No capítulo 3 faremos uma introdução ao GRER. A visão que apresentaremos é
bastante simples e mostra a vantagem de utilizar esta técnica para calcular a função de
partição de um sistema de muitas partículas. Ao final iremos introduzir o método de GR
denominado de transmissividade e que será utilizado no capítulo 4.
No capítulo 4 descrevemos nosso estudo para o sistema SAF com campo uniforme.
Apresentamos o diagrama de fases no plano temperatura versus campo magnético e
fazemos a comparação com os resultados obtidos por outros autores.
No capítulo 5 apresentamos as conclusões e perspectivas de trabalhos futuros.
4
Figura 1-2: Diagrama de fases do SAF no plano H/J x kB T /J. (a) Aproximação de
Campo Médio (b) Aproximação de Cadeia Linear (c) Aproximação de Bethe-Peierls (d)
Resultado de Wang e Kim (e) Linha crítica obtida pelo método da inteface.
5
Capítulo 2
Transições de fases e Expoentes
Críticos
Numa transição de fase observamos uma mudança abrupta das propriedades termodinâmicas de um sistema em decorrência da variação de um ou mais de seus parâmetros
externos. Essas transições podem ser estudadas pela termodinâmica e são caracterizadas
por singularidades em algumas grandezas termodinâmicas, tais como calor específico e
susceptibilidade, no ponto de transição.
Neste capítulo abordaremos as transições de fases clássicas, ou seja, movidas pelo
efeito térmico. Ilustraremos esta abordagem com o exemplo do ferromagnetismo.
2.1
O ferromagneto de Ising
Em nossa abordagem sobre transições de fases utilizaremos o modelo de ferromagneto
mostrado esquematicamente na Fig.(2-1). Este modelo consiste de átomos com momentos
magnéticos de spin = 1/2 (representados por setas), arranjados em uma rede de dimensão
d. Este modelo é por natureza um modelo quântico e requer que sejam observadas todas
as regras da mecânica quântica para lidar com momento angular de spin. Entretanto,
iremos considerar um modelo mais simplificado e que captura toda a essência da física
6
Figura 2-1: Esquema do modelo de spins para um ferromagneto
do ferromagnetismo.
Consideramos que cada spin pode somente ter duas orientações, +z ou −z e portanto,
o i-ésimo spin desta rede pode assumir somente dois valores, Si = ±1. Cada um destes
spins interage com seus vizinhos mais próximos da rede, já que em um magneto real
as interações decaem rapidamente com o aumento da distância entre dois spins. Este
modelo é descrito pelo Hamiltoniano de Ising [1] e tem a forma,
H = −J
X
Si Sj
(2.1)
hi,ji
onde a soma é sobre todos os pares de spins primeiros vizinhos, e J > 0 é a interação
de troca. Se dois spins vizinhos na rede possuem a mesma orientação, teremos uma
energia de interação −J, se são antiparalelos a energia é +J. Como J é positivo, a
interação de troca favorece o alinhamento paralelo dos spins vizinhos. A Eq.(2.1) representa, portanto, a energia Eα de um estado particular α de todo o sistema, devido a
um determinado arranjo dos spins na rede, ou de outro modo, devido aos valores particulares das variáveis de spin Si naquele estado particular α. Estes estados particulares
são denominados de microestados do sistema. Para um sistema de N spins teremos 2N
7
possíveis microestados diferentes. Se a maioria dos spins da rede estiverem paralelos teremos um momento magnético não nulo para o sistema dando origem a um ferromagneto.
Um sistema apresenta magnetização espontânea quando possui momento magnético na
ausência de campo magnético.
Para introduzirmos os efeitos da desordem causados pela temperatura assumiremos
que o sistema de spin está em equilíbrio com um reservatório de calor à temperatura T .
O comportamento do sistema será descrito pelo ensemble canônico. A probabilidade Pα
de encontrarmos o sistema no estado α, de energia Eα e à temperatura T é dada por
Pα = exp(−
Eα
)/Z
kB T
(2.2)
onde kB é a constante de Boltzmann e
¶
µ
X
Eα
exp −
Z=
kB T
α
(2.3)
O contato do sistema com o reservatório de calor faz com que o sistema sofra transições de
um microestado para outro. Cada spin pode transicionar entre os dois estados possíveis
+1 ou -1 a medida que ganha ou perde energia para o reservatório de calor. A medida
de uma grandeza macroscópica é obtida por uma média sobre todos os microestados
visitados durante a medição. Considerando mα a magnetização de um microestado α do
sistema,
mα =
X
Si ,
(2.4)
i
onde os Si desta soma representam os valores das variáveis de spin no microestado α. A
magnetização do sistema será
m=
X
mα Pα .
(2.5)
α
Similarmente, outras grandezas termodinâmicas podem ser obtidas em termos das
probabilidades Pα . Um magneto real, como por exemplo, um pedaço de ferro contém um
grande número de spins (cerca de 1023 ) e como estamos interessados no comportamento
8
de um sistema real, temos que considerar sistemas para os quais N → ∞ possuindo assim
um grande número de microestados.
O modelo de Ising apresentado acima será a base do estudo que apresentaremos
aqui. Este modelo captura muitas das características essenciais da transição de fase para
o estado ferromagnético o que, aliado a sua simplicidade, o torna ideal para estudar
transições de fases.
Existem outros modelos para tratar o ferromagnetismo que são bastantes conhecidos
e já foram exaustivamente estudados. Por exemplo, modelos nos quais as interações
entre os spins se dão ao longo de cada uma das três dimensões espaciais, conhecido como
modelo de Heisenberg[22], ou em duas direções, modelo XY [23]. Os spins também podem
ser inteiros (S = 1, 2, ...) ou semi-inteiros (S = 12 , 32 , ...). Podemos ter ainda modelos nos
quais as interações entre os spins podem ter um maior alcance, ou seja, modelos com
interações de segundos, terceiros ou ainda mais distantes vizinhos da rede[10],[24]. Todos
estes modelos exibem propriedades interessantes e têm sido muito estudados nos últimos
50 anos.
2.2
Transições de Fase
O comportamento termodinâmico do ferromagneto de Ising é determinado pela competição entre a energia de troca e a temperatura. Para dimensões maiores que um
(d > 1), o sistema pode se apresentar, a T > 0, em duas fases distintas; paramagnética
e ferromagnética (ver Fig.2-2). Para temperaturas altas, comparadas com J, a entropia
domina a energia livre e os spins flutuam praticamente independentemente, caracterizando a fase paramagnética. Por outro lado, para baixas temperaturas, quase todos os
spins permanecem alinhados em uma das duas direções possíveis, dando origem a uma
ordem magnética de longo alcance. Nesta fase ferromagnética cada spin apresenta um
valor médio < Si > diferente de zero, onde <> denota a média termodinâmica sobre o
ensemble canônico. A magnetização espontânea assume diferentes valores em cada fase
9
Figura 2-2: Diagrama de fases no plano campo versus temperatura (em unidades de J)
para um ferromagneto.
e é utilizada como parâmetro de ordem, uma quantidade termodinâmica que serve para
caracterizar a natureza de uma fase (ver Fig.(2-3)). Em toda a fase paramagnética, encontrada na região de temperatura T > Tc , sendo Tc a temperatura crítica da transição,
a magnetização assume o valor zero. Na fase ferromagnética, na região de temperatura
T < Tc a magnetização assume um valor não nulo. Para T logo acima de Tc , existem
grandes regiões ou domínios nos quais uma certa porção dos spins estão alinhados paralelamente. Existe ordem nestes domínios mas não é possível que uma fração finita destes
concordem em alinhamento. Para T logo abaixo de Tc a grande maioria dos domínios
estão com o mesmo alinhamento e observa-se o ordenamento de longo alcance. Quando
os tamanhos dos domínios tornam-se grandes, o tempo requerido para o ordenamento ou
desordenamento torna-se longo. Dizemos que o tempo de relaxação (equilíbrio térmico)
próximo a Tc é longo. Este tipo de transição descrita acima é chamada de transição de
segunda ordem.
Para o caso unidimensional os spins estão conectados entre si por apenas duas ligações,
favorecendo que as flutuações térmicas destruam qualquer alinhamento ferromagnético.
Neste caso, ocorre ordem apenas em T = 0. Em qualquer temperatura finita, a entropia
sempre domina a energia interna impedindo o surgimento de uma fase ordenada. Assim,
diz-se que a dimensão crítica inferior do modelo de Ising, isto é, a dimensão acima da
10
Figura 2-3: Parâmetro de ordem (magnetização espontânea) em função da temperatura
para um ferromagneto.
qual pode-se ter uma fase ordenada para T 6= 0 é então dl = 1.
Uma outra quantidade termodinâmica de interesse na descrição das transições de segunda ordem é o comprimento de correlacão ξ. O comprimento de correlação mede o
tamanho linear de uma região sobre a qual as flutuações de spins estão correlacionadas.
Podemos também dizer que é o comprimento médio dos domínios com uma porção finita
de spins alinhados na mesma direção. No caso de uma transição de segunda ordem,
como aquela observada na transição ferromagnética-paramagnética descrita acima, as
flutuações estão correlacionadas em todas as escalas de distância, de modo que o comprimento de correlação torna-se infinito.
Na fase ferromagnética existem dois estados de equilíbrio equivalentes que estão relacionados pela simetria de inversão de spins exibida pela Hamiltoniana da Eq.(2.1). O
sistema apresenta uma quebra de simetria espontânea ao escolher um dos dois estados
possíveis de equilíbrio. O diagrama de fases no plano m − H, (ver Fig.(2-4)), apresenta
uma descontinuidade na magnetização, quando H → 0+ com valor +m0 e H → 0− com
valor −m0 . Esta descontinuidade caracteriza uma transição de primeira ordem. Algumas
quantidades termodinâmicas sofrem descontinuidades ao passar pela linha de transição,
11
Figura 2-4: Curva da magnetização m em função do campo magnético H
H = 0 e T < Tc (ver Fig.(2-4)), e o comprimento de correlação permanece finito.
2.3
Expoentes críticos
O comportamento singular ou divergente de certas funções termodinâmicas numa
transição de fase é descrito em termos de expoentes críticos[25]. Estas transições são
caracterizadas por uma temperatura de transição, ou temperatura crítica Tc . Portanto,
próximo a uma transição de fase descrevemos o comportamento singular das grandezas
físicas do sistema através de comportamentos assintóticos em função da variável térmica,
t=
T − Tc
T
Para o calor específico, o comportamento assintótico é dado por
C ∼ |t|−α , H = 0.
(2.6)
De forma análoga, para a magnetização espontânea m, a susceptibilidade χ e a magnetização M em função do campo magnético H, temos:
12
m ∼ |t|β , T < Tc , H = 0;
(2.7)
χ ∼ |t|−γ , H = 0;
(2.8)
1
M ∼ H δ , T = Tc .
(2.9)
O comprimento de correlação ξ e as funções de correlação se comportam como
ξ ∼ |t|−υ , H = 0.
(2.10)
G(r) ∼ r−(d−2+η) , T = Tc , H = 0.
(2.11)
As definições acima referem-se a parte singular destas quantidades e, salvo quando explícito, as singularidades são as mesmas para T se aproximando de Tc por cima ou por
baixo. Os expoentes α, β, γ, δ, ν e η são denominados expoentes críticos. Observamos
que de forma geral o expoente crítico associado ao comportamento assintótico de uma
grandeza F é denifido por
λ = Lim
t→0
ln |F (t)|
.
ln |t|
(2.12)
Os expoentes críticos não são independentes e estão relacionados entre si por algumas
desigualdades obtidas através de considerações fundamentadas na Termodinâmica e na
Mecânica Estatística. Na criticalidade, essas desigualdades são satisfeitas como igualdades e são conhecidas como leis de escala. Veremos a seguir algumas das desigualdades
mais conhecidas entre estes expoentes.
Para tanto, iniciemos por lembrar de um lema, que pode ser encontrado em qualquer
livro de cálculo, de particular utilidade à demostração que faremos.
LEMA: Sejam f (x) e g(x) duas funções tais que
f (x) = xλ
(2.13)
g(x) = xϕ
(2.14)
13
e consideremos
f (x) ≤ g(x)
(2.15)
para x > 0, porém suficientemente próximo da origem x = 0. Então podemos afirmar
que
λ ≥ ϕ.
(2.16)
onde λ e ϕ podem assumir quaisquer valores reais, positivos ou não.
Comecemos demostrando a desigualdade de Rushbrooke. Partiremos da seguinte
relação:
·µ
χT (CH − CM ) = T
∂M
∂T
¶ ¸2
,
(2.17)
H
onde χT denota a susceptibilidade magnética à temperatura constante e é definida por
χT =
µ
∂M
∂H
¶
(2.18)
.
T
CH e CM em (2.17) são respectivamente, os calores específicos a campo (H) e magnetização (M) constantes, e que são definidos por:
CH = −T
µ
∂2G
∂T 2
¶
(2.19)
CM = −T
µ
∂2A
∂T 2
¶
(2.20)
H
M
sendo G o potencial de Gibbs e A o potencial de Helmholtz. É fácil verificar que tanto
CH como CM são positivos se os definimos em função da entropia S do sistema,
CH = T
e
CM = T
µ
∂S
∂T
¶
(2.21)
µ
∂S
∂T
¶
(2.22)
14
H
M
visto que a entropia do sistema cresce quando cresce a temperatura. Considerando o fato
de CM ser um número positivo, a relação, (Eq.(2.17)), pode ser reduzida a
T
CH ≥
χT
·µ
∂M
∂T
¶ ¸2
.
(2.23)
H
Usando as relações que definem expoentes críticos do calor específico C (EQ.(2.6)),
da magnetização m (Eq.(2.7)) e da susceptibilidade χ(Eq.(2.8)), podemos então, através
do lema anteriormente destacado, obter a relação:
α + 2β + γ ≥ 2
(2.24)
que é a desigualdade de Rushbrook.
Apresentaremos agora, sem qualquer demostração, algumas outras desigualdades que
podem ser encontradas nos livros textos usuais de Mecânica Estatística:
Griff ths : γ ≥ β(δ − 1),
(2.25)
Grif fths : γ(δ + 1) ≥ (2 − α) (δ − 1) ,
(2.26)
F isher : γ ≤ ν (2 − η) ,
(2.27)
Josephson : νd ≥ 2 − α
(2.28)
onde, na última expressão, d é a dimensionalidade do sistema.
2.4
Leis de escala
Na região crítica as relações de desigualdade entre os expoentes críticos são satisfeitas
como igualdades e são conhecidas como leis de escala. Estas leis são obtidas a partir de
uma conjectura acerca de como algumas quantidades se transformam quando o sistema
sofre uma transformação de escala. A idéia básica é que próximo ao ponto crítico as
15
correlações de longo alcance das flutuações de spins são responsáveis por todos os comportamentos singulares das grandezas físicas. Portanto, o comprimento de correlação ξ
é o único comprimento característico do sistema, e todos os demais serão medidos em
termos dele. Esta conjectura juntamente com a afirmação de que, próximo ao ponto
crítico, as funções termodinâmicas são funções homogêneas generalizadas levam-nos as
conhecidas leis de escala,
γ = β(δ − 1),
(2.29)
γ(δ + 1) = (2 − α) (δ − 1) ,
(2.30)
γ = ν (2 − η) ,
(2.31)
νD = 2 − α
(2.32)
Estas relações são de grande importância na teoria de fenômenos críticos. É conhecido experimentalmente que os expoentes críticos que governam o comportamento das
quantidades termodinâmicas nas vizinhanças de um dado ponto crítico têm os mesmos
valores para vários sistemas. Quando sistemas diferentes possuem o mesmo conjunto de
expoentes críticos dizemos que eles pertencem a uma mesma classe de universalidade.
16
Capítulo 3
Introdução ao Grupo de
Renormalização no Espaço Real
O GR, introduzido por K. Wilson[26] desempenha papel de grande relevância nos
diversos contextos da física, especialmente no estudo de fenômenos críticos. No âmbito
dos fenômenos críticos, um dos objetivos principais do GR é determinar expoentes críticos
e obter diagramas de fases. Portanto, a ênfase da teoria do GR está na obtenção da função
de partição no ponto crítico. O desenvolvimento do GR é bastante complexo e baseia-se
em conceitos como escalonamento, universalidade e correlações na região crítica. Por
outro lado, podemos, de uma forma mais simplista, ver o GR como uma ferramenta
prática e aproximada para calcular as somas envolvidas em uma função de partição de
um sistema de muitas partículas[27]. É esta a visão que apresentaremos a seguir.
3.1
Equações de GR para o modelo de Ising
Vamos considerar um ferromagneto de Ising em uma dimensão. Na Fig.(3-1) temos uma
porção de uma cadeia de spins. A função de partição da cadeia de spins que queremos
calcular tem a forma,
17
Figura 3-1: Segmento de uma cadeia de spins. Os círculos abertos representam os spins
que serão dizimados. Os círculos fechados representam os spins remanescentes na cadeia..
Z=
X
exp[K(...S1 S2 + S2 S3 + S3 S4 + ...)]
(3.1)
onde a soma é sobre todos os valores possíveis para S1 ,S2 ,... e usamos K = J/kB T .
Vamos reescrever Z agrupando termos na seguinte forma
Z=
X
... exp K(S1 S2 + S2 S3 ) exp K(S3 S4 + S4 S5 )...].
(3.2)
A seguir iremos eliminar o spin S2 que aparece somente na primeira exponencial. Fazemos
isso realizando a soma sobre S2 = ±1. A função de partição toma a forma,
Z=
X
... [exp K(S1 + S3 ) + exp(−K(S1 + S3 )] · exp K(S3 S4 + S4 S5 )...
(3.3)
onde a soma agora é sobre todos os spins remanescentes na cadeia, exceto o spin S2 .
Nosso próximo objetivo é somar sobre todos os spins pares restantes, ou seja, S4 ,S6 ,...
(Fig.3-1). Após a dizimação de todos estes spins podemos reescrever Z como,
Z=
X
... [exp K(S1 + S3 ) + exp(−K(S1 + S3 )]·× [exp K(S3 + S5 ) + exp(−K(S3 + S5 )] ...
(3.4)
18
onde agora o somatório inclui apenas os spins ímpares da cadeia. O próximo passo é
achar uma função G, tal que, independemente de S1 e S3 forneça
exp K(S1 + S3 ) + exp(−K(S1 + S3 ) = G(K) exp K 0 (S1 S3 )
(3.5)
onde K 0 representa o acoplamento entre S1 e S3 . A solução para a Eq.(3.5) é facilmente
obtida substituindo todos os valores possíveis para S1 e S3 . Para S1 = S3 = +1 ou −1,
temos
exp 2K + exp(−2K) = G(K) exp K 0
(3.6)
Para S1 = 1 e S3 = −1 ou S1 = −1 e S3 = 1,
2 = G(K) exp K 0 ,
(3.7)
que resulta em
K0 =
1
ln[cos(2K)]
2
1
G(K) = cosh(2K) 2 .
(3.8)
(3.9)
Logo, podemos escrever
X
...G(K) exp K 0 S1 S3 · G(K) exp K 0 S3 S5 ...
X
N
= [G(K)] 2
exp K 0 (...S1 S3 + S3 S5 + ...)
Z =
(3.10)
Note que nós ainda não realizamos a soma da função de partição, mas, agora temos que
realizar esta tarefa apenas para um sistema com N/2 spins acoplados pela interação K 0 ,
ou seja,
N
Z(N, K) = G(K) 2 Z 0 (N/2, K 0 )
19
(3.11)
e mostramos, portanto, que a função de partição Z(N, K) para N spins está relacionada
a função de partição Z 0 (N 0 , K 0 ) de um sistema de N 0 = N/2 spins.
Para um sistema de muitas partículas sabemos como Z depende de N . Sendo a
energia livre proporcional ao tamanho do sistema, podemos escrever
ln Z = Nξ
(3.12)
onde ξ é função de K mas é independente do tamanho do sistema. Usando as Eq.(3.11)
e (3.12) podemos escrever,
i
N
1 h
ln G(K) 2 + ln Z 0 .
N
(3.13)
ξ(K) =
1
1
ln G(K) + ln Z 0 .
2
N
(3.14)
ξ(K) =
1
ln G(K) + ξ 0 (K 0 ),
2
(3.15)
ξ(K) =
e
logo
ξ 0 (K 0 ) = 2ξ(K) − ln[cosh(2K)1/2 ].
(3.16)
Essas equações acima são os resultados essenciais do GRER. Analisando-as podemos
concluir que conhecendo a função de partição para um certo valor de K (ou equivalentemente de T ), estas equações fornecem uma relação de recorrência para obtermos a
função de partição para outro valor de acoplamento ou temperatura. Usando a relação
de recorrência (Eq.(3.8)) obtemos um fluxo na direção K → 0. Esta equação foi obtida
para d = 1 e possui apenas dois pontos fixos triviais localizados em K = 0 e K = ∞ (ver
Fig.(3-2)).
O mesmo procedimento pode ser realizado para dimensões maiores. Na tentativa
de facilitar a obtenção das equações de GR dos mais variados sistemas físicos, diversas
outras aproximações vêm sendo adotadas. Apresentaremos a seguir a aproximação que
20
Figura 3-2: Diagrama de fluxo para o ferromagneto de Ising em d=1.
utilizamos para obter as relações de recorrência do GR para o estudo que realizamos no
SAF com campo uniforme. Esta aproximação é denominada de método da transmissividade.
3.2
A transmissividade
Sabe-se atualmente que a transmissividade, grandeza formalmente introduzida em
1981 por Tsallis e Levy[21], é a função de correlação entre dois spins na ausência de campo
externo[28]. Mostraremos, como utilizar a transmissividade ao tratarmos o modelo de
Ising e apresentaremos os resultados desta grandeza para obter a relação de recorrência
do GR.
Vamos considerar um sistema unidimensional. A partir da cadeia de spins definimos duas células de tamanhos diferentes: A célula maior possui 4 sítios e seus spins
estão acoplados pela interação de troca J. A célula menor, que chamaremos de célula
renormalizada, possui dois sítios cujo acoplamento é J 0 (ver Fig.(3-3)).
O Hamiltoniano de Ising para a célula de 4 spins é dada por,
H = −JS1 S2 − JS2 S3 − JS3 S4
(3.17)
e para a célula renormalizada temos,
H = −J 0 S1 S4 + G0
21
(3.18)
Figura 3-3: Células utilizadas na renormalização do ferromagneto de Ising em d = 1.
onde G0 é gerada no processo de renormalização. A função de partição para a célula
maior é
Z=
X
exp K(S1 S2 + S2 S3 + S3 S4 ).
(3.19)
S1 ,S2, S3, S4
Para a célula renormalizada temos
Z 0 = exp βG0
X
exp (K 0 S1 S4 ) ,
(3.20)
S1 ,S4
onde usamos K = βJ e K 0 = (βJ)0 . Definimos a transmissividade a partir da preservação
de parcelas da função de partição nas quais os spins terminais estão fixos. Assim, para
S1 = S4 = 1.
0
= exp (K 0 + βG0 ) =
Z++
X
exp K(S2 + S2 S3 + S3 ) = Z++
S2, S3
22
(3.21)
e para S1 = 1 e S4 = −1,
0
= exp (−K 0 + βG0 ) =
Z+−
X
S2, S3
exp K(S2 + S2 S3 − S3 ) = Z+−
(3.22)
onde os somatórios agora são somente sobre as variáveis de spin S2 e S3 da célula maior.
Estas duas expressões, Eq. (3.21) e Eq.(3.22), fornecem a relação de recorrência para a
variável K 0 . Dividindo as duas expressões e realizando a soma sobre os spins S2 e S3 ,
obtemos
¸
· 4K
1
e + 3e−K
K = ln −4K
2
e
+ 3eK
0
(3.23)
O fluxo desta esquação é sempre em direção ao atrator da fase paramagnética K 0 = 0
como é esperado para d = 1.
O mesmo procedimento pode ser realizado em duas dimensões. Para isto considere a
porção extraída da rede quadrada apresentada na Fig.(3-4). Novamente iremos calcular
parcelas da função de partição, nas quais os spins S1 e S4 são mantidos fixos. Usando os
grafos (b) e (c) da Fig. (3-4) temos,
0
Z++
= exp (K 0 + βG0 ) =
X
exp K(2S2 + 2S3 + S2 S3 ) = Z++
(3.24)
S2, S3
0
Z+−
= exp (−K 0 + βG0 ) =
X
exp K(S2 S3 ) = Z+−
(3.25)
S2, S3
· 5K
¸
e + 2e−K + e−3K
1
K = ln
2
2eK + 2e−K
0
(3.26)
Esta equação possui dois pontos fixos triviais localizados em K = 0 (fase ordenada)
e K = ∞ (fase paramagnética). O terceiro ponto fixo, Kc = 0, 44, é um ponto crítico
repulsor que separa a fase ordenada da fase paramagnética. Este resultado deve ser
comparado com o resultado exato de Onsager para o modelo de Ising em d = 2[11].
A escolha da célula desempenha um papel crucial dentro desta aproximação. Como o
23
Figura 3-4: Grafos utilizados na transformação de GR na rede quadrada (a) Cluster da
rede quadrada. (b) Célula com os spins terminais colapsados. (c) Célula renormalizada.
método envolve o colapso de spins da rede, deve-se tomar o cuidado para que a célula
preserve o estado fundamental do sistema que será estudado.
O método da transmissividade já foi utilizado para tratar vários modelos de spins
clássicos. Em geral, os resultados podem ser aprimorados aumentando-se o tamanho das
células usadas no processo de renormalização. Entretanto, quando usamos um tratamento
de GRER nossa maior expectativa é quanto ao resultado qualitativo que será obtido.
No próximo capítulo empregaremos o método da transmissividade para estudar o
SAF de Ising com campo magnético.
24
Capítulo 4
Estudo do Super antiferromagneto
de Ising com campo uniforme
Neste capítulo iremos apresentar o estudo que desenvolvemos sobre o SAF de Ising
com campo uniforme utilizando como método de renormalização a transmissividade.
Faremos inicialmente uma breve apresentação de alguns dos resultados mais importantes
para o modelo de Ising. Ao final discutiremos os principais resultados que obtivemos
neste estudo.
4.1
Modelo de Ising com campo magnético uniforme
O modelo de Ising foi proposto por Lenz[29] em 1920 para o seu aluno Ising. Este
obteve uma solução exata para o caso unidimensional e constatou não haver transição de
fase em temperatura finita (ver Apêndice B). O modelo de Ising tem sido usado também
na descrição de sistemas não físicos, como modelo de aprendizagem[30], armazenamento
de informação em redes neurais[31], biologia molecular[32],[33] e sociologia[34].
Na presença de campo uniforme H o modelo de Ising pode ser escrito na forma
H=−J
X
X
Siz Sjz − H
Siz ,
i
hi,ji
25
(4.1)
onde a primeira soma refere-se às configurações de spin e a outra cobre todos os sítios da
rede. A função de partição para este problema é então,


X
X
Siz Sjz + H
Siz ) .
Z(β, H) = exp β(J
i
{i,i}
(4.2)
Em duas dimensões e na ausência de campo magnético, o modelo de Ising apresenta
uma transição de fase ferro-paramagnética e pode ser resolvido exatamente. Em 1941,
Kramers e Wannier[35], determinaram a temperatura crítica do sistema usando a dualidade entre sítios e ligações de uma rede quadrada. Em 1944, Onsager[11],resolveu
exatamente o modelo de Ising na ausência de campo e obteve uma expressão analítica
para a energia livre, de onde se obtém uma singularidade logarítimica para o calor específico. Outros tratamentos visando simplificar a solução foram dados posteriormente
por Kaufmann[36], Schultz, Mattis e Lieb[37]. Soluções didáticas deste problema podem
ser encontradas nas Refs.[38] e [39], seguindo o tratamento de matrizes de transferência,
e Refs.[40], [41], via método combinatorial.
A temperatura crítica do modelo é dada por
µ
2J
sinh
KB Tc
¶
(4.3)
= 1,
ou
2
kB Tc
√ ≈ 2, 269
=
J
ln(1 + 2)
(4.4)
O calor específico apresenta uma singularidade logarítmica em Tc ,
¯
¶2 ¯
µ
¯
T ¯¯
2 2J
¯
ln ¯1 − ¯ + const.
C ≈ −NKB
π KB Tc
Tc
(T ≈ Tc ).
A magnetização por spin, obtida por Yang[42], pode ser expressa como
26
(4.5)
m(T ) =



0 T > Tc
µ
¶
h
¡ 2J ¢i−4 1/8

 1 − sinh K Tc
B
(4.6)
T < Tc ,
revelando uma transição de fase em T = Tc .
Na presença de um campo magnético, a solução exata para o modelo em d = 2
não é conhecida. A questão então consiste em obtermos uma idéia do comportamento
crítico sem que seja preciso recorrer diretamente à soma em (4.2). Para evitar o ataque
frontal, é conveniente transformar o problema original num outro mais tratável, onde, a
singularidade ocorra naturalmente quando o ponto crítico é atingido. Esta é a tarefa que
o GR se propõe a realizar.
Para o sistema ferromagnético (F), a presença do campo destrói a transição existente
a campo nulo. Neste caso, qualquer valor de H 6= 0 fará com que os spins do sistema
orientem-se na direção do campo e, para qualquer valor de T , teremos apenas a fase FIC,
também denominada de fase paramagnética com campo.
Para o sistema antiferromagnético (AF) a presença do campo magnético não é suficiente para destruir a transição observada a campo nulo. Podemos observar através do
esquema mostrado na Fig.(4-1) que o valor do campo crítico necessário para destruir a
ordem em T = 0 é Hc = 4J. O método da transmissividade foi utilizado por [19] para
estudar o AF de Ising bidimensional. Nós refizemos este estudo e apresentamos a seguir
um resumo com os principais resultados.
A célula utilizada na transformação de GR é apresentada na Fig.(4-2a). A célula
hierárquica (4-2b) é adequada para tratar o AF pois preserva a simetria do estado fundamental. O Hamiltoniano usado na transformação tem a forma,
H=J
X
HX
Si Sj −
zi Si
4 i
hi,ji
onde J > 0 é o acoplamento antiferromagnético, H é o campo magnético e zi é chamado
de número de coordenação do sítio i. No sistema AF, o número de coordenação coincide
27
Figura 4-1: Estado fundamental do AF em d = 2.
Figura 4-2: Células utilizadas na renormalização do antiferromagneto em d = 2 (a)
Cluster da rede quadrada (b) Células com spins colapsados (c) célula renormalizada.
28
com o número de ligações que convergem para um dado sítio. A transformação de GRER
é definida por
¡
¢ X
0
Z 0 = exp −β 0 H1,2
=
exp(−βH1,2,...,6 ) = Z
(4.7)
A Eq.(4.7) indica que a soma será realizada apenas sobre os spins internos da célula
maior(ver Fig.(4-2b)). Preservando parcelas da função de partição obtemos as relações
de recorrência na forma,
J 0 = f (βJ, βH)
H 0 = g(βJ, βH)
A iteração das equações acima fornece uma linha crítica de segunda ordem separando as
fases AF e FIC (ver Fig.4-3). Em temperatura zero o campo magnético crítico obtido
foi H = 4J que é o valor esperado para a rede quadrada. O fluxo das equações do GR
ao longo da linha crítica é em direção ao ponto crítico do sistema de Ising sem campo
(T c = 2.26, H = 0). Neste caso temos que o comportamento do sistema AF não foi
aletrado pela presença do campo magnético.
4.2
O SAF de Ising em duas dimensões
Embora o modelo de Ising tenha sido exaustivamente estudado, muitas questões sobre
propriedades magnéticas e diagrama de fases de versões mais gerais ainda estão abertas.
Entre os casos interessantes, recentemente estudados, está o modelo SAF de Ising com
campo uniforme. Em duas dimensões o sistema é representado pelo modelo de Ising com
um tipo de anisotropia particular: o acoplamento entre os sítios primeiros vizinhos na
direção x(y) é ferromagnético enquanto que na direção y(x) é antiferromagnético (Fig.44). Estas interações dão origem a um estado fundamental com linhas (colunas) de spins
no estado ferromagnético e colunas (linhas) de spins alinhados antiferromagneticamente.
A introdução de um campo magnético no modelo induz competição entre as energias de
interação do Hamiltoniano e leva o sistema a um comportamento crítico que tem sido
29
Figura 4-3: Diagrama de fases do sistema AF no plano campo versus tempertura (em
unidades de J).
30
Figura 4-4: Esquema da rede bidimensional para o modelo SAF.
objeto de estudo e controvérsias nos últimos anos. O modelo Hamiltoniano mais geral
para descrever o SAF de Ising com campo magnético tem a forma,
N
X
X
X
z
z
z
z
z
H = −Jx Si,j Si,,j+1 + Jy Si,j Si+1,j − H Si,j
hi,ji
(4.8)
i,j
hi,ji
onde i é para ser tomado fixo ao longo do eixo x e j ao longo do eixo y. As interações
z
é a matriz de spin de Pauli e H > 0 é
Jx > 0 e Jy > 0 são os acoplamentos de troca, Si,j
o campo magnético uniforme que atua em cada spin da rede quadrada.
O Hamiltoniano (Eq.4.8) tem solução exata para o caso H = 0 e uma temperatura
crítica dada por
µ
2Jx
sinh
kB Tc
¶
µ
2Jy
sinh
kB Tc
¶
= 1,
(4.9)
separa uma fase de baixas temperaturas com ordenamento SAF de outra fase, de temperaturas mais altas, dita paramagnética. Em particular, se |Jx | = |Jy | = J, temos
kB Tc
que
= 2.269. Para valores finitos de campo existe uma linha crítica separando o
J
estado fundamental SAF do estado FIC induzido pelo campo magnético. Em T = 0,
encontramos o valor de campo crítico, Hc = 2J, destruindo a fase SAF.
Como mencionamos na Introdução, este sistema foi estudado por diversos autores que
31
utilizaram-se de várias técnicas disponíveis na mecânica estatística. Vários diagramas de
fases no plano, T versus H, foram propostos para o modelo SAF com |Jx | = |Jy | =
J, levando a algumas controvérsias. A primeira controvérsia levantada foi acerca da
existência de pontos tricríticos e de transições de primeira ordem no SAF. Estas questões
estão hoje bem sedimentadas e sabe-se que toda a região da linha crítica é de 2a ordem.
Outra controvérsia que surgiu mais recentemente é sobre a presença ou não de uma
reentrância na linha de transição à baixas temperaturas.
Neste trabalho aplicamos a aproximação do GRER para discutir o diagrama de fases
do modelo SAF de Ising em duas dimensões. A transformação usada para tratar este
problema já provou ser uma poderosa ferramenta para obter informações qualitativas
sobre problemas envolvendo fenômenos críticos e é aplicada com sucesso em sistemas de
spin clássicos e quânticos[10][43]. A aproximação que usamos serve para tratar transições
de primeira e segunda ordem, para determinar classes de universalidade, pontos multicríticos, etc. O comportamento incomum da linha crítica observado por alguns autores
foi obtido para o caso |Jx | = |Jy | = J. Portanto, por simplicidade, estaremos tratando
aqui apenas este caso particular e daremos ênfase à discussão acerca da existência ou não
deste comportamento reentrante no diagrama de fases do modelo SAF.
4.3
Formalismo do GRER
Para estudar o modelo SAF em duas dimensões propomos uma rede retangular com interações de primeiros vizinhos conforme aquela esquematizada na Fig.(4-5). Para aplicar
a transformação do GRER é necessário transformar um cluster de 12 sítios (Fig.4-5- a)
em uma célula hierárquica apropriada (Fig.(4-5b)). Na Fig.(4-5c) é mostrada a célula
renormalizada. Os sítios 1 e 2 representam os sítios terminais em ambas as células, original e renormalizada. Estes grafos são adequados para estudar o modelo SAF pois eles
preservam a estrutura de linhas e colunas, no ordenamento do estado fundamental, que
são cruciais para descrever o sistema. Ressaltamos que os cálculos foram realizados com
32
Figura 4-5: Grafos usados na transformação de GR para o modelo SAF com |Jx | = |Jy | =
J. (a) Cluster em d = 2 (b) Célula original. (c) Célula renormalizada.
células de diferentes tamanhos e não foi observado mudanças qualitativas nos resultados
obtidos pelo GRER.
Vamos reescrever o Hamiltoniano do modelo, Eq. (4.8) na forma equivalente,
H = −J
X
X
X
Siz Sjz − H
cl Slz + H
ck Skz ,
i,j
l
(4.10)
k
onde J > 0 é a interação de troca ferromagnética, Siz é a matriz de spin de Pauli e
H é o campo magnético externo. Os índices l e k referem-se aos sítios pertencentes as
subredes com campo magnético apontando para cima e para baixo, respectivamente. Os
parâmetros cl e ck são incluidos para que seja realizado um correto balanceamento dos
campos nos sítios das células utilizadas. Note que, em temperatura zero, o campo H terá
33
que vencer apenas a energia de interação dos spins vizinhos que estão situados em linhas
distintas. Spins pertencentes a mesma linha possuem acoplamentos ferromagnéticos e
estas interações não oferecem oposição à tentativa de alinhamento imposta pelo campo.
Neste caso, os números de coordenação cl e ck não correspondem ao número de ligações
que convergem para um dado sítio como acontece no sistema AF[19].
Obtemos as relações de recorrência impondo que parcelas das funções de partição,
nas quais fixamos os sítios terminais dos grafos, original e renormalizado, sejam preservadas. Considerando H e H0 os Hamiltonianos dos sistemas original e renormalizado,
respectivamente, a transformação de GRER é definida por
0
)=
Z 0 = exp(−β 0 H1,2
X
exp(−βH1,2,...,10 ) = Z,
(4.11)
3−10
onde somamos apenas sobre os sítios internos (de 3 até 10), da Fig.(4-5-b) e fixamos os
spins terminais de ambos os grafos. O Hamiltoniano para a célula renormalizada é escrito
como uma soma de termos de energia,
0
= −J 0 S1z S2z − H 0 S1z + H 0 S2z + G0 ,
H1,2
(4.12)
sendo G0 é a função gerada pelo procedimento de renormalização. O fator β 0 = 1/kB T 0
foi absorvido nos parâmetros J 0 e H 0 . Portanto, para o cluster de dois spins obtemos
0
Z+−
= exp(2J 0 − 2H 0 )
0
Z++
0
Z+−
= exp(2J 0 + 2H 0 )
0
Z−−
O mesmo procedimento deve ser executado na célula original. O Hamiltoniano neste
caso também pode ser escrito como uma soma de termos de interação e, por ser uma
expressão muito longa, será omitida aqui. As equações que conectam os parâmetros
34
originais e renormalizados são facilmente obtidas e têm a forma
¶
µ
Z+− Z+−
1
.
J = ln
4
Z++ Z−−
(4.13)
¶
µ
Z++
1
H = ln
.
4
Z−−
(4.14)
0
0
Devido ao grande tamanho das células usadas na transformação de GRER, o lado direito
de ambas as equações (4.13) e (4.14) é obtido numericamente. Para H = 0 temos que,
Z++ = Z−− , e neste caso recaímos em uma única equação e a interação de troca é dada
por
¶
µ
1
Z+−
J = ln
2
Z++
0
(4.15)
A iteração numérica das relações de recorrência, Eqs.(4.13)-(4.15) fornecem o diagrama
¡
¢
de fluxo no plano kB TJ , HJ . Os pontos críticos são obtidos pela procura dos pontos
fixos não triviais destas equações. As fases são identificadas de acordo com o seus pontos
atratores. No apêndice B apresentamos o código numérico que foi desenvolvido para este
trabalho.
4.4
Resultados e discussões
Na Fig.(4-6) mostramos o diagrama obtido com o GRER para o sistema SAF bidimensional no plano temperatura versus campo magnético (curva a). Para H = 0, o sistema
exibe duas fases: a fase SAF com uma estrutura de ordenamento de linhas ferromagnéticas e colunas antiferromagnéticas e a fase paramagnética sem campo. Os atratores das
fases SAF e paramagnéticas são (T = 0, H = 0) e (T = ∞, H = 0), respectivamente. A
transição de segunda ordem entre as duas fases é governada pelo ponto crítico repulsor
Tc = 2.07. Este resultado é ligeiramente menor do que o resultado exato obtido por Onsager Tc = 2.269[11]. Aqui enfatizamos que os resultados que obtivemos através do uso
de GR em células pequenas são somente aproximados na rede quadrada. Não obstante,
35
Figura 4-6: Diagrama de fases esquemático do modelo SAF bidimensional no plano (H/J,
kB T /J). (a) nosso resultado para o SAF (b) o resultado da aproximação de Campo Médio
[12]. (c) resultado de Wang e Kim [14] (d) linha crítica obtida com o método da interface
[18].
as propriedades críticas dos sistemas magnéticos são quase sempre muito bem descritas,
do ponto de vista qualitativo, através da aproximação do GRER, particularmente no caso
bidimensional.
Na presença de um campo magnético H, uma linha crítica de segunda ordem separa a fase SAF (T = 0, H = 0) da fase FIC (T = ∞, H = ∞). A trajetória do
fluxo das equações do GRER ao longo de toda a linha crítica tende para o ponto fixo,
(H = 0, T = 2.07), que é o mesmo do modelo de Ising original. Portanto, este ponto
crítico controla a transição de fase SAF-FIF e conseqüentemente, a presença do campo
36
magnético não muda a classe de universalidade do sistema. De outra forma, o sistema
SAF possui os mesmos expoentes críticos do sistema de Ising original.
Investigamos cuidadosamente o diagrama de fases na região de baixas temperaturas
com o objetivo de procurar alguma evidência de pontos tricríticos ou transição de fase
com comportamento reentrante como o que têm sido sugerido por alguns autores. Para
uma melhor comparação de resultados é mostrado também na Fig.(4-6) os diagramas
obtidos por outros autores. A teoria de CM prediz a existência de um ponto tricrítico
nas coordenadas (2.667, 1.756) enquanto que nos resultados de Wang e Kim[14], a linha
crítica apresenta um comportamento reentrante com a presença de duas temperaturas
críticas para o mesmo valor de campo acima de H/J = 2. Como pode ser visto no
diagrama apresentado na Fig. (4-6-a) nossos resultados não sugerem a presença de pontos
tricríticos nem do comportamento reentrante mostrado em trabalhos anteriores. Nosso
resultado foi obtido com células pequenas com as quais não é esperado um excelente
resultado quantitativo. Diante disto não foi nosso objetivo calcular expoentes críticos.
Entretanto, acreditamos que o método utilizado é bastante confiável para descrever o
comportamento qualitativo de sistemas simples como este estudado aqui.
37
Capítulo 5
Conclusão
Investigamos neste trabalho o efeito de um campo magnético longitudinal externo no
diagrama de fases do modelo SAF de Ising bidimensional. Utilizamos uma aproximação
de GRER, conhecida como método da transmissividade, que tem sido aplicada com muito
sucesso em diversos outros sistemas. Nesta transformação usamos uma célula obtida
da rede quadrada que preserva a simetria do estado fundamental do sistema SAF. Esta
simetria deve-se a natureza ferromagnética das interações dentro das linhas e da natureza
antiferromagnética das interações entre as diferentes linhas de spin. Apresentamos o
diagrama de fases no plano temperatura versus campo magnético.
Para H = 0 obtivemos o valor Tc = 2.07 para o ponto crítico repulsor, separando a
fase ordenada SAF da fase paramagnética, que deve ser comparado com o valor exato
Tc = 2.269[11].
Na presença do campo magnético as equações de GR fornecem uma linha crítica
separando as fases SAF e FIC. O valor do campo magnético crítico em T = 0 foi Hc =
2J, que é o resultado esperado para este sistema na rede quadrada. Para obter este
valor foi necessário realizar um balanceamento correto dos campos nos sítios dos grafos
utilizados. Neste balanceamento levamos em conta que, para destruir a fase SAF em
T = 0 o campo magnético necessita vencer os acoplamentos entre spins vizinhos situados
em diferentes linhas da rede quadrada. Os acoplamentos dos spins vizinhos situados na
38
mesma linha não oferecem resistência à tentativa de alinhamento imposta pelo campo.
Contrariando resultados de outros autores, que podem ser encontrados na literatura,
obtivemos um comportamento crítico descrito pela linha crítica de segunda ordem sem
nenhuma evidência de comportamento reentrante. Esses resultados estão de acordo com
aquele encontrado anteriormente por Rottman[18] e é sustentado por resultados recentes
de simulação de Monte Carlo obtidos por J. Roberto Viana et. al.[44] e que também
reproduzimos posteriormente[45].
Geralmente é possível melhorar os resultados quantitativos de GRER em um dado
sistema quando aumentamos o tamanho do grafo utilizado. Entretanto, concluimos que
nosso estudo foi bem sucedido ao fornecer os resultados qualitativos corretos para o
sistema SAF em duas dimensões, alcançando nosso objetivo inicial..
Como sequência a este trabalho, demos início a um estudo do SAF em d = 2 com
acoplamento de segundos vizinhos, utilizando simulação de Monte Carlo. Neste caso, o
modelo Hamiltoniano pode ser escrito na forma,
H = −Jx
X
X
X
X
z
z
z
z
z
z
z
z
Si,j
Si,j+1
+ Jy Si,j
Si+1,j
+ J2 (Si,j
Si+1,j+1
+ Si,j+1
Si+1,j
)−H
Siz
hi,ji
hi,ji
i
hi,ji
onde Jx > 0 e Jy > 0 são as interações de primeiros vizinhos ao longo das direções x e
y, respectivamente, J2 > 0 é a interação de segundos vizinhos e H é o campo magnético
longitudinal que atua em todos os sítios da rede. Iniciamos este estudo considerando o
caso |Jx | = |Jy | = J.Pretendemos estudar o sistema para diversas razões
39
J2
.
J
Apêndice A
Resolução do Modelo de Ising
1.1
Resolução Exata em Uma Dimensão
Consideremos uma cadeia ou rede linear com N sítios. O objetivo de nossos cálculos é
obter, de forma fechada, a função de partição.
ZN = ZN (J1 , J2 , J3 , ..., JN−1 ) =
1
1
X
X
...
S1 =−1S2 =−1
1
X
SN =−1
exp
à N −1
X
Ji Si Si+1
i=−1
!
(A.1)
Ji
é um termo de energia de troca e não possui dimensão. kB é
kB T
a constante de Boltzmann e T a temaperatura absoluta. As N somatórias se estendem
onde Ji ≡ βJi ≡
sobre as 2N configurações de estado para o sistema.
O método de solução é calcular o efeito da adição de um spin a mais no fim da cadeia.
Isto é, pretendemos expressar a função de partição para a rede extensa, ZN+1 , em termos
da função de partição para a rede original ZN . Tendo feito isso, teremos uma relação de
recorrência com a qual poderemos encontrar a solução.
40
Da Equação (A.1) fazemos:
ZN+1 =
1
1
X
X
...
S1 =−1S2 =−1
1
X
SN =−1
exp
à N−1
X
Ji Si Si+1
i=−1
!
1
X
exp (JN SN SN+1 )
(A.2)
SN +1 =−1
Observe que agora a última somatória da equação acima, (A.2), é:
1
X
exp(JN SN SN+1 ) = exp(JN SN ) + exp(−JN SN ) = 2 cosh(JN SN )
(A.3)
SN +1 =−1
A função cosseno hiperbólico é positiva para qualquer valor real, o que nos leva a
perceber que o segundo termo da equação (A.3) não depende de SN já que os valores
possíveis para SN são +1 e −1, ou seja, cosh(JN ) = cosh(JN ). Então
ZN+1 = ZN 2 cosh(JN )
(A.4)
e como ocorre o mesmo com as outras somatórias e exponenciais para todos os 2N estados
possíveis, resulta que
ZN+1 = Z1 2N (cosh J1 cosh J2 cosh J3 ... cosh JN )
(A.5)
Agora é fácil ver que Z1 = 2, sendo que Z1 é exatamente a função de partição
para um sistema simples de apenas um spin, de modo que a "soma sobre os estados" é
simplesmente o "números de estados". Substituindo ZN+1 e Z1 na equação (A.5) teremos
ZN 2 cosh(JN ) = 2.2N (cosh J1 cosh J2 cosh J3 ... cosh JN )
(A.6)
Eliminando os termos repetidos teremos de forma clara:
ZN = 2N (cosh J1 cosh J2 cosh J3 ... cosh JN−1 )
41
(A.7)
que pode ser reescrita assim:
(N−1)
ZN = 2N Π (cosh Ji ).
(A.8)
i=1
No caso uniforme, ou seja, quando quaisquer dois spins tiverem sua energia de interação
constante e igual a J, (Ji = J), teremos:
ZN = 2N cosh(N−1) J
(A.9)
ou, de forma ainda mais explicíta
ZN = 2N cosh(N −1)
J
.
kB T
(A.10)
Voltemos agora para a expressão mais geral da função de partição,
(N−1)
ZN = 2N Π (cosh Ji ),
(A.11)
i=1
cuja forma nos sugere uma relação com a ordem de temperatura TC . Por esta razão
vamos calcular a função de correlação entre dois spins
!
ÃN−1
X
X
Γk (r) ≡ hSk Sk+r i = ZN−1 Sk Sk+r exp
Ji Si Si+1
i=1
{S}
onde a somatória
P
(A.12)
Sk Sk+r é feita sobre todos os 2N estados, S representa os spins da
{S}
rede, k é o valor que localiza o spin S e r é a distância de separação entre dois spins,
cujo valor é dado em unidades de uma rede constante. A função de correlação para o
primeiro vizinho é simplesmente Γk (1), o que satisfaz a relação
!
!
ÃN−1
ÃN−1
X
X
X
∂ X
Sk Sk+r exp
Ji Si Si+1 =
exp
Ji Si Si+1
ZN Γk (r) =
∂J
k
i=1
i=1
{S}
{S}
42
(A.13)
Claramente o argumento que nos levou à equação acima pode ser generalizado para um
r arbitrári, resultando em
ZN Γk (r) =
∂
∂
∂
...
ZN
∂Jk ∂Jk+1 ∂Jk+r−1
(A.14)
com isso, poderemos obter, a partir da diferenciação da equação geral para ZN , o seguinte
resultado:
Γk (1) = tanh (Jk )
e
r
Γk (r) = (tan ghJk )(tan ghJk+1 )...(tan ghJk+r−1 ) = Π tan ghJk+i−1
i=1
que é simplesmente o produto das funções de correlação entre primeiros vizinhos. Para
um caso uniforme, esta equação se reduz a
Γk (r) = hSk Sk+r i = tanhr J
ou, mais explicitamente,
r
Γk (r) = hSk Sk+r i = tanh
µ
J
kB T
¶
que se mostra independente do sítio k.
1.2
Solução Exata em Uma Dimensão na Presença
de um Campo
Para este caso o modelo de Ising pode ser escrito como
N
N
X
X
H = −J
Si Si+1 − H Si
i=1
i=1
43
(A.15)
Vamos começar escrevendo então a função de partição
ZN =
X
"
N
N
X
X
exp βJ
Si Si+1 + βH
Si
{Si }
i=1
i=1
#
(A.16)
usando K = βJ e L = βH e escrevendo o segundo termo de uma forma mais simétrica,teremos:
ZN =
X
#
N
N
X
LX
exp K Si Si+1 +
Si + Si+1 .
2
i=1
i=1
{Si }
"
(A.17)
Por conveniência, vamos adotar condições periódicas de contorno SN+1 = S1 . Podemos
escrever a parte exponencial da função acima como um produto de exponenciais:
"
#
" N
#
N
X
LX
exp K Si Si+1 exp
Si + Si+1
2
i=1
i=1
(A.18)
ou, de forma mais explicíta:
exp K(S1 S2 ) exp K(S2 S3 )... exp K(SN SN+1 ) exp
exp
Ã
Ã
!
à N
!
N
LX
LX
S2 + S3 ... exp
SN + SN+1 .
2 i=1
2 i=1
LX
S1 + S2
2 i=1
N
!
×
(A.19)
(A.20)
Obtemos assim um produtório, que vamos representar por
"
N
N
X
LX
Π T (Si , Si+1 ) = exp K Si Si+1 +
Si + Si+1
i=1
2
i=1
i=1
N
#
(A.21)
de modo que a Eq.(A.17) possa ser escrita de forma simplificada:
ZN =
XN
Π T (Si , Si+1 ).
{Si }
i=1
44
(A.22)
observe agora que cada fator do produtório
"
N
N
X
LX
T (Si , Si+1 ) = exp K Si Si+1 +
Si + Si+1
2
i=1
i=1
#
(A.23)
pode assumir quatro valores, pois Si = ±1 e Si+1 = ±1, independentemente do valor de
i,
L
(1 + 1) = exp(K + L)
2
L
exp [K(1 · −1)] + (1 − 1) = exp(−K)
2
L
exp [K(−1 · 1)] + (−1 + 1) = exp(−K)
2
L
exp [K(−1 · −1)] + (−1 − 1) = exp(K − L).
2
exp [K(1 · 1)] +
(A.24)
(A.25)
(A.26)
(A.27)
Se colocarmos estes valores em forma de matriz,




T (+, +) T (+, −)
exp(K + L) exp(−K)
=
,
T =
T (−, +) T (+−, −)
exp(−K) exp(K − L)
(A.28)
onde T é a matriz transferência, podemos notar que o produtório da Eq.(A.22) pode
ser representado como um produto de N matrizes 2 x 2 idênticas. Por conseguinte, se
diagonalizarmos esta matriz, a Eq.(A.22) como um todo pode ser interpretada como o
traço (T r), ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal, do produto de N matrizes
(de transferência) idênticas,
ZN = T r(T )N .
(A.29)
Aplicando a equação secular (T − λI = 0), onde I é a matriz identidade, podemos
encontrar as raízes a partir de uma matriz diagonalizada D :
N
ZN = T r(D)N = λN
1 + λ2 ,
45
(A.30)
onde as raízes λ1 + λ2 são
λ1,2 =
1 p 4K
1
[exp(K + L) + exp(K − L)] ±
(e − 2e4K−2L + e4K−4L + 4e−2L ) e−2K+2L
2
2
(A.31)
ou
λ1,2
q
= e cosh(L) ± e2K cosh2 L − senh(2K)
K
(A.32)
É fácil perceber que esses autovalores são sempre positivos e que λ1 > λ2 , exceto no
ponto trivial T = H = 0. A campo nulo essas expressões ficam mais simples,
λ1 = 2 cosh K ≥ λ2 = 2 sinh K,
(A.33)
com a degenerescência (λ1 = λ2 ) no limite K → 0 (ou seja, T → 0).
Para obter a energia livre no limite termodinâmico, é conveniente escrever
ZN =
λN
1
"
1+
µ
λ1
λ2
¶N #
.
(A.34)
Como λ2 < λ1 , temos o limite
·
¸
1
ln ZN ,
f (T, H) = lim −
N→∞
βN
fazendo com que na Eq. (A.34) tenhamos
µ
λ1
λ2
¶N
→0
e daí:
1
f (T, H) = − ln λ1
β
46
(A.35)
ou seja,
·
¸
q
1
2
βJ
f (T, H) = − ln e cosh(βH) + e2βJ cosh (βH) − 2senh(2βJ)
β
que é uma função analítica, de onde vêm todas as propriedades termodinâmicas do sistema.
A magnetização por spin, por exemplo, é dada por
µ
∂f
m=−
∂H
¶
T
onde:
senh(βH)
m= p
senh2 (βH) + exp(−4βJ)
que se anula para H = 0, servindo apenas para a explicação do paramagnetismo e não o
ferromagnetismo, pois sabemos que m 6= 0 quando H = 0 em um material ferromagnético.
1.3
Resultados exatos na rede quadrada
O modelo de Ising em d = 2 foi resolvido exatamente por Onsager em 1944[11]
quando determinou a energia livre do sistema no limite termodinâmico. A partir da
energia livre podem-se ser derivadas todas as propriedades de equilíbrio. Esta solução
é de grande importância pois possibilita que vários métodos aproximativos possam ser
testados. Desde a solução de Onsager vários autores utilizaram diversos outros métodos
para reproduzir esta solução. Os detalhes da solução são bastante longos e remeteremos
os leitores aos autores originais[36],[37]. Vamos nesta seção nos limitar ao registro de
alguns resultados de Onsager.
A energia livre para um sistema de Ising bidimensional na ausência do campo mag-
47
nético pode ser escrita na forma,
1
−βf (T ) = ln 2 + 2
2π
Z
π
0
Z
π
0
£
¤
ln cosh2 2K − senh2K(cos θ1 + cos θ2 ) dθ1 dθ2 ,
(A.36)
onde K = βJ. Portanto, temos a energia interna
¸
·
Z Z
senh2 2K − 1 π π
dθ1 dθ2
J
. (A.37)
1+
u=−
2
tanh K
π2
0
0 cosh 2K − senh2K(cos θ 1 + cos θ 2 )
A integral aparecendo nessa última expressão diverge logaritmicamente quando
cosh2 2K = 2senh2K,
(A.38)
senh2K = 1,
(A.39)
ou seja,
que define a temperatura crítica do modelo,
Kc−1 =
kB Tc
2
√ = 2, 269....
=
J
ln(1 + 2)
(A.40)
Nas vizinhanças da temperatura crítica, é conveniente definir o parâmetro pequeno
δ = (senh2K − 1)2 .
(A.41)
Então, em ordem dominante para δ → 0, temos
Z
π
0
Z
0
Z
π
0
π
Z
0
dθ1 dθ2
∼
cosh 2K − senh2K(cos θ1 + cos θ2 )
2
π
δ+
2π
dθ1 dθ2
1
senh2K(θ21
2
Z
0
+ θ22 )
rdr
δ+
1 2
r senh2K
2
48
=
∼ −2π ln δ,
(A.42)
onde foram utilizadas coordenadas polares para simplificar a integral da etapa intermediária. A partir dessa forma assintótica, a energia nas vizinhanças da temperatura
crítica é dada por
u∼−
J
[1 + A(K − Kc ) ln |K − Kc |] ,
tanh K
(A.43)
onde A é uma constante. Tomando a derivada em relação à temperatura, obtemos a
fórmula para o calor específico a campo nulo,
cH=0 ∼ B ln |K − Kc | ,
(A.44)
com K → Kc e onde B é uam constante.
Uma expressão analítica para a energia interna dada pela Eq. (A.37) pode ser escrita
em termos de uma integral elíptica,
·
¸
¡
¢2
J
2
u=−
1 + 2 tanh 2K − 1 K(k1 ) ,
tanh K
π
(A.45)
onde
k1 =
2senh(2K)
cosh2 2K
(A.46)
e K(k1 ) é uma integral elíptica completa de primeiro grau,
K(k1 ) =
Z
0
π
2
£
¤−1/2
1 − k12 sen2 θ
dθ.
49
(A.47)
Apêndice B
Programa
Programa utilizado para estudar a transição de fase do modelo SAF de Ising com
campo magnético externo na rede quadrada.
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
INTEGER*4 DIM
INTEGER*4 VEC
PARAMETER (VEC=10)
PARAMETER (DIM=2**VEC)
COMMON/DADOS/xj,xh
–— DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS E PARÂMETROS –—
VEC –> Quantidade de spins.Ex.: |S1 S2 S3 S4> => VEC = 4.
DIM –> Dimensão de matrizes e vetores em uma base comum dos VEC
spins. Ex.: |S1 S2 S3 S4> => DIM = 16.
write(*,*)’entre com o valor de 1/xj,xh/xj’
read(*,*)xk1,xh1
xj=1.0d0/xk1
xh=xh1*xj
DO id=1,10
CALL MATRIX2(DIM,VEC,xt1,xt2)
50
write(2,*)’xt1:=’,xt1,’:’,’xt2:=’,xt2,’:’,’xt3:=’,xt3,’:’
if(xh.eq.0.0) then
xj=0.5d0*dlog(xt1)
xh=0.0d0
goto 40
end if
valores renormalizados
xj=0.25d0*dlog(xt1*xt2)
xh=0.5d0*dlog(xt2/xt1)
40 write(*,*)1.0d0/xj,xh/xj
end do
STOP
END
SUBROTINAS
SUBROUTINE MATRIX2(DIM,VEC,xt1,xt2)
Subrotina que constrói e diagonaliza o Hamiltoniano
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
INTEGER*4 DIM
INTEGER*4 VEC
DIMENSION n(vec)
COMMON/DADOS/xj,xh
rhopp=0.0d0
rhopm=0.0d0
rhomp=0.0d0
rhomm=0.0d0
rho=0.0d0
do i=1,dim
call ketbin(VEC,i,n)
51
ligações na direção x
h12=2.0d0*n(1)*n(2)
h34=n(3)*n(4)
h45=n(4)*n(5)
h67=n(6)*n(7)
h78=n(7)*n(8)
h910=2.0d0*n(9)*n(10)
hx=xj*(h12+h34+h45+h67+h78+h910)
ligações na direção y
h13=n(1)*n(3)
h15=n(1)*n(5)
h24=n(2)*n(4)
h36=n(3)*n(6)
h47=n(4)*n(7)
h58=n(5)*n(8)
h610=n(6)*n(10)
h79=n(7)*n(9)
h810=n(8)*n(10)
hy=xj*(h13+h15+h24+h36+h47+h58+h610+h79+h810)
termo do campo
hbt=(xh)*(n(1)+0.5d0*n(2)+n(3)+n(4)+n(5)+n(6)+n(7)+n(8)+0.5d0*n(9)+n(10))
Elemento de matriz (energia)
A = -hx+hy-hbt
if((n(1).eq.1).and.(n(10).eq.1))then
rhopp=rhopp+dexp(-A)
end if
if((n(1).eq.1).and.(n(10).eq.-1))then
rhopm=rhopm+dexp(-A)
52
end if
if((n(1).eq.-1).and.(n(10).eq.1))then
rhomp=rhomp+dexp(-A)
end if
if((n(1).eq.-1).and.(n(10).eq.-1))then
rhomm=rhomm+dexp(-A)
end if
rho=rho+dexp(-A)
end do
xt1=rhopm/rhopp
xt2=rhopm/rhomm
write(*,*)xt1,xt2
RETURN
END
SUBROUTINE ketbin(VEC,idec,n)
idec —> um numero inteiro (1<=idec<=DIM) rotulando um vetor de base na representação decimal.
Ex.: idec = 1 => (1 ... 0), idec = 3 => (0 0 1 0 ... 0), etc.
Visto que idec representa um vetor de base, ele está associado a um vetor de dimensão
DIM com um único 1 em alguma linha
e com todos as outras linhas contendo 0.
Essa subrotina retorna um vetor de dimensão VEC contendo como entradas 0 (correspondentes a +) e 1(correspondentes a -).
Esses 0’s e/ou 1’s correspondem ‘a representação binária do (numero-1) que é passado
como argumento ao procedimento.
Exs.: VEC=4 e idec = 1 => ifarray = (0 0 0 0) = |0000>
VEC=4 e idec = 15 => ifarray = (1 1 1 0) = |1110>
VEC=4 e idec = 16 => ifarray = (1 1 1 1) = |1111>
53
IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)
INTEGER*4 VEC
INTEGER i,idec,inum
DIMENSION ifarray(VEC),n(vec)
inum=idec-1
do i = VEC,1,-1
ifarray(i) = mod(inum,2)
inum=inum/2
end do
Depois da base gerada em termos de 0 e 1 eu a mudo para +1 e -1.
do i2=1,vec
if(ifarray(i2).eq.0) then
n(i2)=1
else
n(i2)=-1
end if
end do
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