ELIPSES
Elipse é o conjunto todos os pontos P (x, y) de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, F1 e
F2 , desse plano é constante (2a). A equação geral de uma elipse é ax2 + by 2 + cx + dy + f = 0.
ELEMENTOS da elipse
Centro: C (h, k)
Vértices: A1 , A2 , B1 e B2
medida do eixo maior: 2a
medida do eixo menor: 2b
Focos: F1 e F2
Distância focal: 2c
onde a2 = b2 + c2 ou c2 = a2 − b2
Excentricidade: e =
c
a
(0 < e < 1)
CASO 1: o eixo maior é paralelo ao eixo Ox (como na figura acima)
Equação padrão:
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
(x0)2 (y0)2
+ 2 =1
a2
b
x = h + a cos θ
Equações paramétricas:
y = k + bsenθ
Equação reduzida:
(0 ≤ θ ≤ 2π)
Vértices: A (h ± a, k) e B (h, k ± b)
Focos: F (h ± c, k)
CASO 2: o eixo maior é paralelo ao eixo Oy
(x − h)2 (y − k)2
Equação padrão:
+
=1
b2
a2
(x0)2 (y0)2
+ 2 =1
b2
a
x = h + b cos θ
Equações paramétricas:
y = k + asenθ
Equação reduzida:
Vértices: A (h, k ± a) e B (h ± b, k)
Focos: F (h, k ± c)
(0 ≤ θ ≤ 2π)
Exemplo 1 Equação geral da elipse: 16x2 + 25y 2 − 400 = 0
Centro: C (0, 0)
Semi-eixo maior: a = 5
Semi-eixo menor: b = 4
16x2 25y 2
400
+
=
=1
400
400
400
y2
x2
+
=1
400
400
16
25
Vértices: A (±5, 0) e B (0, ±4)
x2
y2
+
=1
25 16
Focos: F (±3, 0)
Distância focal: 2c = 6
c2 = a2 − b2 = 25 − 16 = 9 ⇒ c = 3
c
3
=
a
5
x = 5 cos θ
Equações paramétricas:
y = 4senθ
x2 y 2
+ 2 =1
52
4
(Equação reduzida)
Excentricidade: e =
Exemplo 2 Equação geral da elipse: 9x2 + 4y 2 − 54x + 16y + 61 = 0
9x2 − 54x + 4y 2 + 16y + 61 = 0 =⇒ 9 x2 − 6x + 4 y 2 + 4y + 61 = 0
=⇒ 9 (x − 3)2 − 9 + 4 (y + 2)2 − 4 + 61 = 0 =⇒ 9 (x − 3)2 − 81 + 4 (y + 2)2 − 16 + 61 = 0
=⇒ 9 (x − 3)2 + 4 (y + 2)2 − 36 = 0 =⇒ 9 (x − 3)2 + 4 (y + 2)2 = 36
=⇒
9 (x − 3)2 4 (y + 2)2
36
(x − 3)2 (y + 2)2
(x − 3)2 (y + 2)2
+
=
=⇒
+
= 1 =⇒
+
= 1 (padrão)
36
36
36
4
9
22
32
Centro: C (3, −2)
Semi-eixo maior: a = 3
Semi-eixo menor: b = 2
Vértices: A (3, −2 ± 3) ⇒ A1 (3, −5) e A2 (3, 1)
B (3 ± 2, −2) ⇒ B1 (1, −2) e B2 (5, −2)
c2 = a2 − b2 = 9 − 4 = 5 ⇒ c =
√
5
√ Focos: F 3, −2 ± 5 √
Distância focal: 2c = 2 5
√
c
2 5
Excentricidade: e = =
a
3
x = 3 + 2 cos θ
Equações paramétricas:
y = −2 + 3senθ
Exemplo 3 Equação geral: x2 + y 2 − 9 = 0
c2 = a2 − b2 = 9 − 9 = 0
x2 y 2
+
= 1 (forma padrão)
9
9
Excentricidade: e = c/a = 0/3 = 0
Centro: C (0, 0)
Focos: F (±3, 0)
Distância focal: 2c = 6
Semi-eixos: a = b = 3
Vértices: A (±3, 0) e B (0, ±3)
Equações paramétricas:
x = 3 cos θ
y = 3senθ
EXERCı́CIOS
1
Exercı́cio 1 (Página 191 - 50) Um satélite de órbitra elı́ptica e excentricidade
viaja ao redor de um planeta
3
situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km, calcular
a maior distância.
Exercı́cio 2 (Página 189 - Em cada um dos problemas de 1 a 10...) Esboçar o gráfico e determinar os vértices
A1 e A2 , os focos e a excentricidade das elipses dadas:
1)
x2 y 2
+
=1
25
4
6) 4x2 + 9y 2 = 25
7) 4x2 + y 2 = 1
Exercı́cio 3 (Página 189 - Em cada um dos problemas de 12 a 19...) Deterrminar uma equação (padrão) da
elipse que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
13) focos F (0, ±5) e eixo menor igual a 10
14) focos F (±3, 0) e vértices A (±4, 0)
16) vértices A (±10, 0) e excentricidade
1
2
2
19) centro (0, 0), focos no eixo dos x, e = , passando por P
3
5
2, −
3
Exercı́cio 4 (Página 189 - Em cada um dos problemas de 20 a 27...) Obter uma equação (padrão) da elipse que
satisfaça as condições dadas.
2
22) focos F1 (−1, −3) e F2 (−1, 5) e excentricidade
3
24) vértices A1 (−7, 2) e A2 (−1, 2) e eixo menor igual a 2
27) centro C (2, −1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados
Exercı́cio 5 (Página 190 - Em cada um dos problemas de 28 a 33...) Determinar a equação reduzida, o centro,
os vértices A1 e A2 , os focos e a excentricidade. Esboçar o gráfico.
29) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0
31) 16x2 + y 2 + 64x − 4y + 52 = 0
Exercı́cio 6 (Página190 - Nos problemas de 34 a 39...) Obter equações paramétricas da elipse da equação dada.
35) x2 + y 2 = 36
37) 9 (x − 1)2 + 25 (y + 1)2 = 225
39) 4x2 + 9y 2 − 54y + 45 = 0
Exercı́cio 7 (Página190
geral da elipse dada por equações
√
- Nos problemas de 40 a 43...) Obter uma equação
x = 2 + 4 cos θ
x = 2 cos θ
paramétricas.
42)
43)
y = 3 + 2senθ
y = −1 + senθ
Exercı́cio 8 (Página 190 - 44) Determinar os focos da elipse de equações x = 4 + 3 cos t e y = −2 + 5sent.
Exercı́cio 9 (Página 190 - 45) Determinar uma equação (geral) da curva gerada por um ponto que se move, de
modo que a soma de suas distâncias ao pontos (4, −1) e (4, 7) seja sempre 12.
Exercı́cio 10 (Página 191 - 48) Encontrar uma equação (geral) da elipse de centro (0, 0), eixo maior sobre Ox,
1
excentricidade e que passa por (2, 3).
2
Exercı́cio 11 (Página 191 - 49) Determinar uma equação (geral) das circunferências inscrita e circunscrita à
elipse de equação dada.
a) 16x2 + y 2 − 16 = 0
b) 4x2 + 9y 2 − 32x + 36y + 64 = 0
RESPOSTAS
50) 600 km
1) A (±5, 0)
5
6) A ± , 0
2
√
√
F ± 21, 0
7) A (0, ±1/2)
e=
!
√
5 5
F ±
,0
6
√
F 0, ± 3/2
21
5
√
5
3
√
e = 3/2
e=
.
13)
x2
y2
+
=1
25 50
14)
x2 y 2
+
=1
16
7
16)
x2
y2
+
=1
100 75
19)
x2 y 2
+
=1
9
5
.
22)
(x + 1)2 (y − 1)2
+
=1
36
20
24)
(x + 4)2 (y − 2)2
+
=1
9
1
27)
(x − 2)2 (y + 1)2
+
=1
4
1
.
29)
(x0)2 (y0)2
+
=1
16
25
31) (x0)2 +
(y0)2
=1
16
C (−1, −2)
C (−2, 2)
A1 (1, −7) e A2 (1, 3)
F −2, 2 ±
A1 (−2, −2) e A2 (−2, 6)
√
.
35)
x = 6 cos θ
y = 6senθ
37)
x = 1 + 5 cos θ
y = −1 + 3senθ
39)
x = 3 cos θ
y = 3 + 2senθ
.
42) x2 + 4y 2 − 4x − 24y + 24 = 0
43) x2 + 2y 2 + 4y = 0
.
44) F1 (4, −6) e F2 (4, 2)
45) 9x2 + 5y 2 + 72x − 30y + 9 = 0
48) 3x2 + 4y 2 − 48 = 0
49) a) x2 + y 2 − 1 = 0
x2 + y 2 − 16 = 0
b) x2 + y 2 − 8x + 4y + 16 = 0
3
e=
5
√
15
e=
4
F1 (−1, −5) e F2 (−1, 1)
x2 + y 2 − 8x + 4y + 11 = 0
15