Elementos de Cálculo I - Notas de aula 7 Prof Carlos Alberto Santana Soares Elipse Definição 1 Sejam 𝐹1 e 𝐹2 dois pontos no plano. Seja ainda um número 2𝑎 maior que a distância entre 𝐹1 e 𝐹2 , distância esta que indicaremos por 2𝑐. Chamamos elipse de focos 𝐹1 e 𝐹2 e eixo maior 2𝑎 o conjunto de todos os pontos 𝑃 (𝑥, 𝑦) tais que 𝑃 𝐹1 + 𝑃 𝐹2 = 2𝑎, ou ainda, distância de 𝑃 a 𝐹1 + distância de 𝑃 a 𝐹2 = 2𝑎. Abaixo temos representada a eplipse de focos (1, 2) e (−1, −2) e eixo maior 6. 𝑦 .. .......... 𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7.1 4 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 6 3.............................................. ..... .... .... ..... .... ..... ... ..... 𝐹 1 ... .... . . . . . . . . . . . ∙ . . . . ............. . 2 ... .. . .. . .. .. .. .......... .... . ..... ... ... ..... .... .... ... ..... . .. .. . . . .......... .. .. . .... . . . ...........∙ ... ....... ... ..... ... ... ... ..... .... . .. . ... . . . . . .... .. ... ..... ... .. .. ..... ... .. .. .. .. ..... .. .. .. ..... . . . . . . . . ... . .... .. .. ... ..... .. .. ..... .. ... .. .. ..... ... .. .. ..... . . .. . . ... . . . . .. .... ... ... .. ..... .. ... ... ....... .. ... ... ..... .. ... . .. ......... . .. . . . . .. .... ................... .. .... . ... .... ∙......... .... ... ..... .... . . . . .... .. ..... ..... ...... ...... ....... .......... ....................... 1 2𝑐 −5 −4 −3 −2 −1 −1 𝑃 1 2 3 4 ..... . 𝑥 ..... 5 −2 𝐹2 −3 −4 Problema 2 Como determinar a equação de uma elipse? Em particular, determinemos a equação da elipse de focos (-1,1) e (1,2) e eixo maior igual a 4. Um ponto (𝑥, 𝑦) estará na elipse se, e somente se, a soma de suas distâncias aos focos é igual a 4, isto é, devemos ter, √ √ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4. Dsesenvolvendo, teremos √ √ √ √ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 4− (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 √ √ ⇔ ( (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 )2 = (4 − (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 )2 ⇔ √ ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 16 − 8 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ⇔ √ ⇔ 𝑥2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 16 − 8 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 + 𝑥2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 5 ⇔ √ √ ⇔ −4𝑥−2𝑦+19 = 8 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 ⇔ (−4𝑥−2𝑦+19)2 = (8 (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 )2 ⇔ ⇔ 48𝑥2 + 60𝑦 2 − 16𝑥𝑦 + 24𝑥 − 180𝑦 − 41 = 0. A elipse está representada abaixo. 1 𝑦 ... .... .... 𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7.2 4 ................................ ................. ......... .......... ....... ........ ...... ....... . .... . . . . .... .... . . . ... .. . . ... . ... ... . . ... ... . ∙ ... .. . . ... .... .... ... . .... . . . ... . . ... ∙ ... ... .... ... ... ... .... . .... . . . ..... .... ....... ...... ........ ........ ............ ......... ............................................ 3 𝐹2 2 1 𝐹1 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 ..... . 𝑥 ..... 5 −2 −3 −4 Observe na figura 7.3 abaixo os lementos aos quais sempre nos referiremos em uma elipse. Neste caso, os elementos estão identificados na elipse acima. 𝑦 .. .......... 𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7.3 4 𝐵1 3 ....................................................... ........... ....... ......... ...... ....... .... .... ...... .... . . . . . . ... .. ... . . . .. . .. .. . ......∙.... . . . . . . .. ... ... .. . . . . . . . . ... .. .. ..∙ . . ... . . . .. . . ... .. .. .. ........... ... . . .. . . . .... ....... .. . . . . . . . ... .. .... . . . ... . . . . . . .. .. . ... .. ...... ... ... .....∙ .. ... ... ........... .. .... .. ..... ∙ .... .. . .... . . . .. .... .. ............ ...... .. ....... ....... ......... .... ................. ........................... ............. 𝐴2 𝐹 1 2 𝐶∙ 1 𝐹2 −5 −4 −3 −2 −1 𝐵21 −1 𝐴1 2 3 4 ..... .. 𝑥 .... 5 −2 −3 −4 Temos os elementos: Focos: F1 e F2 Distância focas: A distãncia entre os focos, indicada por 2c. Centro: Ponto médio dos segmentos determinados pelos focos Eixo Maior: Segmento A1A2, cujo comprimentos é igual a 2a. Eixo Menor: Segmento B1B2, cujo comprimento representaremos por 2b. Vértices: São os pontos A1, A2, B1, B2. Excentricidade: Número 𝑒 dado por 𝑒 = 𝑐 𝑎 Vale notar que 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 . Algumas vezes nos referiremos a CA1 e CB1 como semi-eixo maior e semi-eixo-menor respectivamente, isto é, a e b respectivamente. 2 Problema 3 Uma elipse de excentricidade 𝑒 = 1/2 tem centro na origem, focos no eixo 𝑥 e eixo maior igual a 12. Determine sua equação. Problema 4 Uma elipse tem centro na origem e focos no eixo 𝑥. Determinar sua equação sabendo que ela passa pelos pontos (0, −2) e (3, 0). Ainda que não nos preocupemos com a demonstração o teorema abaixo nos será muito útil, já que ele nos diz que se o eixo maior é horizontal ou vertical então a equação da elipse assume uma forma simples. Teorema 5 1) Um elipse possui eixo maior horizontal ( paralelo ao eixo 𝑥 ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (𝑥 − 𝑥𝑐 )2 (𝑦 − 𝑦𝑐 )2 + =1 𝑎2 𝑏2 onde 2𝑎 é o seu eixo maior, 2𝑏 seu eixo menor e (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) seu centro. 2) Um elipse possui eixo maior vertical ( paralelo ao eixo 𝑦 ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (𝑦 − 𝑦𝑐 )2 (𝑥 − 𝑥𝑐 )2 + =1 𝑎2 𝑏2 onde 2𝑎 é o seu eixo maior, 2𝑏 seu eixo menor e (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) seu centro. As equações acima são conhecidas como equações reduzidas da elipse!! Problema 6 Refaça os dois últimos problemas utilizando o teorema anterior. Hipérbole Definição 7 Sejam 𝐹1 e 𝐹2 dois pontos no plano. Seja ainda um número 2𝑎 positivo menor que a distância entre 𝐹1 e 𝐹2 , distância esta que indicaremos por 2𝑐. Chamamos hipérbole de focos 𝐹1 e 𝐹2 e eixo real 2𝑎 o conjunto de todos os pontos 𝑃 (𝑥, 𝑦) tais que ∣𝑃 𝐹1 − 𝑃 𝐹2 ∣ = 2𝑎, ou ainda, módulo da diferença entre as distâncias de 𝑃 a 𝐹1 e distância de 𝑃 a 𝐹2 = 2𝑎. Abaixo temos representada a hipeérbole de focos (1, 2) e (−1, −2) e eixo real 2𝑎 = 2. 𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7.4 𝑦 ... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... .... .... .... ... ... .. .. .. .. ∙ .. .. .. .. .. ... ... . .. .. .. .. ... . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... . .. .. .. .. ... . .. .. .. .. .. .. ... . .. .. .. ... .. .. .. ∙ .. .. ... ... .... .... .... .... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 4 3 2 𝐹2 𝐹1 1 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 3 1 2 3 4 ..... .. 𝑥 .... 5 Problema 8 Determinar a equação da hipérbole acima. 𝑃 (𝑥, 𝑦) será um ponto da hipérbole se, e somente se, ∣𝑃 𝐹 1 − 𝑃 𝐹 2∣ = 2. Observe que, emfunção do módulo é indiferente usarmos ∣𝑃 𝐹 1 − 𝑃 𝐹 2∣ = 2 ou ∣𝑃 𝐹 2 − 𝑃 𝐹 1∣ = 2. Logo, teremos: √ √ √ √ ∣ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 − (𝑥 − 4)2 − (𝑦 − 3)2 ∣ = 2 ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 − (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = ±2 ⇔ √ √ ⇔ ( (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 )2 = ( (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 ± 2)2 ⇔ √ ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 ± 4 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 + 4 ⇔ √ √ ⇔ ±2 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 3𝑥+𝑦 −12 ⇔ (±2 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 )2 = (3𝑥+𝑦 −12)2 ⇔ ⇔ −5𝑥2 + 3𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + 40𝑥 − 44 = 0. Tal como na elipse, identificamos certos elementos na hipérbole. Usamos a hipérbole acima para identificar tais elementos. Observe. 𝐹 𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎7.5 𝑦 .. .......... ..... .. ..... .. ..... .. ..... .. ..... .. ..... . ..... . ..... .. ..... .. ..... .. ..... ... .. ..... .. ..... .. ........∙ .... . .... . .... ............ .... .......... .... . ... . . . . . . . . ... ... ... ...∙ . . . . . . . . .... . .. ............. .... . .... ........... .... ∙....... ..... ..... .. ..... .. ..... ..... ... ..... ... ..... ... ... ... ... . .. .. ..... .. . .. ... ..... .. .. . . ... . .. .. .. .. ... . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . .. 4 3 2 𝐴1 𝐹1 𝐴2 𝐹 2 1 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 𝑥 5 −2 −3 −4 Focos: F1 e F2 Distância Focal: Distância 2𝑐 entre os focos Vértices: Pontos A1 e A2 Centro: Ponto médio do segmento F1F2 Eixo real ou transverso: Segmento A1A2 Eixo imaginário ou conjugado: Segmento perpendicular ao eixo tranverso passando pelo centro medindo 2𝑏 onde 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 . Excentricidade: 𝑒 = 𝑐 𝑎 Uma hipérbole será dita equilátera se os eixos real e imaginário são iguais. Novamente temos o teorema: Teorema 9 1) Um hipérbole possui eixo real horizontal ( paralelo ao eixo 𝑥 ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (𝑥 − 𝑥𝑐 )2 (𝑦 − 𝑦𝑐 )2 − =1 𝑎2 𝑏2 4 onde 2𝑎 é o seu eixo real, 2𝑏 seu eixo imaginário e (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) seu centro. 2) Um hipérbole possui eixo real vertical ( paralelo ao eixo 𝑦 ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (𝑦 − 𝑦𝑐 )2 (𝑥 − 𝑥𝑐 )2 + =1 𝑎2 𝑏2 onde 2𝑎 é o seu eixo real, 2𝑏 seu eixo imagnário e (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) seu centro. As equações acima são conhecidas como equações reduzidas da hipérbole!! Problema 10 (a) Determine a equação reduzida da hipérbole 3𝑥2 − 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 (b) Determine os eixos real e imaginário (c) Faça o esboço da hipébole. 5
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