Equações em Derivadas Parciais
Quarto de Matemáticas. U. de Agostinho Neto
Folhia 2: Equações de Segunda ordem.
Curso 2014.
Separação de variaveis.
1.- Determinar se podemos usar o método de separação de variaveis para cada uma das
EDPs siguintes. No caso afirmativo, calcular as EDOs correspondentes:
1. xuxx + ut = 0;
2. tuxx + xut = 0;
3. uxx + utx + ut = 0;
2
∂
ρ(x) ∂u
− r(x) ∂∂t2u = 0, onde ρ(x), r(x) são funções dadas;
4. ∂x
∂x
5. uxx + (x + y)uyy = 0.
2.- Consideramos a equação do calor em dois dimenções espaciais, ut = k∆u, onde
∂2
u = u(x, y, t) e ∆ = ∂ 2∂x2 + ∂y
2 é o laplaciano respeito ás variaveis do espaço (x, y).
Consideramos uma solução da forma u(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t). Encontrar as EDOs satisfeitas por X, Y e T .
3.- O movemento duma membrana circular está governado pela equação de ondas em dois
dimenções espaciais:
utt = c2 (uxx + uyy ),
x2 + y 2 < R2 ,
t>0
1. Escrever a equação em coordenadas polais (r, θ).
2. Consideramos uma solução da forma u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ)T (t). Encontrar as EDOs
satisfeitas por R, Θ e T com o parámetro c = 1.
4.- Consideramos a função φ(x) = x2 em 0 ≤ x ≤ 1.
1. Calcular o seu desarrollo de Fourier em serie de senos.
2. Calcular o seu desarrollo de Fourier em serie de cosenos.
5.- Encontrar a solução do problema de ondas

utt = uxx ,
0 < x < π,





 u(0, t) = 0 = u(π, t), t ≥ 0,


u(x, 0) = sin3 x,




ut (x, 0) = sin 2x,
0 ≤ x ≤ π,
0 ≤ x ≤ π.
t > 0,
6.- Calcula u( 12 , 32 ) se u é a solução da equação de ondas com os dados siguintes

utt (x, t) − uxx (x, t) = 0,





 u(x, 0) = 0,
0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0


ut (x, 0) = x(1 − x),




u(0, t) = 0 = u(1, t),
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ x ≤ 1,
t ≥ 0.
7.- Calcula u( 41 , 32 ) se u é a solução do problema de ondas

utt (x, t) − uxx (x, t) = 3x2 − 2x3 ,





 u(x, 0) = 0,
0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0


ut (x, 0) = x(1 − x),




ux (0, t) = 0 = ux (1, t),
0 ≤ x ≤ 1,
t ≥ 0.
8.- Encontrar a solução do problema de ondas

u (x, t) − uxx (x, t) = sin(πx),

 tt



 u(x, 0) = 0,


ut (x, 0) = 0,




ux (0, t) = 0 = ux (1, t),
9.- Obter a solução do problema do calor

ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,



u(0, t) = 0, u(π, t) = 0,



u(x, 0) = f (x),
onde
(
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0
0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ x ≤ 1,
t ≥ 0.
0 < x < π, t > 0,
t ≥ 0,
0 ≤ x ≤ π,
x,
x ∈ [0, π/2],
π−x
x ∈ [π/2, π]
f (x) =
10.- Resolver a equação do calor ut = 12uxx em 0 < x < π, t > 0, com as siguintes
condições
(
ux (0, t) = 0 = u(π, t),
t ≥ 0,
u(x, 0) = 1 + sin4 x,
0 ≤ x ≤ π.
Calcular lı́mt→∞ u(x, t) para todo 0 < x < π e dar uma interpretação fisica do resultado.
11.- Encontrar uma função armónica no disco D = {x2 +y 2 < 4} e tal que u(2 cos θ, 2 sin θ) =
3 sin(2θ) + 1. Encontrar o máximo valor de u em D e o valor de u no origem.
12.- Encontrar la função armónica no cı́rculo D = {r < a} com condição na fronteira
u = sin3 (θ) na circunferencia r = a.
13.- Uma função V : [0, L] → R chama-se temperatura de equilibrio quando
lı́m (u(x, t) − V (x)) = 0,
t→∞
Provar que a solução do problema
( 00
V (x) = 0
∀x ∈ [0, L].
0 < x < L,
V (0) = α, V (L) = β, t ≥ 0,
é uma temperatura de equilibrio para o problema

ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
0 < x < L, t > 0,



u(0, t) = α, u(L, t) = β,
t ≥ 0,



u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ L,
para qualquer f ∈ C 2 ([0, L]) com f (0) = α, f (L) = β.
14.- Dadas g ∈ C([0, L]) e f ∈ C 2 ([0, L]) com f (0) = α, f (L) = β, provar que para o
problema

ut (x, t) − uxx (x, t) = g(x),
0 < x < L, t > 0,



u(0, t) = α, u(L, t) = β,
t ≥ 0,



u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ L,
a solução do problema
(
−V 00 (x) = g(x),
0 < x < L, t > 0,
V (0) = α, V (L) = β,
é uma temperatura de equilibrio.
15.- Dadas g ∈ C([0, L]) e f ∈ C 2 ([0, L]) com f 0 (0) = α, f 0 (L) = β, provar que, em geral,
o problema

ut (x, t) − uxx (x, t) = g(x),
0 < x < L, t > 0,



u(0, t) = α, u(L, t) = β,
t ≥ 0,



u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ L,
não tem solução de equilibrio. Dar uma condição sobre os parámetros α, β, g, L para que
exista uma solução de equilibrio.
16.- Um fio tem longitude L = 1 e a sua temperatura safisface a equação do calor. Seu
extremo esquerdo fica sempre com temperatura igual a zero, enquanto o extremo dereito
fica a temperatura sempre igual a um. Inicialmente (t = 0) a temperatura inicial é
5x
,
0 < x < 23
2
φ(x) =
2
3 − 2x,
< x < 1.
3
Calcular a solução. Ajuda: Encontrar uma solução estacionaria V (x) (que não dependa de
t, só de x) da equação com as mesmas condições na fronteira. Depois resolver a equação
do calor com dado inicial u(x, 0) = φ(x) − V (x).
17.- Obter a solução do problema

ut (x, t) − uxx (x, t) = 1,



u(0, t) = 0, u(π, t) = 0,



u(x, 0) = sin(x),
18.- Considerar o problema

ut − uxx − hu = 0,



u(0, t) = 0 = u(π, t),



u(x, 0) = x(π − x),
0 < x < π, t > 0,
t ≥ 0,
0 ≤ x ≤ π.
0 < x < π,
t > 0,
t ≥ 0,
0 ≤ x ≤ π.
1. Resolver o problema utilizando o método de separação de variaveis.
2. Existe lı́mt→∞ u(x, t) para todo 0 < x < π ? Ajuda: separa os casos h < 1, h = 1 e
h > 1.