Álgebra Linear
Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território
1o¯ ano/1o¯ Semestre — 2010/2011
5a Lista para auto-avaliação - resoluções e soluções
Resoluções:
Exercı́cio 5 :
As coordenadas dos pontos dados têm de ser solução de y = ax2 + bx +
c.
 Substituindo obtemos o sistema de equações lineares nas incógnitas a, b, c
 a+b+c=6
a−b+c=0

4a + 2b + c = 12
Para resolver o sistema reduzimos à forma condensada a matriz aumentada
do sistema:






1 1 1 6
1 1
1
1 1
1
6
6
1 −1 1 0  −→ 0 −2 0 −6  −→ 0 −2 0 −6 −→
4 2 1 12
0 −2 −3 −12
0 0 −3 −6






1 1 1 6
1 1 0 4
1 0 0 1
−→ 0 1 0 3 −→ 0 1 0 3 −→ 0 1 0 3 .
0 0 1 2
0 0 1 2
0 0 1 2
Logo o sistema tem uma única solução (a, b, c) = (1, 3, 2) e portanto há uma e
uma só parábola que passa pelos pontos dados: a parábola definida pela equação
y = x2 + 3x + 2.


1 0 8 −5 6
Exercı́cio 8: A matriz 0 1 4 −9 3 está em forma de escada e a caracte0 0 2 2 4
rı́stica da matriz simples do sistema, que é 3, é igual à caracterı́stica da matriz
aumentada, pelo que o sistema é possı́vel. Dado que o sistema tem 4 incógnitas,
temos que o grau de indeterminação (ou seja o número de variáveis livres) é 1.
Para resolver o sistema vamos reduzir a matriz à forma condensada:






1 0 8 −5 6 −→ 1 0 8 −5 6
1
0
8
−5
6
−→
0 1 4 −9 3 1 L3 0 1 4 −9 3 L2 − 4L3 0 1 0 −13 −5 −→
2
0 0 2 2 4
0 0 1 1 2
0 0 1 1
2
AL 2010/2011
2


1 0 0 −13 −10
L1 − 8L3 0 1 0 −13 −5 
2
0 0 1 1
−→

 x1 = 13x4 − 10
x2 = 13x4 − 5 e portanto o
Então o sistema de equações é equivalente a

x3 = −x4 + 2
conjunto de soluções do sistema é {(13t − 10, 13t − 5, t + 2, t) : t ∈ R}.
[ Observação: Também se podia responder de uma das seguintes formas:
1) A solução geral do sistema é (13t − 10, 13t − 5, t + 2, t) com t a variar em R;
ou
2) A solução geral do sistema é (−10, −5, 2, 0) + t(13, 13, 1, 1) com t a variar em R;
ou
3) O conjunto das soluções do sistema é (−10, −5, 2, 0) + {t(13, 13, 1, 1) : t ∈ R};
ou


 
−10
13
 −5 
13

 
4) Em representação matricial a solução geral do sistema é 
 2  + t  1  com t
0
1
a variar em R.
Soluções :
1
6. O preço recebido foi de (9 + ) dou por cada medida de boa colheita, de
4
1
1
(4 + ) dou por cada medida de colheita medı́ocre e de (3 − ) dou por cada
4
4
medida de má colheita. [ Observação: Resolver o problema é determinar a solução
do sistema de equações lineares nas incógnitas x, y, z

 3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34 ]

x + 2y + 3z = 26
7. O conjunto das soluções do sistema é (w − 1, 2z, z, w) : z, w ∈ R}.
10. O sistema é possı́vel e o grau de indeterminação é 3.
11. 1. Falsa (o sistema pode ser impossı́vel). 2. Falsa.
4. Verdadeira. 5. Verdadeira. 6.Falsa.
3. Verdadeira.
12. 1. Verdade 2. Falso 3. Verdade. 4. Falso. 5. Verdade.
6. Verdade 7. Verdade. 8. Falso. 9. Falso. 10. Verdade.
AL 2010/2011
3
13.

1
−

A−1 =  12
6

−1


D−1 =  0

0

1
2
1
6
0
1
2
0
B não é invertı́vel.
0


0
.
1
5
C −1

1
−1

2

1

= 0
2
1
1
−
3
6

0

0

1
3