3a Lista de Álgebra I
1. Sejam a e b inteiros tais que mdc(a, b) = p, p primo. Calcule mdc(a2 , b) e
mdc(a2 , b2 ).
2. Determine a maior potência de 14 que divide 100!.
3. Decida se 1009 é primo.
4. Determine todos os primos que dividem 50!.
5. Mostre que todo inteiro da forma 3n + 2 possui um fator primo dessa forma.
6. Demonstre que existem infinitos primos da forma 4n + 3, n ∈ N.
7. Mostre as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas:
a) ∀n ∈ Z, se 27|(3.599 .n) então 27|n.
b) ∀n ∈ Z, se 12|(3.599 .n) então 4|n.
c) Se a e b são inteiros tais que existem λ e µ ∈ Z tais que aλ + bµ = 3 então
mdc(a, b) = 1 ou 3.
8. Determine se as equações diofantinas possuem soluções:
a) 31x + 7y = 2
b) 7x + 19y = 1921
c) 91x + 221y = 1079
d) 31x + 7y = t,
t∈Z
e) 7293x + 364y = 4732
9. Determinar todas as soluções das equações Diofantinas do exercı́cio acima e determinar todas as soluções x0 e y0 das equações tais que x0 ≥ 0 e y0 ≥ 0.
10. Mostre que o único primo da forma n3 − 1 é o 7, n ∈ N.
11. Seja k um inteiro primo. Provar que a equação x4 + 4y 4 = k tem solução inteira
se e somente se k = 5. Nesse caso, determine as suas soluções.
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