TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.5. Equações de Diferenças com
Coeficientes Constantes
Importante classe dos sistemas LTI.
Podem ser representadas como:
N
a
k 0
M
k
. y[ n  k ] 
b
m
. x[ n  m ]
m 0
1
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Exemplos:
n
1) Acumulador:
y[ n ] 
 x[ k ]
k  
n 1
Sabendo que:
y [ n  1] 
 x[ k ]
k  
n 1
Podemos escrever:
y [ n ]  x[ n ] 
 x[ k ]
k  
Logo:
y [ n ]  x [ n ]  y [ n  1]
Que é a EDCC:
y [ n ]  y [ n  1]  x [ n ]
2
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Podemos representar pela forma recursiva:
y [ n ]  x [ n ]  y [ n  1]
E pelo diagrama de blocos:
x[n]
y[n]
+
Atraso de
1 amostra
y[n-1]
3
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2) Média Móvel:
Considerando M1=0 p/ ser um sistema causal, temos:
1
y[ n ] 
M2
x[n]
1/(M2+1)
M2
x[ n  k ]

1
k 0
x[n-1]
x[n-2]
x[n-3]
x[n-M2]
Atraso de
Atraso de Atraso de Atraso de
1 amostra
1 amostra 1 amostra 1 amostra
+
y[n]
FIR
4
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Resposta ao impulso:
1
h[ n ] 
M2
Ou:
M2
 [n  k ] 

1
k 0
h[ n ] 
1
M 2 1
1
M 2 1
. [ n ]   [ n  M 2  1]  * u [ n ]
Cascata de 2 sistemas:
x[n]
.u [ n ]  u [ n  M 2  1] 
h1[n]
y[n]
+
1/(M2+1)
h2[n]
+
+
Atraso de
M2+1 amostras
Atraso de
1 amostra
Implementação recursiva
5
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Conclusão:
Um mesmo sistema pode ser representado (implementado)
de várias formas diferentes!
Cálculo recursivo das EDCC:
N
a
M
k
. y[ n  k ] 
k 0
b
k
. x[ n  k ]
k 0
N
a 0 . y[ n ] 
a
M
k
. y[ n  k ] 
k 1
b
k 0
k
. x[ n  k ]
k 0
M
a 0 . y[ n ] 
b
N
k
. x[ n  k ]   a k . y [ n  k ]
k 1
6
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Logo:
M
y[ n ] 

k 0
bk
a0
N
. x[ n  k ] 

k 1
ak
. y[ n  k ]
a0
•P/ determinarmos completamente a saída y[n] p/
um sinal x[n] qualquer necessitamos de informações
adicionais
•Se essas informações auxiliares for na forma de uma
sequência de N valores de saída, podemos rearranjar a
EDCC para recorrência p/ passado ou p/ futuro.
•Linearidade, Invariância no Tempo e Causalidade,
dependem das informações auxiliares.
Se o sistema estiver inicialmente em repouso, então
o mesmo será Linear, Causal e Invariante no Tempo.
7
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.6. Representação no Domínio
Frequência
Autofunção para Sistemas LTI
Autofunção de um sistema: A função de entrada é a mesma
função de saída multiplicada por uma constante.
P/ saída de um sistema LTI c/ resposta ao impulso h[n]

y[ n ] 
 h[ k ] x[ n  k ]
k  
Considerando a exponencial complexa: x[ n ]  e
j n
8
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Temos:

y[ n ] 

h [ k ]. e
j ( n  k )
k  
y[ n ]  e
j n


h [ k ]. e
 j k
k  

Definindo:
H ( ) 

h [ k ]. e
 j k
k  
Temos:
y [ n ]  H (  ). e
j n
Logo: a exponencial complexa é uma autofunção do sistema
e H() seu autovalor correspondente.
H() é chamada de Resposta em Frequência do Sistema
9
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
y [ n ]  x[ n  n d ]
Ex.: Sistema de atraso ideal
•Aplicando a exponencial complexa na entrada: x[ n ]  e j n
Temos:
y[ n ]  e
j ( n  n d )
e
 j n d
.e
j n
Cte complexa
Logo:
H ( )  e
 j n d
•Partindo da resposta ao impulso do sistema: h[ n ]   ( n  n d )

Pela definição:
H ( ) 

h [ k ]. e
 j k
k  

Obtemos: H (  ) 
  [ n  n d ]. e
 j n
e
 j n d
n  
10
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Observação importante:
A resposta em frequência de um sistema discreto LTI
é sempre uma função periódica em  com período 2.

H ( ) 
 h[ k ]. e
 j k
k  

H (   2 ) 

h [ k ]. e
 j (   2 ) k
k  

H (   2 ) 

h [ k ]. e
 j k
.e
 j 2k
k  
H (   2  .r )  H (  )
p/  r
11
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Logo necessitamos representar H() apenas em um
Intervalo de 2.
•Baixas frequências:  próximo de 2k
 (0, 2,4,...)
•Altas frequências:  próximo de (2k+1)  (,3,...)
12
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Filtros seletores ideais
Passa-Baixas:
Passa-Altas:
Rejeita-Faixa:
Passa-Faixa:
13
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.: Média Móvel
1

,

h[ n ]   M 1  M 2  1
 0 , outros


0.35
0.3
2
0.2
h[n]
 M1  n  M
0.25
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-8

H ( ) 
Media Movel
0.4
h [ n ]. e
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
 j n
n  
Logo:
H ( ) 
M
1
2

e
 j n
M 1  M 2  1 n M1
N2
Somatório da PG:

k  N1
 
k

N1

1
N 2 1
N 2  N1
14
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
H ( ) 
H ( ) 
1
M1  M 2 1
1
M1  M 2 1
H ( ) 
Euler:

M1  M 2 1
sin(  ) 
e

j ( M 1  M 2 1) / 2
e
e
jθ
2j
Logo:
H ( ) 
1
M1  M 2 1
e
1 e
e

e
 j  ( M 2  1)
1 e
j  ( M 1  M 2  1) / 2
e
1

e
j M 1
j / 2
 j
 j  ( M 1  M 2  1) / 2
e
 j
e
 j ( M 1  M 2 1) / 2
e
 j / 2
 jθ
cos (  ) 
e
jθ
 j  ( M 2  M 1  1) / 2
e
e
 j ( M 2  M 1 ) / 2
 jθ
2
sin ( M 1  M 2  1)  / 2 
sin  / 2 
e
 j ( M 2  M 1 ) / 2
Em notação polar: H (  )  A.e j
15
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
P/ M1=0 e M2=4 temos:
Filtro Passa-Baixas FIR c/ fase linear
16
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Vamos nos desviar um pouco do livro e seguir por outro caminho....
2.6.a. Série de Fourier
Contínuo: Todo sinal periódico com período T pode ser
Representado como uma soma de senos e cossenos
(exponenciais complexas) harmonicamente relacionados.

F
f T (t ) 
k
.e
jk  0 t
0 
k  
Fk 
1
T

t0 T
f ( t ). e
 jk  0 t
2
T
.dt
t0
17
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Discreto:
x[ n ]  x[ n  N ]
e
jk  0 n
0 
2
Sinal discreto periódico
Exponencial complexa discreta
Frequência fundamental
N
Sabemos que em um período definido N, existem
apenas N exponenciais complexas distintas.
18
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Logo: É possível representar um sinal x[n] periódico em N
através da soma de N exponenciais complexas
k 0  N 1
a
x[ n ] 
k
.e
jk  0 n

0

2
N
k  k0
k  N
ak : Coeficientes da Série de Fourier
ak 
1
N
.
 x[ n ]. e
 jk  0 n
n N
Série de Fourier é Periódica em N, com apenas
N coeficientes distintos: a  a
k
kN
19
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Convergência da Série de Fourier
Contínuo: Caso fT(t) tenha descontinuidades e truncarmos
Os coeficientes Fk em k=ko finito aparecerá o
Fenômeno de Gibbs.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
20
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Discreto: Mesmo que x[n] tenha descontinuidades, devido
à Série ter um número finito de termos ela sempre converge.
1.5
1
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
21
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.7. A Transformada de Fourier
para Sinais Discretos
Seja o sinal x[n] não-periódico
~
e x[n]
seu sinal periódico associado com período N
4
x[n]
x[n]
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-N1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5
6
7
8
9
10
11
12
N1
xp[n]
xp[n]
4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-N
-4
-3
-2
-1
0
1
N
22
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Podemos representar ~x[n] através da Série de Fourier:
~
x [n] 

jk
a k .e
2
N
n
1
ak 
N
k N
Como:

p / N1  n  N1
x[ n ]  0
p / | n | N 1
ak 
1
N
N1
 x[ n ]. e
N .a k 
 jk
2
n
N
n   N1

ou então:
n
N
n N
x[ n ]  ~
x [n]
Podemos escrever:
~
x [ n ]. e
2
 jk
 x [ n ]. e
 jk
2
n
N
n  
23
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Encontrando a envoltória de N.ak :
2
Discreto  Contínuo
k
N
 k . 0  

Obtemos:
X ( ) 
 x[ n ]. e
 j n
n  
Transformada de Fourier do Sinal Discreto x[n]
Logo:
ak 
1
N
. X (k 0 )
0 
2
N
Os coeficientes da Série de Fourier do sinal ~x[n]
podem ser vistos como amostragem da Transformada
de Fourier em k.0 do sinal x[n].
24
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
~
Substituindo ak em x[n]

~
x [n] 
a k .e
jk  0 n
~
x [n] 
k N
Como:
1

N
1
~
x [n] 
2

k N
1
N
X (k 0 )e
jk  0 n
0
2

 0 . X ( k  0 ). e
jk  0 n
k N
~
P/ termos sinal x[n] não-periódico: x [ n ]  lim x [ n ]
N 
k 0  
 0  d



25
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Teremos:
x[ n ] 
1
2

2
X (  ). e
1
Determinação de 1 e 2
k 1  N 1  k 1 . 0  N 1 .

N1
2
N
k 2  N 1  N  1  k 2 . 0   N 1  N  1  
k 1 . 0   1  lim N 1 .
N 
k 2 . 0   2  lim
N 
N1  N
.d 
N 1  N 1
Somatório em um período N:
Se N
j n
 1
2
N
2
N
2
N
 lim N 1
N 
2
N
 lim ( N  1)
N 
2
N
 2   1  2
26
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Logo:
x[ n ] 
1
2

 1  2
X (  ). e
1
j n
.d 
Assim temos o par de Transformada de Fourier
e Transformada Inversa de Fourier p/ Sinais Discretos - DTFT
X (  )  F  x [ n ] 


x [ n ].e
 j n
n  
x[ n ]  F
- 1
 X (  ) 
1
2

X (  ).e
j n
.d 
2
27
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Exercício: Demonstrar que F
- 1
 F  x[ n ]  x[ n ]
Condição p/ existência da Transformada de Fourier:
O sinal x[n] deve ser absolutamente somável

X (  ) existe
se

x[ n ]  
n  
Condição Suficiente
28
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Como vimos em um sistema LTI:

H ( ) 

h [ n ]. e
 j n
n  
Resposta em frequência
Do Sistema LTI
Logo:
h[ n ] 
1
2

H (  ). e
j n
.d 
2
A reposta em frequência de um sistema LTI é
a Transformada de Fourier da sua resposta ao impulso.
P/ existir H() é necessário que h[n] seja absolutamente
somável, logo, qualquer sistema LTI estável possui
resposta em frequência contínua e finita.
29
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Como sistemas FIR possuem h[n] absolutamente somável,
portanto existe a H(), sendo sistemas estáveis.
Ex.: x[ n ]  a .u [ n ]
n

X ( ) 

n
a u [ n ]. e
 j n
n  

X ( ) 
a
n
e
 j n
n0
Lembrando PG:
S n  a0


 a .e

 j n
n0
1
n
1
30
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
No caso:
Logo:
Se:
a0  1
X ( )  1.
a 1
a 1
  a .e

1  a .e
n

 j 
1  a .e
X ( ) 
 j
 j
1
1  a .e
 j
Não Existe X()
31
TE 072 - Processamento
Digital de Sinais I - UFPR
1
X ( ) 
x[ n ]  ( 0 . 9 ) u [ n ]
n
1  0 .9 e
 j
12
1
10
0.8
Fx[n]
x[n]=(0.9)n.u[n]
8
0.6
6
0.4
4
0.2
2
0
-0.2
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0
-5
X ( ) 
x[ n ]  (  0 . 9 ) u [ n ]
n
1
10
0.8
9
0.6
8
0.4
7
0.2
6
0
5
-0.2
4
-0.4
3
-0.6
2
-0.8
1
-1
-10
-5
0
5
10
15
0
0
20
25
30
0
-5
n
h[ n ]  a u [ n ]
Se fosse:
O sistema será estável p/
e instável p/

5
pi
2*pi
2
10
15
1
1  0 .9 e
0
0

 j
5
2
10
15
a 1
a 1
32
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.2: Passa-Baixas ideal
1,    c
H lp (  )  
0,  c    
h[ n ] 
Resposta ao impulso:
hlp [ n ] 
h lp [ n ] 
1
2
2
c
e
j n
d 
c

1 e
n
1
j c n
e
2j

j n
.d 
2
1
2 jn
 j c n
H (  ). e
e 
j n  c
c
  sin ( 
c
n)
n
33
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
0.1
0.08
hlp [ n ] 
sin(  c n )
 n
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Sistema não-causal: h[n]0 p/ n<0
34
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.: Transformada de Fourier de uma constante
x[ n ]  1
Não é absolutamente somável.
Logo X() não converge.
Exercício demonstrar que se:

X ( ) 
 2 (   2 r )
r  
Onde  é a função impulso de Dirac.
 , p /   0
 ( )  
 0 , outros
Então podemos obter:

  ( )d  1
 ( ) * X ( )  X ( )

x[ n ]  F
- 1
 X (  )
35
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR

X ( ) 
x[n]=1
 2 (   2 r )
r  
2
1.8
1.6
1.4
2
2
2
2
2
2
x[n]=1
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-10
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-2
0
2
4
6
36
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.3: Dada a seguinte Transformada constituída
por trem de impulsos periódico

 2 (   
X ( ) 
0
 2 r )
r  
Substituindo na expressão da anti-transformada:
x[ n ] 
x[ n ] 
x[ n ] 
1
2
1
2
1
2

X (  ). e
j n
.d 
2



  r  
2 (    0  2 r ).e
j n
.d 
Supondo 0[-,+]

 2 (    0  2 0 ). e
j n
.d 

37
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR

x[ n ] 
  (  
0
). e
j n
.d 

x[ n ]  e
j 0 n
Exponencial complexa!
Se 0=0 se reduz ao sinal constante.
x[n] não é absolutamente somável, então
a X() não converge, isto é, não é finita p/ todo .
38
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Uma classe bastante importante de sinais pode ser
expressa como a soma de exponenciais complexas:
x[ n ] 
a
k
.e
j k n
k
Onde se utilizarmos apenas exponenciais complexas
Harmonicamente relacionadas: k=k.0
Retornamos à Série de Fourier.

~
x [n] 
a k .e
jk  0 n

0

2
N
k N
Logo:
X ( ) 

  2  .a
r   k
k
. (    k  2 .r )
Sinais Discretos Periódicos possuem
Transformada Contínua Periódica e formada por
trem de impulsos
39
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.8. Propriedades de Simetria da
Transformada de Fourier
Sinais Pares:
x[ n ]  x [  n ]
*
Sinais Ímpares: x[ n ]   x * [  n ]
Todo sinal pode ser representado como:
x[ n ]  x e [ n ]  x o [ n ]
Onde:
xe [n ] 
xo [n ] 
1
2
1
2
x[ n ]  x
*
[ n]

x[ n ]  x
*
[ n]

40
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
41
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
2.9. Teoremas da Transformada
de Fourier
Notação:
X (  )  F  x [ n ]
x[ n ]  F
- 1
 X (  )
F
x[ n ]  X (  )
42
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Linearidade:
Deslocamento
no Tempo:
e frequência:
Reversão no
Tempo:
Diferenciação
em frequência:
Teorema da
Convolução:
Modulação
ou Janelamento:
Convolução periódica
Densidade Espectral de Energia
43
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
44
TE 072 - Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Exercícios:
x[ n ]  a .u [ n  5 ]
n
1) Calcular X()
2) Calcular x[n]
X ( ) 
1
(1  a .e
 j
)( 1  b .e
 j
)
3) Calcular a resposta em frequência e
a resposta ao impulso do sistema LTI
y[ n ] 
1
2
y [ n  1]  x [ n ] 
1
x [ n  1]
4
45