Sistemas Lineares e Invariantes:
Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Prof. José Maurício Neto
mauricio@cear.ufpb.br
1
Definição de Sistemas
•
Um sistema pode ser definido como um processo que
realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma
Função de Transformação T{.}
Sistema no
Tempo Contínuo
Sistema no
Tempo Discreto
x(t)  y(t)
x[n]  y[n]
2
Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo
Contínuo
3
Sistemas Lineares de Tempo Contínuo
• Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou
seja, satisfaz as propriedades de:
 Aditividade
 Homogeneidade.
• O princípio de superposição é a base para o estudo
aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia:
Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem, etc.
4
Propriedade da Aditividade

y
(
t
)

T
x
(
t
)

1
1


y
(
t
)

y
(
t
)y
(
t
)

T
x
(
t
)

x
(
t
)



1
2
1
2

y
(
t
)

T
x
(
t
)

2
2

5
Propriedade da Homogeneidade
y
(
t
)

T
x
(
t
)

a
y
(
t
)

T
a
x
(
t
)




6
Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo
• Um sistema é invariante no tempo se para um
deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um
deslocamento no tempo na sinal de saída
yt
()T{()
xt }
0
0
y
(
t
t0)
T
{
x
(
t
t0)
}
Deslocamento
na entrada
Deslocamento
na saída
7
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo
são descritos utilizando equações diferenciais com
coeficientes constantes.
k
k
d
y
(
t) M d
x
(
t)
a

b


k
k
k
d
t
d
tk
k

0
k

0
N
• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante
pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância
no tempo em cada operação.
8
Exemplo – Sistema Mecânico
Equação Diferencial
x(t)
2

y 
y
m2
b 
ku
(
t)

t

t
y(t)
1
0
0
tempo (s)
x(t-t0)
tempo (s)
y(t-t0)
1
0
0
tempo (s)
tempo (s)
É um sistema Invariante no tempo
9
O sistema mecânico é Linear?
2

y 
y
m2
b 
ku
(
t)

t

t
Aditividade
Homogeneidade
2y1 y1
m 2 b kx1()
t
t
t
2y2 y2
m 2 b kx2()
t
t
t

(
y

y
)
(
y

y
)
1
2
m 
b

2(
k

x
tx
)

(
t
)
1
2

t

t
2
12
2
 2y 
y 
am

b
ka
xt
()

2
t

t 
 
2(a
y) 
(a
y)
m 2 b
a
ka
xt
()

t

t
2

()
a
y 
()
a
y
m2 
b 
a
ka
x
(
t
)

t

t
É um sistema Não Linear
10
Exemplo - Circuito Elétrico
Linear Invariante
no Tempo
d
it
()
2

3
it
()
v
()
t
d
t
Não Linear
Não Linear
Variante no Tempo
d
it
() 2
d
it
()
d
it
()
2 
3(
i t)
v
(
t) 2
3
t it
()
v
(
t)

3
it
()
4v
(
t) 2 
d
t
d
t
d
t
11
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui
a base para a análise de sistemas, tais como:
 A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma
ponderada de impulsos, é a base para o método de
convolução.
 A representação de um sinal x(t) como uma combinação
linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier.
 A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada
de exponenciais complexas é a base para as transformadas de
Fourier e de Laplace.
12
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo
podem ser analisados através de equações diferenciais.
• Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas
usando superposição mesmo tendo condições iniciais
diferentes de zero.
• A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem
do sistema, a formulação das equações diferenciais e a
avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa.
13
Características de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A representação de um sinal x[n] como uma soma
ponderada de impulsos deslocados, é a base para o
método de convolução discreta.
• A representação de um sinal x[n] como uma combinação
linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base
da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a
transformada z.
14
Sistemas Lineares e
Invariantes de Tempo Discreto
15
Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e
implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e
que a equação do sistema envolva apenas operadores
lineares.
• Pode–se utilizar a superposição para um sistema com
condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear.
– Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo
entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas
adicionais.
16
Sistemas Lineares de Tempo Discreto
• Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida
a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido
apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero
(devido apenas à entrada).
• Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas
lineares na presença de condições iniciais distintas de zero.
Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero
obedecem à superposição.
17
Sistemas Invariante de Tempo Discreto
• Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da
resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada
x[n] e não do instante de tempo que é aplicada.
1
10
y
[n
]sin
(.
ax
[n
])
8
6
0.5
0
4
-0.5
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
n
8
9
10
11
12
13
14
15
8
9
10
11
12
13
14
15
n
10
1
8
0.5
6
0
4
-0.5
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n
Deslocamento
na entrada duas
unidades de
tempo
9
10
11
12
13
14
15
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
n
Deslocamento
na saída duas
unidades de
tempo
18
Causalidade de um Sistema LIT
• A saída de um sistema causal somente depende dos valores
atuais e passados da entrada .
• Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve
depender de x[k], para k>n:

y
[]
n
x
[][
kh
nk
]

k



então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para
k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0
19
Causalidade de um Sistema LIT
• Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0:
n
y
[]
n
x
[][
kh
nk
]

k



• Ou de forma equivalente:

y
[]
n
h
[][
kxnk
]

k

0
20
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo
discreto, deve-se considerar que:
 Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída
trazem como consequência a não linearidade do sistema.
 Um termo constante também torna não linear o sistema.
 Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções
explícitas de “n” tornam o sistema variante no tempo.
 As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar,
por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no
tempo.
21
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos
de uma somatória de impulsos unitários escalados e
deslocados no tempo.
22
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
x[n]= …+
7[n+2] +
5[n+1]
+ 3[n] + 5[n1] +...
x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +...

x
[]
n
x
[][
kn

k
]
k


23
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
• A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a
um impulso localizado no instante k
[n-k]
T{ }
hk[n]
hknT
nk
• Sendo o sistema invariante no tempo:







h
n

T

n

k

h
n

k
k
24
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma
somatória de impulsos
x[n]



x
n
x
kn
k
k

T{ }
y[n]





y
n
T
x
k
n

k

k








n

y
n
x
kT

k
k






y
n
x
kh
n

k
k


25
Representação de Sistemas Lineares e
Invariantes
Somatoria da Convolução




k



k



y
n

x
k
h
n

k

h
k
x
n

k












y
nx

n

h
nh

[
n
]
*
x
[
n
]






Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a
resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da
Convolução.
26
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