O Romance das
Equações
Algébricas
Gabriela
Luciana
Marcello
Samuel
Gilberto Geraldo Garbi
•
•
•
•
De Taquaritinga SP
Engenheiro
eletrônico pelo ITA
Empresário
Autor de
“A Rainha das Ciências”.
$ $
(1944 - )
“Estou convicto de que a Matemática pode e
ser deve ser ensinada de forma espontânea,
leve, humana e, em alguns casos, até mesmo
alegre, para que se torne fonte de prazer
intelectual e conquiste um número cada vez
maior de adeptos.”
G.G.Garbi
Equações:
- Equacionar
- Igual e igualdade
Equações algébricas são aquelas em que a
incógnita aparece apenas submetida às
chamadas operações algébricas como: soma,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação
inteira e radiciação.
Euclides
•
•
•
•
•
•
(ca. 300 a.C.)
a) Coisas iguais a uma terceira são iguais
entre si.
b) Se iguais forem somados a iguais, os
resultados serão iguais.
c) Se iguais forem subtraídos de iguais, os
resultados serão iguais.*
d) Coisas coincidentes são iguais entre si.
e) O todo é maior do que a parte.
f) Iguais multiplicados ou divididos por
iguais continuam iguais.*
Equações do 1º grau
Pela noção c)
Pela verdade f)
Equações do 2º grau
•
Shidhara(991)
•
Bhaskara (1.114 -1.185)
ou
Pergunta: Como extrair a raiz quadrada de
, se este binômio não é um quadrado perfeito?
A solução estava em somar aos dois lados da
igualdade alguma coisa que tornasse o lado
esquerdo um quadrado perfeito.
A quantidade a ser somada é
Usando novamente a noção de Euclides e
organizando os termos temos o quadrado
perfeito.
Basta apenas extrair as raízes, mas…
O que os babilônio não perceberam é que a
extração de raízes quadradas geram sempre
duas alternativas, uma com sinal + e outra com
sinal –
Logo
Equações do 3º grau
Niccolò Fontana ”Tartaglia”
(1501-1576)
(1499-1557)
Girolamo Cardano
Cardano
Nascido em Pavia em 1501 e falecido em
Roma em 1576 e escreveu a Ars Magna.
Definiu-se como desbocado, espião,
melancólico, traidor, invejoso, solitário,
obsceno, desonesto, vicioso e portador de
total desprezo pela região.
-Tartaglia, nascido em Bréscia, em
1501.
Desde a infância teve a vida marcada pelo
infortúnio, pelas lutas, pelas asperezas e por
toda a sorte de dificuldades.
Demonstrou desde cedo grande amor pelos
estudos e infinita vontade de aprender.
Foi professor de ciência em Verona.
Scipione del Ferro, encontrou uma forma
geral de resolver as equações do tipo
Mas Tartaglia além de resolver as tipo citado
acima, também achou a fórmula geral para
as do tipo
Equações do 3º grau
•
Ludovico Ferrari
Capítulo XI
François Viète
recorre à trigonometria
sin A
•
sin B = 2sen
A B
A− B
cos
2
2
Em In artem analytivam isagoge
inova no simbolismo algébrico:
B3 in A quad – D plano in A + A cubo aequator Z solido
(vulgo: 3BA² – DA + A³ = Z)
•
usa vogais para as incógnitas e
consoantes para as constantes.
•
Nas equações de 3º grau fazia
substituições trigonométricas, ex.:
• x = k cos θ
•
daí não enfrentava as famigeradas
raízes negativas.
Capítulo XII
Descartes e Fermat
inventam a geometria analítica
Um pouco de Diofanto
•
Regra de sinais:
–
Na pág. 65 justifica:
•
•
(ca. 250 d.C.)
+
X
– = –
–
X
– = +
Álgebra retórica:
–
Em um terreiro existem cabras e galinhas, sendo 32 cabeças e 88
patas. Quantos animais de cada tipo existem em tal terreiro?
Pierre de Fermat
•
•
•
•
Jurista por formação;
Magistrado por
profissão;
Matemático por gosto.
Trocava cartas com:
–
Pascal,
–
Descartes,
–
Wallis,
–
Roberval,
–
Huygens et al.
(ca. 250 d.C.)
Citação no livro de Diofanto
•
É impossível decompor um cubo em dois
cubos, um biquadrado em dois
biquadrados e, de um modo geral,
qualquer potência acima de dois na soma
de duas potências de igual expoente.
Para isso eu descobri uma demonstração
verdadeiramente maravilhosa, mas a
margem é pequena para contê-la.
A geometria analítica
•
•
Associou equações a linhas geométricas;
Métodos para:
–
–
•
•
traçar retas tangentes curvas e
determinar métodos de máx. e mín.
Não divulgou seu trabalho;
Suas ideias foram expostas no livro de
publicação póstuma:
Ad locos planos et solidos isagogue
René Descartes
(1596-1650)
Discours de la méthode
pour bien conduire sa
raison, et chercher la
vérité dans les sciences
•
•
Je pense donc je suis
Géométrie
•
Apenas um apêndice do Discurso.
•
Não tem nem os eixos cartesianos!
•
Mostrou que a álgebra podia ser aplicada
no estudo da geometria.
•
“oposto do que ocorrera na Antiguidade
Clássica”
Géométrie
•
As útimas letras (X,Y,Z) para represenar
icógnitas;
•
As primeiras letras (A,B,C...) para os
parâmetros;
Potência era escrita da forma X³, X4, X5...
– porém, X² era escrito como XX
Sinal de igualdade: ” α ” (só q ao contrário!)
•
•
•
Batizou as raízes negativas:
– “nem sempre as raízes verdadeiras [positivas]
ou falsas [negativas] de uma equação são
reais. Às vezes elas são imaginárias.”
Géométrie
•
Apenas um apêndice do Discurso.
•
Não tem nem os eixos cartesianos!
•
Mostrou que a álgebra podia ser aplicada
no estudo da geometria.
•
“oposto do que ocorrera na Antiguidade
Clássica”
Géométrie
•
Apenas um apêndice do Discurso.
•
Não tem nem os eixos cartesianos!
•
Mostrou que a álgebra podia ser aplicada
no estudo da geometria.
•
“oposto do que ocorrera na Antiguidade
Clássica”
Descartes, pessoa humilde
Jamais conheci alguém que me parecesse conhecer
tão bem a geometria como o senhor [Fermat]
ou não?
e eu espero que a posterioridade me seja
grata, não apenas pelas coisas que eu aqui
expliquei mas também por aquelas que omiti
voluntariamente, a fim de deixar-lhe o prazer
de inventá-las
Capítulo XIII
Newton entra em cena
Disse Deus: “faça-se Newton!” E tudo foi luz.
Sir Isaac Newton
(1642-1727)
•
•
•
•
•
•
Matemático;
físico;
astrônomo;
alquimista;
filósofo natural e
teólogo…
•
Obs.: não foi o autor do tal
“binômio de Newton”
Newton e a maçã
•
“Conforme Newton relatou em uma carta
escrita muitos anos depois, foi também
em 1666, após ver uma maçã
desprender-se de um ramo que ele
começou imaginar que a gravitação
estendia-se até a órbita da Lua e mais
além.”
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)
•
Diplomata;
•
Foi orientado em
matemática por
Christian Huygens
•
Trocou cartas de
ofensas com Newton
hehehe
Teoria das fluxões
•
•
•
•
•
Obra de 1687;
Sob a influência de
Edmond Halley;
Publicou após os
trabalhos de Leibniz;
Se apoiou no
trabalho de Fermat.
PS.: o autor defende muito
Newton!
Newton e as raízes
• Por aproximação;
• Método de Newton-Raphson;*
• Critérios para as raízes:
–
–
Regras de exclusão de Newton;
Cotas inferiores e superiores.
• * - não é um método algébrico
Capítulo XIV
Euler domina os
números complexos
Leonard Euler
(1707-1783)
•
Gentil, bem
humorado afável,
generoso...
•
Discípulo de
– Jean Bernoulli;
•
Publicou mais de
800 trabalhos!
Evolução na notação
•
•
1525:
1525:
•
•
•
•
•
•
2cub'p:5reb'aequalis 17
sit3Z + 5‫ּא‬aequatus 21
2
1572:
1590:
1637:
1693:
2009:
1
3U p 5U Equale á 21
3q + 5N aequatur 21
3ZZ + 5Z α 21
3XX + 5X = 21
3x²+5x=21
Símbolos de Euler
•
Somatória:∑ ¿
•
Função:
•
Combinação: m
n
f x
•
i =− 1
•
Pi: π
•
e
Números complexos
•
Trabalhou com as operações básicas:
–
–
–
•
•
Soma e subtração;
Produto e divião;
Potenciação e exponenciação;
Módulo;
Argumento;
n
cos t i sen t = cos nt isen nt
f t = cos t i sen t
n
f t = f nt
t n
nt
e =e
t
f t =e
n
f t = f nt
cos t i sen t= e
ti
e
•
πi
+1=0
“Lisez Euler, Lizer Euler, c'est notre maître à tous!”
•
- Laplace
Capítulo XV
Gauss demonstra o
Teorema Fundamental da Álgebra
Carlos Frederico Gauss
(1707-1783)
•
Prodígio desde criança
•
Matemática ou
filologia?
•
Construiu um polígono
regular de 17 lados aos
18 anos!
Teorema Fundamental da Álgebra
–
Toda equação polinomial de coeficientes
reais ou complexos tem, no campo
complexo, pelo menos uma raíz.
•
Sua tese de doutoramento;
•
D'Alembert já havia feito uma tentativa;
•
Gauss elaborou outras 3 três provas.
Gauss e o último teorema
“Confesso que o último teorema de Fermat, como
proposição isolada, tem muito pouco interesse para
mim, já que eu facilmente poderia fazer uma
multidão de tais proposições que ninguém poderia
provar ou utilizar.”
Capítulo XVI
Raízes estranhas


e


X=1 equivale a x³=1?
Observe que a segunda equação pode ser
escrita: x³-1=0 ou (x-1)(x²+x+1)=0
suas raízes são: x=1, x=(-1+√-3)/2 e
x=(-1- √-3)/2
Por que aparecem essas raízes estranhas?
Descoberta de Euler : diferentemente da
potenciação, a radiação não é unívoca (um
número tem n raízes enézimas). No retorno da
potenciação alguns caminhos não conduzem a
equação original. Estes correspondem as raízes
estranhas.
Efeito oposto: a perda de raízes.
Capítulo XVII
De volta às Equações do 3º Grau
Dada uma equação do 3º grau, com uma raiz
complexa do tipo (a+bi), assim (a-bi) também
será. A terceira é obrigatorimente real, chamamos
de c. Faremos (a+bi)+(a-bi)+c=0 (para que
inexista o termo do 2º grau).
Teremos 2a+c=0, logo c=-2a
Da forma x³+px+q=0 que tenha raízes complexas
pode ser escrita: (x-[a+bi])(x-[a-bi])(x+2a)=0
desenvolvendo teremos:
x³+x(b²-3a²)+2a(a²+b²)=0 , logo,
Δ= (-q/2)²+(p/3)³ ,desenvolvendo,
temos Δ= 81(a²)²b²+18a²(b²)²+(b³)²
27
isto é sempre positivo, exceto para a=b=0.
Portanto ficou provado que:
Equações do tipo x³+px+q=0, sendo:
Δ<0 as três raízes são reais e distintas
 Δ>0 uma raiz é real e duas são complexas
 Δ=0 as três raízes são reais mas pelo menos
duas delas são coincidentes

Capítulo XVIII
Modificando as raízes das
equações




É possível transformar uma equação polinomial
P(x)=0 (equação primitiva) em Q(y)=0 (equação
transformada) de modo que as raízes y
relacionem-se com as raízes de x através da
função y=φ(x) (função transformatriz). Quando
cada raiz da transformada for obtida pela
aplicação da função em cada uma das raízes da
primitiva, a transformação é dita de 1º espécie
ou de Viète.
Principais transformações de primeira espécie:
Aditiva
Multiplicativa
Simétrica
recíproca
Transformação aditiva- as raízes da nova equação
são as de uma equação original somadas de
uma quantidade h.
Ex: Seja x³+5x²+4x-8=0, queremos a
transformada de x somado ao 2.
Dividamos P(x) por x+2 (Por Ruffini-Horner) e
obtem-se x³+5x²+4x-8=(x+2)(x²+3x-2)-4* e
x²+3x-2 = (x+2)(x+1)-4 = (x+2)([x+2]-1)-4
Voltando a * e fazendo a substituição acima,
teremos: x³+5x²+4x-8=(x+2)³-(x+2)²-4(x+2)-4
Evidentemente a equação transformada será
y³-y²-4y-4=0.
Transformação multiplicativa- consiste em
encontrar uma equação cujas raízes sejam as de
uma original multiplicadas por um fator k. O
método consiste em substituir em f(x) a
incógnita x por y/k. Obtem-se a transformada
desejada.
Tranformação simétrica- quando k=-1, ou seja,
y=-x.
Ex: 3x³+2x²+x+1 e sua tranformada simétrica
-3x³+2x²-x+1.
Transformação recíproca- aquela em que y=1/x.
Capítulo XIX
As tragédias de Niels Abel e
Évariste Galois
Niels Henrik Abel
Nasceu em 5 de agosto de 1802, na
pequena cidade de Finnöy, Noruega,
filho e neto de pastores protestantes,
teve quatro irmãos e uma irmã.
Foi notado pelo então professor, que mais tarde
veio a se tornar grande amigo, Bernt Michael
Holmboe, na Escola Catedral.
Dos 17 aos19 anos desenvolveu pesquisas no
campo das equações e chegou a acreditar que
houvesse encontrado uma fórmula geral para as
do 5º grau.
Por volta de 1823, demontrou que, exceto em
casos particulares, de um modo geral, é
impossivel resolvê-las utilizando-se apenas
operações algébricas.
Má alimentação, desgaste intelectual e
infindável tensão emocional já eram sua rotina
desde vários anos. Quando em 1826, chegou a
Paris. Onde cintilava a maior constelação de
astros das ciências exatas do mundo.
Bouvard, Hachette, Poisson, Fourier,
Ampère, Lacroix, Cirichlet, Laplace,
Legendre e o mais ativo de todos,
Augustin-Louis Cauchy.
Cauchy era um gênio universal, o pai da
moderna teoria das funções de variável
complexa.
Legendre trabalhava em pesquisas sobre as
funções elípticas. Abel chegou estar com ele.
Em 30 de outubro de 1826, finalmente, Fourier,
secretário perpétuo da Academia, leu ao
plenário a introdução de um trabalho de Abel.
Para julgá-lo, Cauchy, presidente da Academia e
Legendre. O trabalho era tão profundo e
inovador que mesmo esses homens precisaram
esforçar-se bastante para compreendê-lo.
Cauchy deixou-o em sua gaveta para estudá-lo
quando tivesse tempo, fato que só ocorreu após
a morte de Abel.
Em 1828, Abel viu-se envolvido em uma
disputa de prioridade com um nascente
matemático alemão, Carl Gustav Jacob Jacobi,
para ver qual dos dois avançaria mais nas
profundezes das funções elípticas.
Apesar de vencer a batalha, as finanças e a
saúde de Abel continuavam a se deteriorar
rapidamente.
Em 06 de abril 1829, depois de dois dias do
falecimento de Abel por tuberculose, chegava a
carta de Berlim, do seu amigo Crelle,
informando a admissão para ocupar um cargo
de trabalho.
Porém Holmboe, seu professor, conseguiu
publicar as obras completas de Abel.
Évariste Galois
Nasceu dia 25 de outubro de 1811,
na cidade de Bourg-la-Reine, a 10 km
de Paris. Teve contato inicial com a
Matemática em 1825, aos 14 anos.
Em 1828, incidindo curiosamente no mesmo erro
de Abel, acreditou ter encontrado a solução geral
para as equações de grau 5. Em 1829, publicou
seu primeiro artigo: Demonstração de um teorema
sobre as frações contínuas periódocas. Em outubro
do mesmo ano foi admitido na École Normale
Supérieure. Da qual foi expulso, em janeiro de
1831, por ter publicado uma carta atacando diretor por ter
proibido que seus alunos de lutarem nos Três Gloriosos.
Entre 14 de julho de 1831 e 16 de março de 1832, período
em que esteve preso por problemas políticos, deu inicio a
um trabalho intitulado Duas Memórias de Análise Pura. Ao
cumprir parte da pena a que foi sentenciado em um Hospital, devido um surto de cólera, apaixona-se pela sobrinha
do médico. Acaba por duelar com um amigo pela moça
morrendo nesse combate.
Em setembro de 1832, o matemático Joseph Liouville,
publicou em seu jornal “Obras Matemáticas de Évariste
Galois.”
Capítulo XX
Soluções de Equações Especiais
Teorema
Se um número racional N/D, com N e D primos entre si, a
raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros P(x)=0,
então a é divisível por D e an é divisível por N.
0
Consequências
a)
b)
Toda equação polinomial de coeficientes inteiros cujo
coeficiente do termo de maior grau é 1, se possuir
raízes racionais, elas serão todas inteiras.
Uma equação polinomial de coeficientes inteiros, cujo
coeficiente do termo de maior grau for diferente de 1
depois de estarem todos os coeficientes divididos pelo
seu máximo divisor comum, não pode ter somente
raízes inteiras.
múltiplas).
 Toda equação recíproca de 2º espécie e grau
ímpar admite +1 como raiz (eventualmente
múltipla).
Capítulo XXI
Construções Geométricas com
régua e compasso
Cinco questões investigadas pelos gregos não
Encontaram resposta dentro do conjunto de conhe
-cimentos disponíveis na época. Tiveram que
aguardar a evolução da Teoria das Equações AlGébricas. Foram eles:
- Construção da aresta de um cubo cujo volume
seja o dobro do volume de outro (duplicação do
cubo).*
- Construção de um segmento de reta cujo
comprimento seja igual ao perímetro de uma
dada circunferência.(retificação da circunferência).
Construção de um quadrado de área igual à de
um dado círculo. (quadratura do círculo)*
- Divisão de um ângulo qualquer em três partes iguais
(trissecção do ângulo).*
- Contrução de polígonos regulares(divisão da circunferência em n partes iguais).
*Os Três Problemas Clássicos
As três primeiras contruções são sempre impossíveis se
apenas régua e compasso forem admitidos. A trissecção
só é exequível em alguns casos particulares
(45º,90º,180º,etc). E para a divisão da circunferência
em n partes iguais Gauss deu uma resposta: só é possível
se n é da forma: dois elevado a s vezes p1 elevado a r1
vezes p2 elevado a r2... onde s é inteira não negativo, p1,
p2... são primos da forma (2ª )²+1 e r1,r2,... são, cada
um deles, zero ou um. Resta dúvida, não se sabem se para
a>4 existem ou não primos dessa forma.
-
Foi possível aplicar a Teoria das Equações àqueles mistérios da Geometria, pois no caso das retas
e das circunferências as respectivas equações são
Algébricas.
Pierre Laurent Wantzel (1814-1848)
Um elemento geométrico é construtível com régua
e compasso quando e apenas quando os números
que o definem derivam dos dados do problema
através de uma quantidade finita de operações de
soma, subtração, multiplicação, divisão e extração
de raízes quadradas.
Pierre era linguista e engenheiro da École Polytechnique.
Pouco conhecido nos dias de hoje, mas sua obra representa um marco na história da Ciência.
- Trissecção do ângulo e duplicação do cubo, demonstrou:
“A condição necessária e suficiente para que as três raízes
de uma mesma equação do terceiro grau. De coeficientes
racionais, sejam construtíveis por régua e compasso é que
uma delas seja racional.”
Construção do polígono de 17 lados
xª-1=0, denominada Equação Ciclotômica, foi
intensamente estudada no final do século XVIII e
início de XIX, principalmente por Gauss.
“ O dia foi 29 de março de 1796 e o acaso não teve qualquer
participação. Antes disto, em verdade, durante o inverno de
1796 (meu primeiro semestre em Göttigen), eu já havia des –
coberto tudo relativamente à separação das raízes da equação
(xª-1)/(x-1)=0 em dois grupos. Após intensas considerações
sobre o relacionamento de todas as raízes umas com as outras,
em bases Aritméticas, eu consegui, durante um feriado em
Braunschuweig, na manhã do mencionado dia (antes de sair da
cama), vialumbrar aquelas relações da forma mais clara, de
modo que pude imediatamente aplicá-las ao caso dos 17 lados
e as verificações numéricas.”
Gauss, apesar de modesto, sabia a importância de sua façanha
e manisfestou o desejo de após sua morte, ter sobre seu túmulo
o desenho de um polígono regular de 17 lados.
Questão natural: comparação entre abundância de
algébricos e transcendentes
Dificuldade devido ao infinito
Georg Ferdinand Ludwing Philip Cantor (1845-1918):
números transfinitos
Naturais como uma espécie de unidade
Cardinalidade → enumerabilidade
Racionais e algébricos como enumeráveis
Reais não enumeráveis
Capítulo XXII
Números algébricos e
números transcendentes
Pitagóricos – existência de não racionais
Método de redução ao absurdo – já utilizado nos Elementos
Abrangência do método
Cálculo Diferencial (séc XVII)– funções e números como
séries infinitas
e = limn→∞ (1 + 1/n)n = 1 + 1 + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) + ...
π = 4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – 1/11 + 1/13 – 1/15 + ...
Euler questiona-se: e, e² irracionais
Euler não foi adiante, mas a pesquisa sobre o tema sim, e
no campo das equações algébricas: racionais e irracionais
como raizes de equações algébricas com coeficientes
inteiros.
# racional do tipo a/b é raiz de uma equação na forma
ax – b = 0;
# o irracional (2)1/2 +(3)1/2 é raiz de uma equação algébrica
de coeficientes inteiros de quarto grau;
# mostra-se que irracionais como (3)1/3+ (2)1/2 são raizes de
uma euqação algébrica de coeficientes inteiros de sexto
grau.
Ideia dos reais em duas categorias: são ou não raizes
de equações polinomiais de coeficientes inteiros.
Algébricos X Transcendentes (Joseph Liouville – 1844)
Charles Hermite (1873) prova transcendência do e, e
algo mais. Porém, desiste do π perto do sucesso, pois
Ferdinand von Lindemann (1852-1939) prova a
transcendência do π com base em seus trabalhos
sobre o e.
Consequência: impossibilidade da Retificação da
Circunferência e da Quadratura do círculo, apenas
com régua e compasso.
Questão natural: comparação entre abundância de algébricos
e transcendentes
Dificuldade devido ao infinito
Georg Ferdinand Ludwing Philip Cantor (1845-1918): números
transfinitos
Naturais como uma espécie de unidade
Cardinalidade → enumerabilidade
Racionais e algébricos como enumeráveis
Reais não enumeráveis
Consequência: existência dos transcendentes, e
em maior abundância
Cantor foi além! (intervalo real, pontos num
segmento)
Richard Dedekind contribuiu na teoria dos
números reais
Capítulo XXIII
Pensar
“O universo é um grande livro que não pode ser
compreendido a menos que antes se aprenda a entender a
linguagem e a ler as letras nas quais ele está escrito. Ele
está escrito na linguagem da Matemática.”
(Galileu Galilei)
“O fato mais incompreensível do mundo é que ele pode ser
compreendido.”
(Albert Einstein)
Matemática: meio de comunicação com o mundo
Detestada pelas pessoas?
Valorização da Matemática (natureza /
pensamento)
10 Maravilhas do Pensamento
Tales mede a grande pirâmide: proporcionalidade
das sombras
Euclides e os números primos: provou a
existência de infinitos números primos
Eratóstenes calcula a circunferência da Terra:
sol a prumo em Siena, ao meio dia do solstício
de verão. Ideia da forma da Terra.
Estimativa: aproximadamente 7˚, ou 1/50 de
360˚
Arquimedes calcula o número π: via noção de
limite, aproxima a circunferência por polígonos
Arquimedes conquista a esfera: via física,
calcula a área e o volume
Pascal, com genialidade, descobre outro método
para medir a esfera
Roberval calcula a área da ciclóide com o auxílio da
companheira e ideias de cálculo
Leibniz inventa o sistema binário de numeração:
apesar da genialidade, à epoca pareceu mera
curiosidade sem qualquer aplicação prática
Newton e as séries infinitas
Há muito se conheciam sequências: pitagóricos e
P.A. / dedução de Gauss
Soma finita de séries infinitas: resposta ao
paradoxo de Zenão
Newton desenvolvendo funções em séries
infinitas, impulsiona o ramo
sen(x) = x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + x9/9! - ...
cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! - …
ex = 1 + 1 + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...
Supondo x imaginário puro x = iθ, Euler chega a
eiθ = cosθ + isenθ (fórmula conhecida que deu
origem a eiπ + 1 = 0)
Euler decifra um mistério
Séries infinitas e Convergência
Nicole Oresme e a divergência da série harmônica.
Mais tarde, Jean Bernoulli.
Jack Bernoulli e a série dos inversos dos quadrados
dos naturais
Euler em meio a briga dos irmãos, demonstra a
convergência para π2/6, Jean também o faz, por
outro caminho. Apesar da grandiosidade dos
pensamentos, fogem dos padrões modernos do rigor
matemático, o que não tira o mérito de ambos.
Capítulo XXIV
O fim
“Se enxerguei mais longe foi porque me
apoiei sobre ombros de gigantes.”
Sir Isaac Newton
(aplausos)