Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
NOME:
Gabarito do 3o Teste de Geometria I - Matemática - Monica
24/06/2013
Neste teste escolha e resolva APENAS duas questões.
1a Questão: (5 pontos)
Na figura a seguir as retas são tangentes comuns aos dois cı́rculos. Prove que m1 e m2 se
interceptam na linha dos centros. Prove que se os raios dos dois cı́rculos são diferentes, as
retas n1 e n2 também se interceptam na reta dos centros.
Solução
Repare que ICA = JCA por congruência LLA válida em triângulos retângulos. Do
mesmo modo, KCB = LCB por congruência LLA válida em triângulos retângulos. Se
b = J CA
b = α, K CB
b = LCB
b = β e I CK
b = J CL
b = γ, temos 2 (α + β + γ) = 360◦ , o
I CA
◦
que implica α + β + γ = 180 , isto é, A, C e B são colineares.
A prova da segunda afirmação é similar.
2a Questão: (5 pontos)
Sejam α e β os cı́rculos inscrito e cirscunscrito a um dado triângulo retângulo. Se a soma
dos comprimentos destes dois cı́rculos é 21π cm e um dos catetos do triângulo mede 8 cm,
determine a área do triângulo.
Solução
Sejam r e R os raios dos cı́rculos inscrito e cirscunscrito, respectivamente. Observe que:
• Como a soma dos comprimentos destes dois cı́rculos é 21π , temos 2r + 2R = 21.
• Como o triângulo é retângulo, a hipotenusa coincide com o diâmetro de β (pois o
ângulo inscrito mede a metade do arco correspondente), como na figura.
• O cı́rculo inscrito tem centro no ponto onde as bissetrizes se encontram; pelo centro,
baixamos as perpendiculares aos lados do triângulo e encontramos os pontos onde o
cı́rculo inscrito vai tangenciar o mesmo.
• Como os lados dos ângulos são tangentes, podemos escolher quantidades x e y, como
na figura.
8(r + y)
• Se x + r = 8, a área pode ser calculada por Area =
= 4(r + y).
2
• Como x + r = 8 e x + y = 2R, 8 − r + y = 2R.
• De 8 − r + y = 2R e 2r + 2R = 21, temos 8 − r + y = 21 − 2r, o que implica
r + y = 21 − 8 = 13.
• Portanto Area = 4(r + y) = 52.
2
3a Questão: (5 pontos)
Em um triângulo ABC, os segmentos P Q e M N são paralelos ao lado BC. Se M é o
ponto médio de AC e P é o ponto médio de AM , determine a área do trapézio M P QN
em função da área do triângulo ABC.
Solução
µ
• A área do trapézio M P QN é dada por
M P QN .
MN + PQ
2
¶
h, onde h é a altura do trapézio
• Como M é o ponto médio de AC e o segmento M N é paralelo ao lado BC, então
MN
AM
1
=
= , isto é, M N = CB/2.
2
CB
AC
• Como P é o ponto médio de AM e o segmento P Q é paralelo ao lado BC, então
PQ
AP
1
=
= , isto é, P Q = CB/4 e h = H/4, onde H é a altura do triângulo
4
CB
AC
ABC.
• Logo, a área do trapézio M P QN é dada por
¶
µ
MN + P Q
3 CB · H
3
h=
= area(ABC).
2
16
2
16
3