XXVI COMPETIÇÃO MATEMÁTICA DO RIO GRANDE DO NORTE - 2015
PROVA DA SEGUNDA FASE - NÍVEL II
(8 e 9◦ Anos do Ensino Fundamental) - 03/10/2015
◦
Problema 1
124124
1240124
124
,b =
e c =
. É correto afirmar que
Considere os números racionais a =
421
421421
4210421
a = b = c? Justifique a sua resposta!
Resolução:
Observe que:
124 × 1000 + 124
124 × (1000 + 1)
124
124124
=
=
=
.
421421
421 × 1000 + 421
421 × (1000 + 1)
421
124 × 10000 + 124
124 × (10000 + 1)
124
1240124
=
=
=
.
4210421
421 × 10000 + 421
421 × (10000 + 1)
421
Portanto, as três frações são iguais.
Problema 2
Na Figura a seguir, temos quatro quadrados, com lados medindo 11, 9, 7 e 5, respectivamente.
Quanto mede a área das regiões cinzas menos a área das regiões pretas?
Resolução:
Olhando na Figura da esquerda para a direita, sejam C1 e C2 as áreas cinzas, P1 e P2 as áreas
pretas e B1 , B2 e B3 as áreas brancas.
Queremos encontrar:
(C1 + C2 ) − (P1 + P2 ).
1
Agora, observe que
(C1 + C2 ) − (P1 + P2 ) = (C1 + C2 ) − (P1 + P2 ) + (B1 + B2 + B3 ) − (B1 + B2 + B3 ) =
=
(C + B )
+
(C2 + B2 + B3 )
−
| 1 {z 1}
{z
}
|
Área do primeiro quadrado Área do terceiro quadrado
−
−
(P2 + B3 )
.
(P + B + B2 )
}
| {z }
| 1 {z1
Área do segundo quadrado Área do quarto quadrado
Portanto, a área pedida é igual a
(112 + 72 ) − (92 + 52 ) = (121 + 49) − (81 + 25) = 170 − 106 = 64u.a.
Problema 3
Três triângulos retângulos tem lados com medidas expressas por inteiros. As medidas dos lados do
primeiro e do segundo triângulo são respectivamente, 5, 12, 13 e 8, 15, 17. Sabendo-se que a medida
da hipotenusa do terceiro triângulo mede 221, determine as medidas x e y dos catetos desse terceiro
triângulo.
Resolução:
Por Pitágoras temos que
132 = 122 + 52 , 172 = 152 + 82 e 2212 = x2 + y2
Por outro lado, note que 221 = 17 · 13. Portanto,
2212 =
=
=
=
=
172 · 132
172 · (122 + 52 )
172 · 122 + 172 · 52
(17 · 12)2 + (17 · 5)2
2042 + 855
2212 =
=
=
=
=
172 · 132
(152 + 82 ) · 132
152 · 132 + 82 · 132
(15 · 13)2 + (8 · 13)2
1952 + 1045
ou ainda,
Portanto os seguintes pares de inteiros positivos (x, y) satisfazem o problema:
(204, 85), (85, 204), (195, 104) e (104, 195)
2
Problema 4
Mostre que para cada inteiro n ≥ 0, o número N(n) = 16n + 8n + 4n+1 + 2n+1 + 4 é o produto
de dois números maiores que 4n .
Resolução:
Note que
16n + 8n + 4n+1 + 2n+1 + 4 = (4n )2 + 2n .4n + 4.4n + 2.2n + 22
= (4n )2 + 2.4n .2 + 22 + 2n .4n + 2.2n
= (4n + 2)2 + 2n (4n + 2)
= (4n + 2)(4n + 2 + 2n )
Como para todo inteiro n ≥ 0 temos que 4n + 2 > 4n e 4n + 2 + 2n > 4n , segue que para cada inteiro
n ≥ 0, o número N(n) = 16n + 8n + 4n+1 + 2n+1 + 4 é o produto de dois números maiores que 4n ,
como querı́amos demonstrar!
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