O problema do retângulo inscrito1
Roberto Ribeiro Paterlini
Departamento de Matemática da UFSCar
1
Introdução
O problema do retângulo inscrito aparece no ensino médio sob várias versões:
Problema do retângulo inscrito: Dado um triângulo retângulo, dentre os retângulos
inscritos conforme a figura, encontre o que tem área máxima.
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Eis o mesmo problema mas com um enunciado mais amigável:
Problema da casa: (Vestibular da FUVEST)
Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos de medidas 20 e
30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como
na figura. a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y a área
ocupada pela casa será máxima?
↑
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30
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↓
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y
x
←−− 20 −−→
A idéia usual para a resolução deste problema é observar a semelhança entre
os triângulos da figura e obter, por exemplo, a relação
y
30 − x
=
,
20
30
donde y = 20(30 − x)/30 = (2/3)(30 − x). Usando esta relação para substituir y
em A(x) = xy temos A(x) = (2/3)x(30−x), função que nos dá área do retângulo.
A função quadrática A tem ponto de máximo, e nosso problema estará resolvido
quando encontrarmos a abcissa desse ponto, o vértice da parábola que é o gráfico
da função. As raı́zes de A são 0 e 30, cuja média aritmética é 15. Portanto,
1 Publicado na Revista do Professor de Matemática, n.◦ 47, 3.◦ quadrimestre de 2001, págs.
12 a 15. Republicado em Matemática Ensino Médio, Coleção Explorando o Ensino vol. 1,
Brası́lia, Ministério da Educação, 2004.
1
x = 15 é a abcissa do vértice, e o valor correspondente para y é 10. Vemos
que a altura e a base do retângulo inscrito de área máxima são a metade,
respectivamente, da altura e da base do triângulo.
Em um triângulo retângulo qualquer com base b e altura h o resultado é o
mesmo: o retângulo inscrito de maior área (entre os retângulos posicionados de
acordo com a figura) é o que tem base b/2 e altura h/2.
↑
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h
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↓
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y
x
←−−− b −−−→
Na figura,
b
x(h − x),
h
h
b
e o ponto de máximo de A é dado por x = e y = .
2
2
2
h−x
y
=
,
b
h
A(x) =
Usando dobradura
No ano de 2000 estava lecionando uma disciplina de problemas para alunos
do Curso Noturno de Licenciatura em Matemática da UFSCar, e certo dia
sugeri aos estudantes resolverem este problema. Minha expectativa era que
utilizassem o método descrito acima, e de fato muitos assim o fizeram. Mas tive
a agradável surpresa de ver que a estudante Tatiana Gaion Malosso, juntamente
com os colegas de seu grupo de trabalho, resolveu facilmente o problema usando
dobraduras. Quando incentivamos a criatividade, podemos ver as soluções mais
interessantes e aprendemos a pensar com liberdade.
Vamos descrever a solução por dobradura apresentada pela estudante. Tomamos uma folha de papel e a cortamos no formato de um triângulo retângulo
ABC.
Dobramos o papel de modo a fazer coincidir o ponto A com o ponto B, e em
seguida dobramos de modo a fazer coincidir o ponto C com o ponto B, como
nas figuras abaixo.
A
B
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C
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A=B
C
2
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A=B=C
Desdobrando e voltando ao triângulo original vemos que marcamos duas
linhas que se encontram no ponto médio de AC.
A
D
B
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E = E0
F
C
De fato, por construção, D é o ponto médio de AB e DE é paralelo a BC,
logo E é o ponto médio de AC. Da mesma forma, F é o ponto médio de BC e
F E 0 é paralelo a AB, logo E 0 é o ponto médio de AC, e E = E 0 .
As duas linhas que marcamos no triângulo determinam um retângulo cuja
altura é a metade da altura do triâgulo e cuja base é a metade da base do
triângulo. Observamos que o triângulo original ficou subdividido em três figuras,
dois triângulos menores e o retângulo, e a dobradura deixa claro que a soma
das áreas dos dois triângulos menores é igual à do retângulo. Portanto a área
do retângulo é a metade da área do triângulo original.
Vamos verificar, usando dobradura, que esse retângulo é o de maior área que
se pode obter. Tomamos um outro retângulo inscrito, por exemplo BD0 E 0 F 0 .
A
D0
B
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0
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D0
E
F0
A
B
C
0
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E
F0
C
←-
Dobramos o papel na linha D0 E 0 e na linha E 0 F 0 . Marcamos a linha AB
sobre o 4CF 0 E 0 . Em seguida desdobramos.
A
D0
D0
E0
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B
F
1
E
2
A
C
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0
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3
B
0
3
F
0
4
C
O triângulo original fica subdividido em quatro regiões 1, 2, 3 e 4, de modo
que somando as áreas de 1 e 3 obtemos a área de 2. Mas, como temos a área
de 4, vemos que a área de 2 é menor do que a metade da área do triângulo.
Portanto o retângulo BD0 E 0 F 0 não tem área máxima.
3
Outros desenvolvimentos
Em qualquer triângulo existe um retângulo inscrito. De fato, um triângulo tem
pelo menos dois ângulos agudos. Na figura a seguir suponhamos que ∠A e
∠B sejam ângulos agudos. Construı́mos o segmento DE paralelo a AB. Em
virtude de serem ∠A e ∠B agudos os segmentos perpendiculares a AB por D e
E intersectam AB, e obtemos um retângulo inscrito no triângulo.
C
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...... E
D .......
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A
F
G
B
O leitor pode observar que em um triângulo podem existir retângulos inscritos em até três posições diferentes, com um lado do retângulo sobre um lado
diferente do triângulo. Qualquer que seja a posição, a maior área do retângulo
inscrito que se pode obter é a metade da área do triângulo.
↑|
h
↓|
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..... .............
.....
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.....
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y
x
←−−−−−−−− b −−−−−−−−→
y
h−x
=
b
h
µ
b
A(x) = x(h − x)
h
ponto de máximo de A :
h b
,
2 2
¶
Podemos novamente usar dobradura para encontrar o retângulo inscrito de
área máxima. Seja 4ABC um triângulo qualquer, e suponhamos que ∠A e
∠B são agudos. Cortamos um papel na forma do triângulo dado. Usando
dobradura marcamos a altura do triângulo relativa ao lado AB. Dobramos o
triângulo de modo a fazer coincidir o ponto C com o pé desta altura no lado
AB. Continuamos procedendo de modo análogo ao caso do triângulo retângulo.
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Referências bibliográficas
[1] Malosso, T. G., Nucci, E. e Yshimine, M. K., 6 a lista de exercı́cios da
disciplina Ensino da Matemática Através de Problemas. Curso Noturno de
Licenciatura em Matemática. UFSCar, 2000.
[2] Iezzi, G., Dolce, O., Degenszajn, D. M. e Périgo, R., Matemá-tica. Volume
Único. São Paulo, Atual Editora, 1998.
[3] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. e Morgado, A. C., A Matemática
do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de
Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática, 1996.
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