Segmento: Ensino Médio
Disciplina: Matemática
Tema: Sólidos Geométricos - Cone
Cone: A Definição!
Considere um círculo C contido num plano
 e um ponto V não-pertencente a .
Chama-se cone a reunião de todos os
segmentos que ligam cada ponto de R ao
ponto P.
O cone é formado por uma
parte plana (base circular), e
uma parte curva que é a
superfície lateral.
Note: g, h e r formam um
triângulo retângulo.
g
h
r
Note: O Cone é uma pirâmide com base circular. E daí?
Podemos utilizar as mesmas fórmulas das pirâmides nos cones.
eixo
g’
R

V
g
h
V é vértice
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
A Fig. mostra um
Cone Oblíquo.
*O

90º
O eixo do cone é o segmento que liga o vértice ao
centro da base.
Se o eixo é perpendicular à base, o cone é reto.
Se o eixo não é perpendicular à base, o cone é oblíquo.
Eixo = Altura
altura
A altura é sempre perpendicular ao plano.
Note que quando o cone é reto o eixo coincide com a altura.
Cone Circular Reto
ou Cone de Revolução
V
1) O eixo é perpendicular ao
plano da base.
2) No DVOA :
g
h
B
O*
R
A
g2 = h 2 + R 2
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
A
C
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4 Cone de Revolução:
4)
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
4) Cone de Revolução:
Um cone reto pode ser obtido ao girar um
D retângulo em torno de um dos seus lados.
A
B
C
Seção Meridiana
O DVBA é a seção meridiana do cone.
V
Seção
Meridiana
g
B
*
2R O
A
Se o triângulo
VBA é
eqüilátero, o
cone é um
Cone
Eqüilátero.
g=2R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Clique
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Cone
Planificação do Cone Reto :
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
h
x
R
Planificação do Cone Reto
g
Angulo q
q
g
h
x
R
2p R
R
2pR
q=
g
Áreas e Volume
Área Base
( Ab )
Ab = p R2
Área Lateral
( AL )
AL = p R g
Área Total
( At )
Volume
( V)
At = AL+ 2 Ab
1
V=
3
p
2
R
h
Áreas e Volume
Área da
Base (AB)
Área Lateral
(AL)
Área Total
(At)
Volume (V)
Pirâmide
Cone
Depende do
Polígono da
Base
Al  n.l.g
Al  (2 p).g
Área da
circunferência
At  AB  AL
Ab .h
3
Ab  pr 2
Al  (2 p).g
Al  2pr.g
At  AB  AL
At  pr 2  prg
Ab .h pr 2 h

3
3
O cone é uma pirâmide com base circular, logo as fórmulas
são as mesmas das pirâmides. Apenas adapte-as!
Chama-se secção
transversal a intersecção
de um cone com um plano
paralelo à base.
Seção
Transversal
Note que o
cone menor,
acima da
secção é
semelhante ao
cone original,
o que significa
r
que suas
dimensções
são
proporcionais.
g
r
h
 
k
R G H
g
H
h
G
k = Constante de proporcionalidade.
Suas áreas são proporcionais.
Ab ´ Al ´ At ´


 k2
Ab
Al
At
Seus volumes são proporcionais.
R
v
 k3
V
A secção transversal forma o tronco de cone
Semelhança de uma forma mais clara
Altura do
cone
original (H)
Geratriz do cone semelhante (g)
Altura do
cone
semelhante
(h)
Altura do
tronco (HT)
Obviamente G = g + GT
Geratriz do
Tronco (GT)
Outra conclusão lógica
V = v + VT
Tronco de Cone
r
Elementos:
hT
gT
R  raio da base maior
r  raio da base menor
hT  altura do tronco
gT  geratriz do tronco
Área Lateral do
Tronco(ALT)
ALT = p(R + r)gT
Área Total do
Tronco(ATT)
ATT = ALT + Ab + AB
R
Volume do Tronco
(VT)
ATT = p(R + r)gT +
p(r2 + R2)
VT = V - v
VT = p .ht (r² + rR + R²)
3
As fórmulas do tronco de cone são todas dedutíveis a
partir da semelhança, porém muito trabalhosas.
Ex. 1:
Desenvolvendo a superfície lateral de um
cone reto de raio 4 e altura 3, obtém-se um
setor circular cujo ângulo central mede:
a) 216º
b) 240º
c) 270º
d) 288º
e) Nenhuma das respostas
anteriores.
(EPUSP-SP)
Ex. 2:
O volume do sólido gerado pela revolução
de um triângulo equilátero de lado a em
torno de um de seus lados é:
a) 1
4
pa3
c) 1
2
pa3
b) 1
3
pa3
d) 3
4
pa3
e) 4
3
pa3
(UF-RS)
Ex. 3:
O volume de um cone equilátero,
circunscrito a uma esfera de raio R, é:
a) pR3
b) 3pR3
c) 2pR3
d) 4pR3
e) 5pR3
(PUC-SP)
(UFPA) Num cone reto, a altura é 3 m e o diâmetro da
base é 8 m. Então, a área total vale:
A) 52Π
B) 36Π
C) 20Π
D) 16Π
D = 2R
8 = 2R
AT = Π.4(4 + 5)
_8_ = R = 4
AT = 36Π
2
AT = ΠR(R + G)
G 3 m AT = Π.4(4 + G)
3m
Mas, G = ?
4m
8m
Utilizando o Teorema de
Pitágoras, obtemos G = 5 m
(UFPA) A geratriz de um cone reto mede 13 cm e o
diâmetro de sua base 10 cm. O volume do cone em cm 3
é:
A) 100Π
B) 200Π
C) 400Π
D = 2R
10 = 2R
_10_ = R = 5
2
13 cm
x
10 cm
13 m
5m
D)
1 2
V  .pR .H
3
V = (Π R2 .H):3
V = (Π 52 .H):3
V = (Π 25 .H):3
V = (Π 25 .12):3
V = (Π 300):3
V = 100Π
Utilizando o Teorema de
Pitágoras, obtemos H = 12 m